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• Eduardo Armenta

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En ciertas aplicaciones, una viga de rigidez a la flexión relativamente pequeño se coloca en una base elástica y se aplican cargas a la viga. Las cargas se transfieren a través de la viga a la fundación. La viga y la base debe ser diseñado para resistir las cargas sin fallar. A menudo, el fallo se produce en el haz antes de que ocurra en la base. Por consiguiente, en este capítulo se supone que la fundación tiene fuerza suficiente para impedir su propio fracaso. Además, se supone que el fundamento resiste las cargas transmitidas por el haz, de manera linealmente elástico; es decir, la presión desarrollada en cualquier punto entre la viga y la cimentación es proporcional a la deflexión del haz en ese punto. Este tipo de cimentación respuesta se refiere como la base o modelo Winkler Winkler (Hetényi, 1946; Westergaard, 1948). Otros tipos de modelos de cimentación se usan, por ejemplo, la Vlasov modelo (Vlasov y Leontiev, 1966). Sin embargo, el modelo de Vlasov es más complejo que el modelo de Winkler. Por lo tanto, empleamos el supuesto de que el fundación responde linealmente con la deflexión del haz. Este supuesto es bastante acutarifa para pequeñas desviaciones. Sin embargo, si las desviaciones son grandes, la resistencia de la fundación generalmente no permanece linealmente proporcional a la deflexión del haz. Para grandes deflexiones, la rigidez de la cimentación es mayor que para los pequeños desviaciones y se relaciona de una manera no lineal con la flecha de la viga. El aumento de rigidez debido a la respuesta no lineal de la base tiende a reducir la deflexión ciones y tensiones en la viga en comparación con los debidos a una base lineal resPonse. Puesto que se considera pequeños desplazamientos, la solución presentada en este capítulo para el haz en una base elástica es generalmente conservador para el rango de deflexiones tratada. (Sin embargo, para ciertos casos en los que la carga sobre la viga es distribuye bastante uniformemente, el modelo de Winkler puede conducir al diseño nonconservative

valores; Vallabhan y Das, 1987). Además, dado que se considera sólo una res-lineales Ponse de la fundación, dejamos caer el término lineal en nuestra discusión.) La solución presentada en este capítulo para vigas en fundaciones elásticas pueden ser utilizado para obtener una solución simple aproximada para el apoyo de las vigas idénticas muelles elásticos que están separados uniformemente a lo largo de la viga. Amplios estudios de estudios sobre las vigas en fundaciones elásticas se han dado por Kerr (1964), Selvadurai (1979), y Scott (1981). Vallabhan y Das (1988) y Jones y Xenophontos (1977) han estudiado el modelo de Vlasov. Mesas de diseño basadas en el modelo de Winkler Se han desarrollado por Iyengar y Ramu (1979).

405 La respuesta a cargas de una viga apoyada en una base elástica se describe por una diferencial con una única ecuación sujeta a diferentes condiciones de contorno para la viga, dependiendo de cómo la viga está soportada en sus extremos. Por ejemplo, consideremos una viga de longitud infinita unida a lo largo de su longitud a una base elástica (Fig. 10,1). dejar el origen de los ejes de coordenadas (x, y, z) se encuentra en el centroide de la viga transversal sección y dejar que un P concentrado de carga lateral se aplica a la viga en el origen de los ejes (x, y, z). El eje z coincide con el eje de la viga, el eje x es normal a la figura (dirigida hacia el lector), y el eje y. es normal a la base elástica. La carga P hace que el haz de desviar, en el que a su vez desplaza la base elástica. Como resultado, una fuerza distribuida se desarrolla entre el viga y la fundación. Por lo tanto, con relación al haz, la rigidez de la fundación ción produce una fuerza distribuida lateralmente q (fuerza por unidad de longitud) en la viga

406 (Fig. 10.1a). En la solución del problema de deflexión, veremos que en cierto las regiones de la deflexión de la viga puede ser negativa (hacia arriba). Puesto que el haz es supone que se adjunta a la fundación, la fundación puede en ciertas regiones ejercer una fuerza de tracción sobre la viga. Un diagrama de cuerpo libre de un elemento Az de la viga se muestra en la figura. 10.1b, con convenciones positivos de signos para la fuerza cortante total de E /;, y Mx momento indicado. para el convención indicada signo y la condición de los pequeños desplazamientos, se obtiene la relaciones diferenciales

donde q se toma como positivo si se empuja hacia arriba en la viga, es decir, q es positiva si que actúa en la dirección y negativa. Para la fundación linealmente elástico, la carga distribuida q es linealmente proporcional a la deflexión y de la viga, por lo

donde el resorte k coeflicient se puede escribir en la forma

en la que b es el ancho del haz y kn la constante elástica del resorte para la fundación. Las dimensiones de ko son force/length3. La sustitución de la ecuación. (10,2) en la cuarta de las ecuaciones. (10,1) se obtiene la ecuación diferencial del eje de flexión de la viga en una base elástica.

y la solución general de la ecuación. (10.4) se puede expresar como

Con la notación,

La ecuación (10,6) representa la solución general para la respuesta de un haz infinito sobre una base elástica sometida a una carga lateral se concentró. las magnitudes

407 10,2 10,2 BEAM / INFINITE SOMETIDO A CARGA CONCENTRADA

Figura 10.2 viga semiinfinita sobre base elástica y se carga en el extremo. de las constantes de integración C1, C 2, C 3, 4 y C son determinados por el límite condiciones. Soluciones para la respuesta de una viga soportada por una base elástica y específicos sometidos a cargas laterales se puede conseguir por el método de superposición, mediante el empleo de la solución para un haz infinito cargado por una carga concentrada (Fig. 10,1) y para un haz de semiinfinito cargado en el extremo por una carga concentrada P y momento MO como se indica en la figura. 10,2. En cualquiera de los casos que se muestran en las Figs. 10,1 y 10,2, la desviación de la viga tiende a cero para grandes valores positivos de z. conposteriormente, el C1 y C2 constantes en la ecuación. (10,6) son cero, y la ecuación para el y desplazamiento del eje de giro de la viga se reduce a y = e_ "Z (C3 + C4 pecado Bz Bz cos), z 2 0 (10.7) Debido a la simetría, el desplazamiento de la viga de la figura. 10,1 para los valores negativos de z se puede obtener a partir de la solución para valores positivos de z, es decir, y (- z) = y (z). Para el caso de la viga semiinfinito (Fig. 10,2), z Z 0, de manera que la ec. (10,7) se aplica directamente.

VIGA INFINITA sometido a un CONCENTRADA CARGA: CONDICIONES DE CONTORNO Considere el través de una longitud infinita, descansando sobre una base elástica y se cargó a el 0 origen de los ejes de coordenadas (y, z) con carga concentrada P (Fig. 10,1). Para deterextraer las dos constantes de integración, C3 y C4 en la ecuación. (10,7), empleamos el condiciones (a) que la pendiente de la viga permanece en cero bajo la carga debido simetría y (b) que la mitad de la carga P debe ser compatible con la base elástica bajo la media de la viga especificado por los valores positivos de z. La otra mitad de P es el apoyo de la base elástica en la que z co Como BL 'se hace grande, e-0, M, -> 0, V, -> 0, y y-+ (10.27) LZen todas partes, excepto cerca de los extremos del segmento L '. Los datos de la Tabla 10,1 indicar que el momento flector máximo se produce cuando Ba o Bb es igual a TC / 4. Los valores intermedios de [Hf Para fil 'mayor que 1:, la ubicación del momento de flexión máximo puede estar fuera lado del segmento L '. (Véase el problema 10.18 y en el ejemplo 10.3.) Sin embargo, el máximo valor de momento fuera del segmento L 'para el problema de ejemplo es sólo un 3,0% más que el momento de flexión máximo en L segmento. La ubicación de la maximum momento de flexión se puede conseguir por ensayo y error, sin embargo, debido a la pequeña diferencia, la precisión suflicient puede obtenerse tomando la ubicación de la

máximo momento de ser 1c / (4/3) desde cualquiera de los extremos de la carga uniformemente distribuida de la eslora L 419 10,3 VIGA / INFINITA sometido a una carga distribuida 419 Ejemplo 10.3 Carga uniformemente distribuida sobre un segmento de viga de madera Una viga de madera larga (E = 10,0 GPa) tiene una sección transversal rectangular con una profundidad de 200 mm y una anchura de 100 mm. Se apoya en una base del suelo. El muelle de conconstante para la fundación es k0 = 0,040 N/mm3. Una carga uniformemente distribuida w = 35,0 N / mm se extiende sobre una longitud L '= 3,61 m de la viga (Fig. E10.3a). deterextraer la deflexión máxima, la tensión de flexión máxima, y la presión máxima entre la viga y la cimentación. Tome el origen de coordenadas en el centro de L segmento SOLUCIÓN La magnitud de B se obtiene por medio de las ecuaciones. (10,3) y (10,5). Así, encontramos k = bko = 100 (0,040) = 4,00 N / mmz I BH3 100 (200) 3 "12 12 - 66,67> , .. 1>, ....., + 8,10 m Una capacidad de 60 kN elevador puede ser movido a lo largo de una viga en I de acero (E = 200 GPa). La viga en I tiene una profundidad de 152 mm y el momento de inercia, Ix - = 11,0>