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32 EJERCICIOS de CONTINUIDAD

2º BACH.

RECORDAR: f(x) continua en x = a

⇔ xlim f(x) = f(a) Es decir: “Una función es continua en un punto si el límite →a coincide con la imagen en dicho punto”.

A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar: 1) que exista límite 2) que además exista imagen 3) y que ambos coincidan

 x−2 

si x ≠ 2

 1 

si x = 2

1. Dada f(x) =  x − 2

se pide: a) Representación gráfica. b) Estudiar analíticamente la continuidad lateral en x=2 c) A la vista del apartado anterior, indicar su continuidad.

2. Ídem con f(x) = x en x=0 3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x) = e) f(x) =

x +1 x−2 x−3

i) f(x)=log (x+3)

b) f(x) =

2x x 2 − 5x + 6

f) f(x) = x 2 − x − 6 2

j) f(x)=ln(x -4)

(Soluc: a) discont. asintótica en x=2;

c) f(x) =

x2 + x x2 + x + 1

g) f(x) = x 2 + 4

d) f(x) =

1 sen x

h) f(x)=tg x

2

k) f(x)=ln(x +4)

b) discont. asintótica en x=2 y x=3; c) continua ∀ℜ; d) discont. asintótica en x=n·π

donde n∈Z; e) continua en (3,∞);

f) continua en (-∞,-2) ∪ (3, ∞); g) continua ∀ℜ;

h) discont. asintótica en

x=(2n+1)· π/2; i) continua en (-3,∞) ; j) continua en (-∞,-2) ∪ (2, ∞); k) continua ∀ℜ)

4. TEORÍA: Si una función no está definida en x=3, ¿puede ocurrir que lim f(x) = 5 ? ¿Puede ser en ese caso x →3

continua en dicho punto? Completar los razonamientos añadiendo ejemplos.

5. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones (en caso de presentar discontinuidades, decir de qué tipo se tratan):  x 2 − 1 si x < 0 x + 1 si x ≥ 0 si x ∈ ( −∞,2)  x + 1  b) f(x) =  2 c) f(x) =  a) f(x) =  si x = 0  x − 1 si x < 0 2x − 1 si x ∈ (2,∞ ) 2x − 1 si x > 0 

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ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

 2 − x 2 si x ≤ 2 d) f(x) =  2x − 6 si x > 2

 e) f(x) =  

x + 1  g) f(x) =  x 2  0 

 x-1  h) f(x)=  x 2-1  2  x

si x < 3 si 3 ≤ x < 4 si x ≥ 4

1x

si x ∈ ( − ∞,1)

x + 1 si x ∈ [1,∞ )

si x ∈ (-∞,1] si x ∈ (1,2] si x ∈ (2,∞)

 x+2  f) f(x) =  x 2 2x + 1 

 1 x − 2  i) f(x)=  x+1  x  e 

si x < −1 si − 1 ≤ x 1

si x ∈ ( − ∞, −3] si x ∈ ( − 3,0] si x ∈ (0,∞)

 x 2 +1 si x ≤ 0  j) f(x)=  Ln x si 0