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• Karla Hernández

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Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

La m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Si m es positiva (m > 0), entonces la función es creciente. En cambio, si la m es negativa (m < 0), entonces la función es decreciente. La pendiente m significa que si aumentamos la x en una unidad, la y aumenta en m unidades. Si la m es positiva, según aumente la x la y también irá aumentando (función creciente). En cambio, si m es negativa, cuando aumenta la x la y disminuirá (función decreciente).

Forma algebraica

Ecuaciones y gráficas Cuando la gráfica de una función es una recta: 

Si la recta pasa por el origen de coordenadas, es una función lineal, y = mx, y su pendiente, m, es la ordenada de x = 1.



Si no pasa por el origen, es una función afín, y = mx + n, donde n es la ordenada de x = 0 y m es la ordenada de x = 1 menos n.

Ejemplo: Vamos a determinar la expresión algebraica de las siguientes funciones

La recta de color rojo pasa por el origen de coordenadas, por tanto su ecuación será del tipo y = mx. Puesto que pasa por el punto (1,-2) su pendiente será m = 2. Por tanto la función es y = -2x. La recta de color azul no pasa por (0,0), por lo que su ecuación será del tipo y = mx + n.  

Pasa por (0,-1), entonces n = -1. Pasa por (1,2), entonces m = 2 - n = 2 - (-1) = 3.

La función es y = 3x - 1.

Gráfica de la función lineal. Con función lineal nos referimos a una función cuya gráfica es una línea recta cuando la dibujas en un diagrama cartesiano. Son siempre funciones del tipo Y=(polinomio de primer grado), es decir, y=ax+b o más usado: y=mx+n También se le llama "función afín". n es la ordenada en el origen, que es el punto en el la fución corta al eje y, o eje de ordenadas. Cuando n vale cero, entonces la gráfica pasa por el origen de coordenadas (el punto de cruce del eje X y el Y) y la función recibe el nombre de "función proporcionalidad", pues todas las proporcionalidades directas (recordad lo de "directamente proporcional") pueden ser expresadas como una función del tipo y=mx EJEMPLOS DE GRAFICAS LINEALES:

Por cierto, no olvidar que el punto de intersección de dos funciones lineales coincide con la solución del sistema de ecuaciones formado por esas dos funciones, y la ecuación de cada una de esas rectas puede ser hallada a partir de solo dos puntos.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero . En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax 2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .

representación gráfica de una función cuadrática Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .

Parábola del puente, una función cuadrática. Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática . Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son: Orientación o concavidad (ramas o brazos) Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces) Punto de corte con el eje de ordenadas Eje de simetría Vértice Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) : Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x , los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0 . Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo quef(x) = 0 . Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0 Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas) . Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos: Que corte al eje X en dos puntos distintos Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) Que no corte al eje X Esta característica se puede determinar analizando el discriminante , ya visto en las ecuaciones cuadráticas . Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas Ver: PSU: Matemática; Pregunta 34_2010 Pregunta 18_2006 Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero , por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c) . Veamos: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3 Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3 Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

las funciones exponenciales Además de funciones lineales, cuadráticas, racionales y radicales, existen las funciones exponenciales. Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = bx, donde b > 0 y b ≠ 1. Al igual que cualquier expresión exponencial, b se llama base y x se llama exponente. Un ejemplo de una función exponencial es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias se duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2x bacterias después de x horas. Esto se puede escribir como f(x) = 2x. Antes de empezar, f(0) = 20 = 1 Después de 1 hora f(1) = 21 = 2 Después de 2 horas f(2) = 22 = 4 En 3 horas f(3) = 23 = 8 etc. Con la definición f(x) = bx y las restricciones de b > 0 y b ≠ 1, el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos. La siguiente gráfica muestra f(x) = 2x.

Crecimiento exponencial Como pudiste ver arriba, esta función exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x porque se extiende a la izquierda (conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x. Conocer la forma general de las funciones exponenciales es útil para graficar ecuaciones o funciones exponenciales específicas. Hacer una tabla de valores también es útil, porque puedes usar la tabla para encontrar la curva de la gráfica con más precisión. Algo que recordar es que la

base tiene un exponente negativo, entonces tomas el recíproco de la base para

hacer el exponente positivo. Por ejemplo,

.

Ejemplo Problema

Respuesta

Hacer una tabla de valores para f(x) = 3x. x

f(x)

Has una “T” para empezar la tabla con dos columnas. Etiqueta las columnas con x y f(x).

x −2 −1 0 1 2

f(x)

Escoge varios valores para x y ponlos como filas separadas en la columna x.

x −2

f(x)

Consejo: Siempre es bueno incluir el 0, valores positivos y valores negativos, si es posible.

−1 0 1 2

1 3 9

Evalúa la función para cada valor de x y escribe el resultado en la columna f(x) junto al valor de xcorrespondiente. Por ejemplo, cuando x = −2, f(x) = 3-2 = = , entonces va en la columna f(x) junto al −2 de la columna x. f(1) = 31 = 3 y 3 va en la columna f(x) junto al 1 de la columna x. Observa que tu tabla de valores podría ser distinta a la de alguien más, si escogiste diferentes números para x.

Observa la tabla de valores. Piensa en lo que pasa conforme los valores de x aumentan — ¡también aumenta los valores de la función (f(x) o y)! Ahora que tienes la tabla de valores, puedes usarlos para dibujar la forma y la posición de la función. Conecta los puntos lo mejor que puedas para hacer una curva suave (no una serie de líneas rectas). Esto muestra que todos los puntos en la curva son parte de esta función.

Función cúbica Una función cúbica es una función polinomial de grado 3. Puede ser escrita en la forma f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , donde a, b, c y d son números reales y a ≠ 0. También puede ser escrita como f ( x ) = a ( x + b ) 3 + c , donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Ejemplo 1: Grafique la función f ( x ) = –2( x + 1) 3 – 3

Ejemplo 2: Grafique la función f ( x ) = x 3 – 6 x 2 + 12 x – 3

Funciones logarítmicas La función logarítmica "básica" es la función, y = log b x , donde b > 0 y b ≠ 1. La gráfica de la función logarítmica y = log 10 x se muestra a continuación.

Observe que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y = b x y tiene las siguientes propiedades. 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos. 2. El rango es el conjunto de todos los números reales. (Ya que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, el dominio de la función logarítmica es el rango de la función exponencial y el rango de la función logarítmica es el dominio de la función exponencial) 3. La función es continua y uno-a-uno. 4. El eje de las y es la asíntota de la gráfica. 5. La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1. La función logarítmica, y = log b x , puede ser cambiada en k unidades verticalmente y h unidades horizontalmente con la ecuación y = log b ( x + h ) + k . Cambio Vertical Si k > 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia arriba. Si k < 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia abajo. Cambio Horizontal

Si h > 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la izquierda. Si h < 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la derecha. Función logarítmica natural El logaritmo con base e es llamado el logaritmo natural. Se denota por ln x . La función logarítmica natural, y = ln x es la inversa de la función exponencial natural de base, y = e x . La gráfica de la función logarítmica natural y = ln x se muestra a continuación.

Función Inversa. Existen diferentes definiciones de función inversa, aunque el concepto matemático es el mismo. Para hallar la inversa de una función no se requiere de la utilización de la definición. Definición de Función Inversa Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f −1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Unicamente se usa como notación de la función inversa.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen:

Por tanto si M(b,a) es un punto de f, y por tantosabemos que M´(a,b) será un punto de g, entonces las pendientes de las tangentes en M y en M´son inversas. Es decir si la pendiente de la tangente en M es m, entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m. Observación: Recordad que no es lo mismo la función inversa, que la inversa de una función.

Distribución de frecuencias Las distribuciones de frecuencias son tablas en que se dispone las modalidades de la variable por filas. En las columnas se dispone el número de ocurrencias por cada valor, porcentajes, etc. La finalidad de las agrupaciones en frecuencias es facilitar la obtención de la información que contienen los datos. Ejemplo: Quieren conocer si un grupo de individuos está a favor o en contra de la exhibición de imágenes violentas por televisión, para lo cual han recogido los siguientes datos:

La inspección de los datos originales no permite responder fácilmente a cuestiones como cuál es la actitud mayoritaria del grupo, y resulta bastante más difícil determinar la magnitud de la diferencia de actitud entre hombres y mujeres. Podemos hacernos mejor idea si disponemos en una tabla los valores de la variable acompañados del número de veces (la frecuencia) que aparece cada valor:

X: Símbolo genérico de la variable. f: Frecuencia (también se simboliza como ni). La distribución de frecuencias de los datos del ejemplo muestra que la actitud mayoritaria de los individuos del grupo estudiado es indiferente. La interpretación de los datos ha sido facilitada porque se ha reducido el número de números a examinar (en vez de los 20 datos originales, la tabla contiene 5 valores de la variable y 5 frecuencias). Generalmente las tablas incluyen varías columnas con las frecuencias relativas (son el número de ocurrencias dividido por el total de datos, y se simbolizan "fr" o "pi"), frecuencias acumuladas (la frecuencia acumulada es el total de frecuencias

de los valores iguales o inferiores al de referencia, y se simbolizan "fa" o "na". No obstante la frecuencia acumulada también es definida incluyendo al valor de referencia), frecuencias acumuladas relativas (la frecuencia acumulada relativa es el total de frecuencias relativas de los valores iguales o inferiores al de referencia, y se simbolizan "fr" o "pa") Ejemplo: Consideremos el siguiente grupo de datos:

La distribución de freciemcias es:

La reducción de datos mediante el agrupamiento en frecuencias no facilita su interpretación: La tabla es demasiado grande. Para reducir el tamaño de la tabla agrupamos los valores en intervalos, y las frecuencias son las de los conjuntos de valores incluidos en los intervalos:

Ahora es más sencillo interpretar los datos. Por ejemplo, podemos apreciar inmediatamente que el intervalo con mayor número de datos es el 34-39, o que el 75% de los datos tiene valor inferior a 46. Este tipo de tabla es denominado "tabla de datos agrupados en intervalos". Elementos básicos de las tablas de intervalos:  





Intervalo: Cada uno de los grupos de valores de la variable que ocupan una fila en una distribución de frecuencias Límites aparentes: Valores mayor y menor del intervalo que son observados en la tabla. Dependen de la precisión del instrumento de medida. En el ejemplo, los límites aparentes del intervalo con mayor número de frecuencias son 34 y 39. Límites exactos: Valores máximo y mínimo del intervalo que podrían medirse si se contara con un instrumento de precisión perfecta. En el intervalo 34-39, estos límites son 33.5 y 39.5 Punto medio del intervalo (Mco Marca de clase): Suma de los límites dividido por dos. Mc del intervalo del ejemplo= 36.5  Amplitud del intervalo: Diferencia entre el límite exacto superior y el límite exacto inferior. En el ejemplo es igual a

Frecuencia acumulada La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. La frecuencia acumulada es la frecuencia estadística F(XXr) con que el valor de un variable aleatoria (X) es menor que o igual a un valor de referencia (Xr). La frecuencia acumulada relativa se deja escribir como Fc(X≤Xr), o en breveFc(Xr), y se calcula de: Fc (Hr)

= HXr / N

donde MXr es el número de datos X con un valor menor que o igual a Xr, y N es número total de los datos. En breve se escribe: Fc = M / N Cuando Xr=Xmin, donde Xmin es el valor mínimo observado, se ve que Fc=1/N, porque M=1. Por otro lado, cuando Xr=Xmax, donde Xmax es el valor máximo observado, se ve que Fc=1, porque M=N. En porcentaje la ecuación es: Fc(%) = 100 M / N

Distribución de porcentual acumulativa DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS. OJIVAS PORCENTUALES La frecuencia relativa acumulada o frecuencia porcentual acumulada es la frecuencia acumulada dividida por la frecuencia total. Por ejemplo, la frecuencia relativa acumulada de alturas menores que 68,5 pulgadas es 65/100 = 65 %, queriendo con ello decir que el 65 % de los estudiantes tienen alturas menores de 68,5 pulgadas. Si se utilizan en la Tabla 2, y Fig. 2, las frecuencias relativas acumuladas en lugar de las frecuencias acumuladas, los resultados se llaman distribuciones de frecuencias relativas acumuladas o distribuciones porcentuales acumuladas y polígonos de frecuencias relativas acumuladas u ojivas porcentuales, respectivamente.

distribucion de frecuencias de valores agrupados en intervalos de amplitud variable Las distribuciones de frecuencias son tablas que resumen los datos originales en frecuencias. Los tipos de frecuencia pueden ser: - Frecuencia Absoluta (f).- Es el número de veces que se repite el valor de cada variable. La suma de frecuencias absolutas es siempre al total de datos observados. - Frecuencia Relativa (fr).- Indica la proporción con que se repite un valor. Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de las frecuencias relativas es siempre 1

- Frecuencia Acumulada (fa).- Indica el número de valores que son menores o iguales que el valor dado. Es la suma de la frecuencia absoluta primera con la segunda, este valor con la tercera, y así sucesivamente. - Frecuencia Porcentual (f%).- Llamada también frecuencia relativa porcentual. Se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100. La suma de las frecuencias porcentuales es siempre 100%. Se calcula así: - Frecuencia Relativa Acumulada (fra).- Es la suma de la frecuencia relativa primera con la segunda, este valor con la tercera, y así sucesivamente. - Frecuencia Relativa Acumulada Porcentual (fra%).- Indica el número de valores que son menores o iguales que el valor dado. Se obtiene multiplicando la frecuencia relativa acumulada por 100. Se calcula así: REGLAS GENERALES PARA FORMAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS Cuando los datos contienen una gran cantidad de elementos, para facilitar los cálculos es necesario agruparlos, a estos grupos se los llama intervalos o clases. Un intervalo es una serie de números incluidos entre dos extremos, así por ejemplo, el intervalo 40 – 45 está formado por 40, 41, 42, 43, 44 y 45, siendo 40 el límite inferior, 45 el límite superior, 39,5 límite real inferior (límite inferior disminuido en 5 décimas) y 40,5 el límite real superior (límite superior aumentado en 5 décimas). Las reglas generales para formas distribuciones de frecuencias para datos agrupados en intervalos son: 1) Calcule el Rango (R).- También se llama recorrido o amplitud total. Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de los datos. 2) Seleccione el Número de Intervalos de Clase (ni).- No debe ser menor de 5 y mayor de 12, ya que un número mayor o menor de clases podría oscurecer el comportamiento de los datos. Para calcular el número de intervalos se aplica la regla de Sturges:

Siendo n el tamaño de la muestra. 3) Calcule el Ancho del Intervalo (i).- Se obtiene dividiendo el Rango para el número de intervalos Cuando el valor de i no es exacto, se debe redondear al valor superior más cercano. Esto altera el valor de rango por lo que es necesario efectuar un ajuste así: Por ejemplo: Si una distribución de 40 datos el valor mayor es 41 y el menor es 20 se tiene: Calculando el Rango se obtiene: Calculando el número de intervalos se obtiene: Calculando el ancho se obtiene: Redondeando se obtiene: i = 4 Calculando el nuevo rango se obtiene: El exceso de 3 que se tiene en este caso se distribuye entre xmáx y xmín. Por lo general se agrega al mayor y se quita al menor. Como por ejemplo, se podría agregar 2 al valor mayor y quitar 1 al valor menor, obteniéndose los siguientes nuevos valores:

O también se podría agregar 1 al valor mayor y quitar 2 al valor menor, obteniéndose los siguientes nuevos valores:

4) Forme los Intervalos de Clase agregando i-1 al límite inferior de cada clase, comenzando por el Xmín del rango. 5) Se realiza el Conteo de Datos que cae dentro de cada clase (frecuencia absoluta) 6) Calcule la Marca de Clase (xm).- Es el valor medio de cada clase, se obtiene sumando los límites superior (Ls) e inferior (Li) del intervalo y dividiendo ésta suma entre 2 7) Calcule las Frecuencias EJEMPLO ILUSTRATIVO A 40 estudiantes se les pidió que estimen el número de horas que habrían dedicado a estudiar la semana pasada (tanto en clase como fuera de ella), obteniéndose los siguientes resultados:

36

30

47

60

32

35

40

50

54

35

45

52

48

58

60

38

32

35

56

48

30

55

49

39

58

50

65

35

56

47

37

56

58 50 47 58 55 39 Solución: 1) Calculando el Rango se obtiene:

58

45

2) Calculando el número de intervalos se obtiene: 3) Calculando el ancho se obtiene:

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS DE AMPLITUD CONSTANTE.

La agrupación en intervalos de clase es un método estadístico que se utiliza para estudiar el comportamiento de un conjunto de datos y consiste en formar grupos de valores consecutivos de la variable y poner cada uno de estos grupos en cada fila, en lugar de poner una sola puntuación, indicando el número de datos correspondido en cada clase. Cuando los datos estadísticos de que se disponen son numerosos, se puede organizar y clasificar en una distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de amplitud constante y variable. RANGO: Es el recorrido de toda la distribución. Su formula es: R = X> - X - D< (la diferencia entre el dato mayor y el dato menor) INTERVALO: Es el espacio entre cada grupo de datos. Su formula es: K = 1 + 3.33 log x AMPLITUD: Es el ancho de un grupo. I = R / K EJEMPLO: Con los resultados obtenidos en un examen de Matemática de 45 alumnos de 3º. Básico haremos una distribución de frecuencias de valores agrupados en intervalos de amplitud

constante.