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Funcion lineal

Sea la función f definida en los reales por la ecuación f(x) = 2x – 6. a) Haz un esbozo de su gráfico. b) Escribe sus propiedades. c) Verifica si el par (– 1 ; – 8) pertenece a la función f. d) Calcula: 2f(2) – Solución inciso a: Como la representación gráfica de una función lineal es una recta, basta con dos puntos para hacer su esbozo. Puedes tomar los llamados puntos cómodos, o sea, los interceptos de la recta con los ejes de coordenadas. 

Intercepto con el eje "x": 2x – 6 = 0 (Haces cero la ordenada en la ecuación) x = 3 (Despejas x)



Intercepto con el eje "y": y = – 6 (Coincide con el valor de n) Los puntos de intersección de la recta con los ejes son (3 ; 0) y (0 ; – 6).

Ejercicio 2 En el sistema de coordenadas rectangulares aparece representada una función lineal de la forma g(x) = mx + n. a) Escribe la ecuación de la función g. b) Di sus propiedades. c) Si el par (3 ; y) pertenece a la función g, halla el valor de la ordenada. Solución inciso a: Para escribir la ecuación de una función lineal, necesitas los valores de m y n. 

En la gráfica aparecen dos de los puntos de la recta, pero ninguno de ellos te brinda el valor de n. En este caso debes: 1. Hallar primero el valor de m utilizando la fórmula. Los puntos dados en la gráfica son (1 ; 1) y (– 1 ; 5)

=

Ejercicio 3 En el sistema de coordenadas aparece representada la función lineal h.

3.1. Escribe verdadero (V) o falso (F). Argumenta las que consideres falsas. a) ___ La función h es monótona creciente. b) ___ El valor de n es – 4. c) ___ La función es impar. d) ___h(– 2) = 4. 3.2. Selecciona la respuesta correcta. a) La ecuación de la función h es: ___ h(x) = 4x – 4 ___ h(x) = – 4x + 4 ___h(x) = – 2x – 4 ___ h(x) = – 4x – 4 b) El cero de la función h es: ___

=–1

__

= – 1,5

__

= – 0,5

__

=–2

c) De la función h se puede afirmar que: ___ es positiva para ___ tiene imagen

. .

___ no es inyectiva. ___ la gráfica interseca al eje "y" en el punto (– 4 , 0). Solución: 3.1. a) F. La gráfica se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. b) V. Recuerda que el valor de n coincide con el intercepto de la recta con el eje "y" c) F. La gráfica no es simétrica respecto al origen de coordenadas o no cumple que h(– x) = – h(x). d) V. Si observas la gráfica, para x = – 2, el valor de y es 4 3.2. a) La ecuación es h(x) = – 4x – 4. El valor de n es – 4, por lo que queda descartada la segunda ecuación. También la gráfica se inclina hacia abajo, luego la pendiente es negativa y queda descartada la primera ecuación. Quedarían la tercera y la cuarta, para determinar si la pendiente es – 2 o – 4. Aquí puedes operar de dos formas: 1. Hallas la pendiente por la fórmula. 2. Verificas si el punto (– 2 ; 4) dado en la gráfica satisface la ecuación tres o la cuatro. Por la segunda vía quedaría de esta manera: y = – 2x – 4 y = – 2(– 2) – 4 = 4 – 4 = 0 no se cumple. y = – 4(– 2) – 4 = 8 – 4 = 4

4 = 4 se cumple.

Ejercicio 4 Sean las funciones lineales f y g dadas por sus ecuaciones f(x) = 2 – x y g(x) = 3 y la función h cuya

representación gráfica es

.

4.1. Selecciona la respuesta correcta. a) La función f es negativa para: ___ x < – 2. ___ x < 2. ___ x > 2 . ___ x > – 2. b) De la función g se puede afirmar que: ___ es monótona creciente. ___ no es par ni impar. ___ es inyectiva. ___ su conjunto imagen es

.

c) De la función h se puede afirmar que: ___ es impar. ___ no tiene cero. ___ es monótona decreciente. ___ el par (4 ; 2) pertenece a la función. 4.2. Completa los espacios en blanco. a) La ecuación de la función h es ________________. b) La función f es monótona ________________.

c) El dominio de la función g es _______________. d) f(– 1) es igual a ________. Solución: 4.1. a) La función f es negativa para x > 2. Ten en cuenta que el cero de la función es x = 2 y como la pendiente es negativa (m = – 1), la función es monótona decreciente, por lo que la parte de la recta que está por debajo del eje "x" está a la derecha de 2. b) De la función g se puede afirmar que el conjunto imagen es . Estás en presencia de una función constante y su imagen siempre es el conjunto unitario cuyo elemento es el valor de n. c) De la función h se puede afirmar que es impar. La recta es simétrica respecto al origen de coordenadas. 4.2. a) La ecuación de la función h es h(x) = 2x. Como la recta pasa por el origen de coordenadas, n = 0 y la ecuación es de la forma y = mx. Sustituyes el par (2 ; 4) en la ecuación y obtienes 4 = 2m, de donde m = 2. También puedes hallar la pendiente utilizando la fórmula estudiada y los puntos (0 ; 0) y (2 ; 4). b) La función f es monótona decreciente. Ten presente que la ecuación no está ordenada y la pendiente es el coeficiente de la x, m = – 1. c) El dominio de la función g es

.

Recuerda que las funciones lineales tienen dominio el conjunto de los números reales, pues su gráfica barre todo el eje "x". d) f(– 1) es igual a 3. Recuerda que debes sustituir en la ecuación la x por – 1 y efectuar el cálculo indicado.

Ejercicio 5 Una sustancia se somete a un proceso de enfriamiento durante varios minutos. En la gráfica se muestra cómo fue variando su temperatura durante el proceso, a partir de las 11:40 a.m. y hasta finalizar. a) ¿Cuál era la temperatura inicial de la sustancia? b) ¿Durante cuánto tiempo estuvo descendiendo la temperatura? c) ¿A qué hora la sustancia alcanzó los 0oC? d) ¿Cuál fue la temperatura mínima alcanzada por la sustancia?

Solución 

Para resolver todos estos incisos debes apoyarte en la información que te brinda la gráfica. a) La temperatura inicial de la sustancia puedes determinarla observando la gráfica que parte de 15 en el eje de las ordenadas. o

R/ La temperatura inicial es 150C.

b) Como la gráfica desciende durante toda la medición basta con observar el tiempo que marca la culminación del proceso de enfriamiento.

o

R/ La temperatura estuvo descendiendo durante 28 minutos.

c) Para responder a qué hora la sustancia alcanzó los 0oC debes : 3. Hallar el cero de la función 

Para hallar el cero de la función es necesario escribir su ecuaciónque en este caso no la ofrecen. Como la gráfica corta al eje "y" en 15, el valor de n es 15. Tomas el par (4 ; 12) que es un punto de la gráfica y el valor de n y los sustituyes en y = mx + npara hallar el valor de m 12 = 4m + 15 (Sustituyes el par y m en la ecuación) 12 – 15 = 4m (Transpones el 15) – 3 = 4m (Efectúas la sustracción) m = – 0,75 (Hallas el valor de m) La ecuación es T = – 0,75t + 15

4. Calculas el cero: 0 = – 0,75t + 15 (Sustituyes y por cero) 0,75t = 15 (Transpones el primer término al otro miembro para que quede positivo) t = 20 (Despejas t)

Como te piden la hora, debes adicionar 20 minutos a la hora de inicio del proceso (11:40 a.m.). Obtienes las doce meridiano. R/ La sustancia alcanzó los 0ºC a las 12:00 m. 

d) Para determinar la temperatura mínima alcanzada por la sustancia debes observar en la gráfica que la temperatura mínima se alcanza cuando han transcurrido 28 minutos. Luego, sustituyes en la ecuación el tiempo por 28 y calculas la temperatura pedida: T = – 0,75t + 15 T = – 0,75.28 + 15 = – 21 + 15 = – 6 R/ La temperatura mínima alcanzada por la sustancia fue de –60C.

Función cuadrática y = −x² + 4x – 3 1. Vé r t ice

x

v

= − 4 / −2 = 2

y

v

= −2² + 4· 2 − 3 = 1

V( 2, 1)

2. P u nt os de cor t e con e l e j e O X .

x² − 4 x + 3 = 0

( 3, 0)

3. P u nt o de cor t e con e l e j e O Y .

( 0, −3)

( 1, 0)

y = x² + 2x + 1 1. Vé r t ice

x

v

= − 2 / 2 = −1

y

v

= (− 1 )² + 2 · (−1 ) + 1 = 0

V ( − 1, 0)

2. P u nt os de cor t e con e l e j e O X .

x² + 2 x + 1 = 0

C oin c id e con e l vé r t ice : ( −1 , 0 )

3. P u nt o de cor t e con e l e j e O Y .

( 0, 1)

y = x² + x + 1

1. Vé r t ice .

x v = −1 / 2

y v = ( −1 / 2 )² + ( −1 / 2 ) + 1 = 3 /4

V( −1/ 2, 3/ 4)

2. P u nt os de cor t e con e l e j e O X .

x² + x + 1 = 0

1² − 4 < 0

No h a y pu n t os de cor t e con O X .

3. P u nt o de cor t e con e l e j e O Y .

( 0, 1)

Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

Un a fu n ci ón cu a dr á t ica t ie n e u n a e xp r e sión d e la f or ma y = x² + a x + a y p a sa p or e l p u n t o (1 , C a lcu la r e l va lor de a .

9 = 1² + a · 1 + a a = 4

Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (1,1). Calcula a, b y c.

Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (−1,1). Calcula a, b y c. a=1b=0c=0

FUNCIONES POLINÓMICAS