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ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE PASTO DOCENTE: Johana A Herrera ASIGNATURA: Matemáticas Grado: Noveno Nombre:__________________________________ Grado:______

LOGRO No. 1

Identifica y comprende las características de las gráficas de las funciones: logarítmica y las aplica a la solución de problemas.

Identifica el concepto y el sentido de las funciones exponenciales y logarítmicas teniendo en cuenta sus condiciones. Compara y analiza la gráfica en el INDICADORES plano cartesiano de las funciones DE exponencial y logarítmica reconociendo DESEMPEÑO sus características. Modela problemas que impliquen el uso de funciones cuadráticas, Exponenciales y Logarítmicas. John Napier (Neper). El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi. Los logaritmos son herramientas imprescindibles en la medida de las magnitudes cuyas medidas son muy grandes.

Otra de las aplicaciones de los logaritmos se encuentra en la astronomía, donde se usan los logaritmos para medir la intensidad del brillo de las estrellas. Sí observamos el cielo nocturno, y nos fijamos bien en las estrellas nos daremos cuenta que tienen diferente brillo, las hay muy brillantes y otras muy débiles. Ese brillo no se debe en sí a lo lejos o cerca que puedan estar que en cierto modo también influye sino a la cantidad de energía que irradian.

M =−2.5 log(

b ) b0

Donde b es el brillo aparente de la estrella y bo el brillo aparente de una estrella tomada como referencia. Por ejemplo Sirio, que es la estrella más brillante, tiene una magnitud de -1,6. En cambio, la estrella polar, brilla con una magnitud de 2,1. Esto significa que Sirio, visto desde la Tierra, brilla unas 30 veces más aproximadamente

ahora que conoces algunos de las aplicaciones de los logaritmos … recordemos algunos elementos útiles de los logaritmos.

La magnitud de la intensidad de los terremotos tienen que ser medida con ayuda de los logaritmos dado que durante su ocurrencia hay una gran energía desprendida; la cual provoca catástrofes.

LOGARITMO En la expresión

log a b=q

la palabra log

es una abreviatura de la palabra logaritmo, la letra a representa la base y la letra b representa el número cuyo logaritmo se desea obtener.

log a b=q

Se lee logaritmo de b en base a es igual a

q

Para medir la magnitud de los terremotos, se creó la Escala de Richter.

M =log A+3 log ( 8 ∆ t )−2.92 A

= amplitud de las ondas en milímetros, tomada

El logaritmo de un número, en una base dada, corresponde al exponente al cual se debe elevar un número llamado base, para obtener otro número determinado.

log a b=q

y se cumple que

aq =b

Todo logaritmo debe cumplir con una condición general:

directamente en el sismograma.

∆t

= tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P

(Primarias) al de las ondas S (Secundarias).

M

La base a debe ser mayor que cero La base a debe ser diferente de uno

a>0 a≠1

= magnitud arbitraria pero constante a terremotos que

liberan la misma cantidad de energía. Es una escala que crece en forma potencial o semilogarítmica, de manera que cada punto de aumento puede significar un aumento de energía diez o más veces mayor. Una magnitud 4 no es el doble de 2, sino que 100 veces mayor.

Ejemplo: Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación, como en este ejemplo:

2

 3 =9 ,

log 3 9=2

entonces

Por lo tanto, una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia.

log a −b →∄ No existe el logaritmo de cero.

log a 0 →∄

El logaritmo de uno es nulo.

log a 1=0

Ejemplo:

log 5 1=0 ,

log 8 1=0

Por lo tanto podemos afirmar que: El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia. Por ejemplo, escribir 2 

log 10

El logaritmo de a en una base a es uno. 100 significa 102 100.

Aquí, el logaritmo es 2, la base es 10 y el número cuyo logaritmo se desea es 100. En otras palabras, el logaritmo en base 2 es el exponente al que hay que elevar la base, 10, para obtener el número 100. NOTA: En matemáticas es usual escribir

log b , en estos

casos se asume que la base es “10”

log 0.01=log 10 0.01

Ejemplo:

log 8 8=1

log a bn =n ∙ log a b

log 2 4=2

El resultado “2” es el exponente por el cual debemos elevar la base “2” para obtener la potencia “4”; es decir: 22 = 4 2)

log 5 5=1 ,

El logaritmo en base a de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

Ejemplos: 1)

log a a=1

log 2 1=0

Ejemplo:

log 2 84 =4 ∙ log2 8=4 ∙ 3=12

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

log a ( b × c ) =log a b+ log a c

El resultado “0” es el exponente por el cual debemos elevar la base “2” para obtener la potencia “1”; es decir: 20 = 1

Ejemplo:

Las siguientes expresiones exponenciales y logarítmicas son equivalentes:

log 2 ( 4 × 8 )=log 2 4+ log 2 8

log 2 ( 4 × 8 )=2+3=5 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

log a Como consecuencias de la definición de logaritmo, se pueden deducir estas identidades:

( bc )=log b−log c a

a

log 2

Ejemplo:

( 48 )=log 4−log 8 2

2

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

log −a b →∄ No existe el logaritmo de un número negativo.

log 2

( 48 )=2−3=−1

El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

1 n

1 log a √ b=log a b = log a b n n

Ahora que ya recordamos a los logaritmos aprenderemos algo nuevo. Introduzcámonos al estudio de la función logarítmica

1

Ejemplo:

1 1 3 log 2 √4 8=log 2 b 4 = ∙ log 2 8= ∙ 3= 4 4 4 FUNCION LOGARITMICA Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma

ACTIVIDAD EN CLASE . Resuelva los siguientes ejercicios, aplicando las identidades anteriores

F ( X ) =log a x donde "a" es un número que recibe el nombre de base del logaritmo. En términos generales:

log a x  y  a y  x y  log a x

ay x

Donde , se llama notación logarítmica y , se llama notación exponencial. Además, es conveniente señalar que las bases más usadas en

e

el trabajo con logaritmos son 10 y ; a los respectivos logaritmos se les llama logaritmos decimales y logaritmos naturales o neperianos. En estos casos se acostumbra no escribir la base, es decir:

log 10 x  log x ln e x  ln x

Para tener en cuenta: La base (a) de los logaritmos debe ser un número positivo (al igual que la base de la potencia de una función exponencial) Trabajo en casa : 1. Realice la consulta en su cuaderno. Por qué la escala de medida de los terremotos se denomina Escala de Richter.

No debe ser 1 ya que

log a 1=0

es decir en general no

existe, aunque hay que tener en cuenta que debido a la

log a a=1 , el

propiedad

log 1 1=1

Cuál es la importancia de la Escala de Richter. Qué relación existe entre Magnitud en Escala Richter Efectos del terremoto 2. Desarrolle los siguientes ejercicios en su cuaderno

Las bases más frecuentes para los logaritmos son las base 10 ó logaritmos decimales y la base el número "e=2,718281" a los cuales se les denomina logaritmos neperianos. La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo neperiano" y se simboliza normalmente como Ln (x), este corresponde a la inversa de la función exponencial en la que la base a toma el valor de la constante de Euler:

ln( x )  ( e x ) 1

Definición

f : IR   IR

f Sea

una

f  x   log a x,

función,

con función logarítmica.

a  0 a 1 ,

tal

que

f , a

se le llama

La gráfica de una función logarítmica depende de la base, a y encontramos dos casos

Caso 1:

a

>1

TRABAJO EN EL AULA 1. Elabore la gráfica de la función y = f(x) = log5x,  Caso 2: 1, la gráfica es una parábola de la f  x   log 5  x  2  siguiente forma: 4.

a

5. 6.

En este caso podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base mayor que 1 cumple las siguientes características:  Su dominio es

IR  IR

 Su ámbito es

.Reales positivos

. Reales

f  x   2  log 5 x f  x    log 5 x f  x   2 log 5 x

7. Grafica 1 Y X

(0 , ∞)

(−∞, ∞)

 Es biyectiva a todo elementos del conjunto de salida (dominio) tiene una imagen distinta en el conjunto de llegada (rango), y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida  Es estrictamente creciente.  Es asintótica al eje Y negativo. (se al eje Y sin llegar nunca a tocarlo).  Interseca al eje X en este caso en el punto  Es cóncava hacia abajo.

1,0

.

Caso 2:

f  x   log a x, 0  a  1

f : IR   IR

tal que gráfica es una parábola de la siguiente forma:

, la

Aquí podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base mayor que 0 y menor que 1 cumple las siguientes características:

IR 



Su dominio es



Su rango es



Es biyectiva Es estrictamente decreciente. Es asintótica al eje Y positivo.

 

 

IR

. Reales positivos

. Reales

(0, ∞)

(−∞ , ∞)

Interseca al eje X en un punto, en este caso Es cóncava hacia arriba.

1,0

.

Grafica Y X Grafica Y X Grafica Y X Grafica Y X

4 5 6 7

                          

a) b)

f  x    ln  x  1

f  x   log 3 x

d) e)

f  x   log 1  x  1

f  x    log 2 x Trabajo en casa Realice las gráficas de las funciones propiedades

Bibliografía y Webgrafía: y describa sus

f  x   log 2 x  3 d)

c)

5

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/lo garitmo.html HERRERA RUIZ, Adolfo Javier y otros. Algebra y geometría II, Edit. Santillana Bogotá 2007.