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ASIGNATURA FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS

TEMA CARACTERISTICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL Y FUNCION LOGARITMICA.

PRESENTAN: MELISA DE LOS ANGELES CHARRY ROJAS ID:765360 ZORAIDA TAPIAS GUTIERREZ ID: 752208 BRAYANT STIVEND HERNANDEZ JIMENEZ ID: 736156

DOCENTE: MAGNOLIA HERNANDEZ CANACUE NRC 8818

NEIVA – HUILA 2020

INTRODUCCION

Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen aplicaciones en todos los campos del quehacer humano. Son particularmente útiles en el estudio de la química, la física, la biología y la ingeniería para describir la forma en que varían las cantidades. En esta unidad se examinarán las propiedades de estas funciones y se considerarán muchas de sus aplicaciones en la vida diaria. Empezaremos con algunos problemas que nos conducen a modelos de funciones exponenciales y logarítmicas para su solución.

OBJETIVOS ESPECIFICOS *Comprender las relaciones entre la función logarítmica y la función exponencial. *El comportamiento, aspecto y características principales de sus gráficas. *Reforzar la relación que existe entre los parámetros y la gráfica. *Aplicar los conocimientos adquiridos respecto a funciones exponenciales y logarítmicas para modelar algunas situaciones en diversos contextos. *Aplicar los conocimientos adquiridos respecto a funciones logarítmicas y exponenciales para modelar situaciones en diversos contextos.

TABLA DE CONTENIDO

1. Función Exponencial características propiedades grafica 2. Función Logarítmica características propiedades grafica 3. Función Logaritmo de base 10 propiedades 4. Ecuaciones exponenciales con logaritmos y como se aplican en el modelo de la economía 5. Gráficas y ejemplos.

Función Exponencial En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes. Definición de función exponencial Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R. La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

Representación gráfica de varias funciones exponenciales .

Función exponencial, según el valor de la base.

Ejercicio:

Representa gráficamente y di las propiedades de la función f cuya ecuación es f(x) = 2x+1 – 2. Solución: Para representar gráficamente esta función: 1.Determina su asíntota horizontal: y = – 2. La asíntota horizontal pasa por el valor que está a la derecha de la potencia, en este caso el – 2. 1.Calculas su cero: 2x+1 – 2 = 0 (Igualas la ecuación a cero) 2x+1 = 2 (Transpones el – 2) x + 1 = 1 (Aplicas la propiedad de igualdad de potencias de la misma base) x = 0 (Despejas x y sustraes) 1.Hallas el intercepto de la gráfica con el eje "y": y = 20+1 – 2 (Sustituyes x por cero en la ecuación) y = 21 – 2 (Efectúas los cálculos indicados) y=0

En el sistema de coordenadas trazas la asíntota horizontal, ubicas los puntos hallados y trazas la curva.

Propiedades: 

Dominio:



 . (La proyección de su gráfica cubre todo el eje de las "x")



Imagen:  . (La proyección de su gráfica cubre el eje "y" por encima de y = – 2, que no se incluye, porque la gráfica no toca nunca la asíntota) Cero: x0 = 0. (La gráfica corta al eje "x" en el origen de coordenadas) Monotonía: Creciente en todo su dominio. (La gráfica asciende de izquierda a derecha) Signos: 

  

Positiva para x > 0. (La gráfica está por encima del eje "x" a la Derecha del cero) Negativa para x < 0. (La gráfica está por debajo del eje "x" a la Izquierda del cero) Paridad: No es par ni impar. (La gráfica no es simétrica)  

Inyectividad: Es inyectiva. (Al trazar rectas paralelas al eje "x", las que cortan a la gráfica lo hacen en un único punto) Ecuación de la A.H.: y = – 2. (La asíntota corta al eje "y" en – 2).

Propiedades de las funciones exponenciales Para toda función exponencial de la forma f(x) = a x, se cumplen las siguientes propiedades generales: -La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a0 = 1. -La función exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a1 = a. -La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado. f (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?). -La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo: f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?). La función ex Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = e x. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: (1 + 1/n)n Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos. La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.

Ecuaciones exponenciales Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería a x = b. Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos: -Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay.

En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y. -Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver. 22x - 3 × 2x - 4 = 0 

 t2 - 3t - 4 = 0

Luego se ?deshace? el cambio de variable.

Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

Función Logarítmica Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

Definición de función logarítmica Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que: loga x = b Û ab = x. Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

Ejercicio: Representa gráficamente y di las propiedades de la función f cuya ecuación es f(x) = log2(x + 1) – 1. Solución: Para representar gráficamente esta función: 1. Determinas su asíntota vertical: x = – 1. La asíntota vertical pasa por el valor que hace cero al argumento, en este caso – 1. 2. Calculas su cero: log2(x + 1) – 1 = 0 (Igualas la ecuación a cero) log2(x + 1) = 1 (Transpones el – 1) x + 1 =21 (Aplicas la definición de logaritmo) x = 1 (Despejas x)

3.Hallas el intercepto de la gráfica con el eje "y": y = log2(0 + 1) – 1 (Sustituyes x por cero en la ecuación) y = log21 – 1 (Efectúas los cálculos indicados) y=0–1 y=–1 Trazas la asíntota vertical, ubicas los puntos hallados en el sistema de coordenadas y trazas la curva.

Propiedades: 

Dominio: (La proyección de su gráfica cubre el eje de las "x" a la derecha de – 1). Para hallar el dominio, analíticamente, planteas y resuelves la inecuación + 1 > 0, luego, x > – 1. El – 1 no se incluye, ya que es el valor que hace cero al argumento.

  

Imagen:  (La proyección de su gráfica cubre todo el eje "y") Cero: x0 = 1. (La gráfica corta al eje "x" en el punto (1 ; 0)) Monotonía: Creciente en todo su dominio. (La gráfica asciende de izquierda a derecha)



Signos: Positiva para x > 1. (La gráfica está por encima del eje "x" a la Derecha del cero) Negativa para – 1< x < 1. (La gráfica está por debajo del eje "x" Entre la asíntota y el cero. Ninguno de los dos valores se incluye)

  

Paridad: No es par ni Impar. (La gráfica no es simétrica) Inyectividad: Es inyectiva. (Al trazar rectas paralelas al eje "x", cortan a la gráfica en un único punto) Ecuación de la A.V.: x = – 1. (La recta corta al eje de las abscisas en – 1).

Propiedades de la función logarítmica Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:  

  

La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥). Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R. En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log a 1 = 0, en cualquier base. La función logarítmica de la base es siempre igual a 1. Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Ecuaciones logarítmicas Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica. La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales.

Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente: loga f (x) = loga g (x) Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales. También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo: loga f (x) = m De donde se obtiene que f (x) = a m, que sí se puede resolver de la forma habitual. Sistemas de ecuaciones logarítmicas Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:   

Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica. Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas. Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial. En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

Forma de las funciones logarítmicas según el valor de la base

Función Logaritmo de base 10 Calcula el exponente al que se debe elevar 10 para que sea igual a un número determinado. Por ejemplo, 102 = 100 y, por lo tanto, el logaritmo de base 10 de 100 es 2. El logaritmo de base 10 se define solo para números positivos. Cuando se multiplica un número por 10, se incrementa su logaritmo en 1; cuando se divide un número entre 10, se reduce su logaritmo en 1. Sintaxis En número, especifique el valor o columna de valores. Minitab calcula el valor de X tal que  10x =el número. Si ingresa 0 o un número negativo, Minitab almacenará un símbolo de valor faltante *.

Ejemplo

Usos

En estadística, el logaritmo de base 10 (log10) se puede utilizar para transformar datos por las razones siguientes: 

Para hacer que los datos con asimetría positiva sean más "normales"



Para explicar una curvatura en un modelo lineal



Para estabilizar la variación dentro de grupos

Ejemplo de transformación de los datos para hacer que parezcan más normales En la gráfica original, los datos tienen asimetría positiva, tal como lo indican los valores ubicados más hacia afuera en la cola (superior) derecha. La transformación log10 comprime la cola superior y expande la cola inferior, haciendo que los datos transformados parezcan más normales.

Ejemplo de transformación de los datos para explicar la curvatura en un modelo lineal En la gráfica de dispersión original, la línea de regresión simple no modela con precisión la curvatura en los datos. Después de que la escala X se transforma utilizando log10, los valores de datos se ubican a lo largo de la línea de regresión simple.

Ejemplo de transformación de los datos para estabilizar la variación dentro de los grupos

En la gráfica original de valores individuales, el grupo 1 tiene valores más grandes y, por lo tanto, parece tener una mayor variabilidad dentro del grupo. Después de que los datos se transforman, la variación dentro de grupos parece similar.

Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos Ejemplo Resuelve

5 ⋅ 2x = 240.

Solución Para resolver para x primero debemos aislar la parte del exponente. Para hacer esto, dividimos ambos lados por 5. No multiplicamos el 5 por el 2, pues ¡este no es el orden correcto de las operaciones!

Ahora podemos resolver para x si convertimos la ecuación a forma logarítmica.

Y así de simple hemos resuelto la ecuación! La solución exacta es 

Como 48 no es una potencia racional de 2, debemos usar la regla de cambio de base y nuestra calculadora para evaluar el logaritmo. Esto se muestra a continuación.

La solución aproximada, redondeada a la milésima más cercana, es 

BIBLIOGRAFIA 

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Arya, J. C. y Lardner, R. W. (2009) Matemáticas aplicadas a la administración y la economía. [Texto guía]. Quinta edición. Ciudad de México, México: Pearson Educación. Hoffmann, L. (2014). Matemáticas aplicadas a la administración y los negocios. Ciudad de México, México: McGraw-Hill Interamericana. [math2me]. (2012, noviembre 15). Ecuaciones de primer grado con fracciones │ ej 3. [Archivo de vídeo]. Hohenwarte,M(2017).GeoGebra.[Pagina web interactiva].International GeoGebra Institute.