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• CamposMontañoDavid

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ING. FLAVIO PARRA T.

1. FUNCIÓN EXPONENCIAL  Suponga que un país la población actual Po crece a una tasa de crecimiento 𝒓 = 𝟐% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 , entonces la población futura está dada por: Primer año: 𝑃𝑜 + 𝑃𝑜 ∗ 𝑟 ∗ 𝑡 = 𝑃𝑜(1 + 𝑟) Segundo año: 𝑃𝑜(1 + 𝑟) + 𝑃𝑜(1 + 𝑟) ∗ 𝑟 = 𝑃𝑜(1 + 𝑟)(1 + 𝑟) = 𝑃𝑜(1 + 𝑟)2 Tercer año: 𝑃𝑜(1 + 𝑟)2 + 𝑃𝑜(1 + 𝑟)2 ∗ 𝑟 = 𝑃𝑜(1 + 𝑟)3 Cuarto año: 𝑃𝑜(1 + 𝑟)4

En general la población futura con una tasa de crecimiento está dada por: 𝑃 = 𝑃𝑜(1 + 𝑟)𝑡 ; donde: 𝑃𝑜 = 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ò𝑛 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑃 = 𝑃𝑜(1 + 0.02)𝑡

𝑷 = 𝑷𝒐 (𝟏. 𝟎𝟐)𝒕

El resultado obtenido es un ejemplo de una función exponencial, donde una constante esta elevada a una variable (t), este tipo de funciones son muy utilizadas en la Administración, Economía, Ciencias Sociales y otras ciencias y son utilizadas para estudiar el crecimiento del dinero y organizaciones; crecimiento de poblaciones humanas y de animales; difusión de enfermedades, decaimiento radiactivo, etc. 1.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES  La función f definida por 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒙 ; donde 𝒃 > 𝟎; 𝒃 ≠ 𝟏, y el exponente x es cualquier número real, se llama función exponencial de base b. Ejemplos: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟑

𝑺(𝒕) = 𝑷(𝟏 + 𝒓)𝒕

 En muchas ocasiones para la solución de ecuaciones exponenciales necesitará recordar las reglas de los exponentes que se resumen: 1. 𝑏 𝑚 𝑏 𝑛 = 𝑏 𝑚+𝑛

2.

𝑏𝑚 = 𝑏 𝑚−𝑛 𝑏𝑛

ING. FLAVIO PARRA T.

3. (𝑏 𝑚 )𝑛 = 𝑏 𝑚𝑛

4. (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛

𝑎 𝑛 𝑎𝑛 5. ( ) = 𝑛 𝑏 𝑏

6. 𝑏1 = 𝑏

7. 𝑏 0 = 1

8. 𝑏 −𝑛 =

1 𝑏𝑛

Estas reglas tendrán que utilizar por ejemplo para resolver la ecuación: 5𝑥+5 25𝑥−3

=3

1.2 GRAFICAS DE FUNCIÓN EXPONENCIAL 

Para graficar la función exponencial tenga en cuenta sus conocimientos de gráficas en coordenadas rectangulares en lo referente a dominio, rango, etc. Estudiemos la gráfica de la función exponencial de base 𝒃 > 𝟏 𝑦 𝟎 < 𝒃 < 𝟏, para lo cual analicemos simultáneamente las gráficas de cada caso. 𝟏 𝒙

 Graficar(1): 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

𝒚=( ) 𝟐

a) Elabore tabla de valores. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 x y

-4 -3 -2 0,063 0,125 0,25

-1 0,5

0 1

1 2

-1 2

0 1

1 0,5

2 4

3 8

4 16

𝟏 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) = ( ) 𝟐 x y

-4 16

b) Grafico

-3 8

-2 4

2 3 4 0,25 0,125 0,063

ING. FLAVIO PARRA T.

y

y  (1 / 2) x

y  2x

x

De acuerdo a las gráficas podemos generalizar y definir las propiedades de la función exponencial: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥 1. El dominio de la función son todos los números reales. El rango son todos los números reales positivos (𝑦 > 0) . 2. Intersección con eje y: (0,1). No tiene intersección con eje x. 3. Si b>1, la curva asciende de izquierda a derecha. Si 0