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2018 - GUIA MATEMÁTICA – PROF. RICARDO BILBAO

FUNCION LINEAL Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio. Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal. Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado. EJES “CARTESIANOS” (o ejes X – Y) Unos ejes cartesianos son un par de rectas reales perpendiculares que nos permiten identificar los distintos puntos del plano. Identificaremos un punto P cualquiera mediante un par de números a y b, y escribiremos P = (a, b). Antes de ver cómo encontrar dichos a y b, analicemos un poco más a fondo los ejes cartesianos. Esta es una representación gráfica de unos ejes cartesianos:

Observamos que tenemos dos rectas reales que se cruzan en el punto 0 de ambas. Es destacable que dichas rectas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, y distinguidas según muestra la figura:

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Los distintos ejes tienen nombres propios:  

El eje horizontal es el eje de abscisas. El eje vertical es el eje de ordenadas.

El punto donde se cortan los dos ejes se llama origen (a veces sencillamente O), y tiene por coordenadas O = (0, 0). Una vez vista la notación habitual, ya estamos en condiciones de localizar puntos. Una definición rigurosa de qué se considera coordenadas de un punto podría ser: Dados uno ejes cartesianos y un punto P del plano, si a y b son el valor de la proyección del punto P sobre los ejes de abscisas y ordenadas respectivamente, entonces se tiene P = (a, b). Una definición más constructiva podría ser la siguiente: Las coordenadas a y b de un punto P del plano, P = (a, b), son los puntos de intersección de las paralelas a los ejes de coordenadas trazadas desde el punto P con los ejes de coordenadas. La primera coordenada a es la intersección con el eje horizontal o de abscisas, y la segunda coordenada b es la intersección con el eje vertical o de ordenadas. Un ejemplo visual resultará mucho más clarificador. Ejemplo De entrada, por situación inicial tenemos el punto y los ejes de coordenadas:

Si trazamos paralelas des del punto P, tenemos: 2

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Y por tanto ya podemos decir que P = (2, -3). El proceso de representar puntos es exactamente el mismo pero a la inversa. Supongamos que queremos representar el punto P = (-1, 2) en unos ejes cartesianos, el procedimiento a seguir es el siguiente: Marcamos en el eje de abscisas el punto – 1 y en el eje de ordenadas el punto 2: Trazamos paralelas a los ejes de ordenadas y abscisas por los puntos a y b respectivamente:

La intersección de dichas paralelas es el punto P = (-1, 2)

Continuamos… Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1. Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7

b(x) = -4x+3

f(x) = 2x + 5 + 7x - 3

De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma más sencilla, f(x) = 9x + 2 También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso. Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R. Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6" 3

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Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores. f: R ——> R / f(x) = 2x-6 Le vamos dando valores a "x". ¿Qué valores le podemos dar? Cualquiera que esté dentro del dominio. Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6

f(5) = 4

Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4). f: R —> R / f(x) = a.x+b Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero. Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta. Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11 si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13 si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos. g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7 si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4 si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. h: h(x) = 4

si x= 0 , entonces h(0) = 4 si x= 98 , entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.

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¿Qué diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j? Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3 Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existen gráficos ni puntos entre ellos. Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia. La representación gráfica de h es una línea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos. Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es muy importante. Cuando no se especifica el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

Veamos otro ejemplo: Esta función, llamada q, ¿será lineal? Supongamos, además, que es una función de R en R. Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón. 5

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Dominio Codominio x 4 7 13 16

y 1 2 4 9

Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3

Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1

Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6

Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si

Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3

Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5

Se rompió la relación

Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no está de acuerdo con esto. ¿Qué número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal?

RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresión analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b con a y b números reales. La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta está dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b. Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresión analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b con a y b números reales. El punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen y la llamamos b.

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Veamos un ejemplo

Sistema de ecuaciones lineales: método gráfico: Vamos a resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico. En este método, hacemos la gráfica de cada función lineal, y si éstas se cortan, hay solución y la solución es el punto de corte. Veamos un ejemplo.

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¿Cómo puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje x? El punto de corte de cualquier función con el eje OX se halla igualando la función a la ecuación del eje OX. La ecuación del eje OX es y=0 Entonces el punto de corte de la función y=ax+b con el eje OX, de ecuación y=0 es halla resolviendo la ecuación ax+b=0 Por ejemplo la función lineal f(x)=5x+20 cortará al eje OX en el punto resultante de resolver 5x+20=0 Vamos a hacerlo: 5x+20=0 5x=-20 x=-20/5 x=-4 En el ejemplo anterior, no dijimos nada del dominio y codominio de la función. Se supone que son todos los reales, por omisión. Veamos otros ejemplos. ¿Cómo puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje x con gráficas? Es el corte con el eje OX.

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En este ejemplo vemos que las funciones h y j son muy distintas, porque su dominio es diferente, aunque su fórmula es la misma.

Un ejercicio resuelto: costo, ingreso, ventas, beneficio Una fábrica recibe $25 por cada unidad de su producción vendida. Tiene un costo marginal de $15 por artículo y un costo fijo de $1200 ¿Cuál es el nivel de ingresos n, si vende (a) 200 artículos, (b) 300 artículos y (c) 100 artículos? INTRODUCCIÓN: El nivel de ingresos, sinónimo de beneficio, es la diferencia entre lo que entra a una empresa y lo que sale. En otros términos, el beneficio es la diferencia entre las ventas y los costos. BENEFICIO = VENTAS COSTOS VENTAS: Es el producto de la cantidad vendida por el valor de cada unidad. VENTAS = PRECIO x CANTIDAD COSTOS: Es la suma del costo fijo (alquiler del local) y del costo variable. COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD. El costo marginal es el costo de cada unidad extra que se fabrica. En resumen: BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD) Resolución del ejercicio: BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD) BENEFICIO = 25 X CANTIDAD - (1200 + 15 X CANTIDAD) Para que quede un poco más sencillo, a la cantidad la podemos llamar q. BENEFICIO = 25 X q- ( 1200 + 15 X q ) El ejercicio solicita el nivel de ingreso, o sea el beneficio, para a) 200, b) 300 o c) 100 unidades. Entonces sólo falta sustituir en esta expresión el valor de "q" y hacer las operaciones. Cuidado que los signos de "+" y "-" separan términos. Primero hay que multiplicar por "15" y luego sumarle "1200". BENEFICIO (a) = 25 x 200 - (1200 + 15 x 200 ) BENEFICIO (a) = 5000 - (1200 + 3000) BENEFICIO (a) = 5000 - (4200) BENEFICIO (a) = 800. En resumen, la empresa gana 800 pesos. Análogamente, para la segunda parte: BENEFICIO (b) = 25 x 300 - (1200 + 15 x 300) Entonces BENEFICIO (b) = 7500 - (1200+ 4500) = 1800 La empresa gana 1800 pesos. Y para la tercera parte: BENEFICIO (c) = 25 x 100 - (1200 + 15 x 100 ) BENEFICIO (c) = 2500 - (1200 + 1500) 9

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BENEFICIO (c) = 2500 - 2700 BENEFICIO(c) = -200 La empresa pierde 200 pesos.

¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta si conocemos 2 puntos de la misma? Supongamos que tenemos que hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q(3,4) Los puntos los hemos representado en este par de ejes coordenados.

Para hallar la ecuación de la recta tenemos que encontrar los valores de "a" y de "b" en f(x)=ax+b. Esto lo hacemos sustituyendo por los puntos que tenemos en esta ecuación. Es lo mismo escribir y=ax+b Para el punto (2,1), cuando la x es 2, la y vale 1. Entonces 1=a.2+b Para el punto (3,4), cuando la x es 3, la y vale 4. Entonces 4=a.3+b Nos ha quedado un sistema de ecuaciones que vamos a resolverlo. Primero lo escribimos un poco más ordenado: 10

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y ahora que conocemos el valor de "a", podemos averiguar "b":

Entonces y=ax+b sustituyendo por los valores de a y b nos queda y=3x-5 Vamos ahora a graficar esta función y si está bien, debería pasar por los puntos originales P y Q.

Ejercicio resuelto: De la función 3x+4y=12 deducir la fórmula de la ecuación de la recta y también la de una paralela y otra perpendicular. Luego graficar por pendiente y ordenada en el origen. La ecuación de recta es y=f(x).

3x+4y=12

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Para graficarlas, a) La ordenada en el origen es el término independiente, porque aquí la x vale 0. Entonces, como ejemplo, la ordenada en el origen de y = 7x+9 es 9. La ordenada en el origen de y = 4 + 9x es 4. (Cuidado que está escrito al revés....) Hay que tener cuidado de no confundirse, porque el término independiente es el que no tiene a la x multiplicando. Puede estar escrito a la derecha o a la izquierda. b) Para usar la pendiente, debemos saber el significado de la pendiente. "La pendiente es la cantidad en que varía el valor de la función cada vez que la variable x aumenta en una unidad." Por ejemplo, sea la función y = 3x-4. Cuando x es 2, y = 3.2-4 y = 2 Cuando x es 3, y = 3.3-4 y = 5 Entonces, cuando la x aumento en una unidad, desde 2 hasta 3, la "y" aumentó desde 2 hasta 5, o sea , 3 unidades. Ese "3" es justamente el valor de la pendiente. Entonces, si sabemos que la función aumenta en 3 unidades con cada aumento de x en una unidad, podemos graficarlo. 12

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Al tener un punto de la gráfica, por ejemplo, la ordenada en el origen, nos movemos una unidad a la derecha y luego 3 unidades para arriba.

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Ejercicio resuelto: Dar la ecuación de la recta con los datos: pendiente y un punto. ¿Cuál es la ecuación de la recta con m = -3/4 y que pasa por (7, -5)? Graficar. Resolución: Dicho de otra manera, nos piden al ecuación de la recta, y los datos que nos dan es que tiene pendiente -3/4 y que pasa por el punto (7,-5). Lo primero es que y = a.x + b es la ecuación de la recta. Como sabemos que la pendiente es -3/4, sustituyendo, queda: y = -3/4.x + b Para calcular el valor que nos falta, b, vamos a utilizar el dato que pasa por el punto (7,-5). El punto (7,-5) significa que cuando x=7, entonces y=-5. Recordemos que los puntos se representan (x,y). Sustituyendo en la ecuación, y = -3/4.x + b entonces -5 = -3/4.7 + b Ahora, haciendo operaciones, -5 = -21/4 + b Trasponiendo términos, -5 +21/4 = b En resumen, y = -3/4.x + 1/4 Ahora vamos a hacer una tabla de valores para poder hacer la gráfica. Usamos algunos valores de x, cualquiera. x y = -3/4.x + 1/4 0 y = -3/4.0 + 1/4 = 1/4 3 y = -3/4.3 + 1/4 = -8/4 = -2 -1 y = -3/4.(-1) + 1/4 = 4/4 = 1 7 y = -3/4.7 + 1/4 = -20/4 = -5 14

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Estos 4 puntos que hemos encontrado, ( 0, 1/4) (3 , -2 ) (-1 ,1 ) (7 ,-5 ) están pintados de verde en la gráfica más abajo y son los que nos sirven para dibujar la recta.

PROBLEMAS RESUELTOS: Problema 1 Justificar cuáles de las siguientes representaciones son la gráfica de una función y cuáles no: Figura 1:

Figura 2:

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Figura 3:

Figura 4:

Figura 5:

Resolución: Cada número del dominio de una función debe tener una única imagen. Si tiene más, no es una función. Figura 1 Es la circunferencia de centro (0,0) y radio 1.5. No puede ser la gráfica de una función porque tiene los puntos (0,1.5) y (0, -1.5). Es decir, la imagen de x=0 sería f(0)=1.5 y f(0)=−1.5 Figura 2: Es la gráfica de una parábola, es decir, de una función del tipo f(x)=ax2+bx+c Concretamente, se trata de la función f(x)=x2−x

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Figura 3: En la figura 3 tenemos la recta horizontal y=3, que es la gráfica de la función constante f(x)=3 Figura 4: Es la recta vertical x=5. Las rectas verticales no son la gráfica de una función porque esto implicaría que x=5 tenga infinitas imágenes. Los puntos de la gráfica son (5,y), ∀ y ∈ R Figura 5: Es la gráfica de una función polinómica con 6 raíces. Concretamente, es la gráfica de la función f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)

Problema 2 Los dominios (los valores que puede tomar la variable) de determinadas funciones son a. b. c. d. e. f.

1 ≤ x ≤3 −6 ≤ x −2 < x −15 ≤ x < −5 −6 < x < 0 −∞ < x ≤ −5

Se pide representarlos en la recta real. Solución: a. 1 ≤ x ≤3

b. −6 ≤ x < 6

c. −2 < x ≤ 4

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d. −15 ≤ x < −5

e. −6 < x < 0

f. −∞ < x ≤ −5

En los dos siguientes problemas, se pide representar la gráfica de una función. Para ello, puedes escribir en una tabla algunos números de su dominio y sus respectivas imágenes, obteniendo así algunos puntos de la gráfica. Después, une los puntos para obtener la gráfica. Problema 3 Representar la gráfica de la función

¿Cuál es el dominio y la imagen de la función? Solución: El dominio de la función es el intervalo cerrado [0,6] (en el enunciado se indican los valores que puede tomar x). Como la función es un polinomio de segundo grado, es una parábola. Además, como el coeficiente director (el del monomio x2 es positivo, tiene forma de U. El vértice de la parábola es el punto cuya primera coordenada es

Luego la segunda coordenada es

El vértices es (3,−4). 18

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Calculamos la función en los extremos del intervalo del dominio:

La tabla que obtenemos es

Por tanto, tenemos los puntos

Con estos tres puntos podemos representar la gráfica fácilmente:

Observando la gráfica, la imagen o recorrido de la función es el intervalo [−4,5] porque la función toma todos los valores entre -4 y 5 incluidos. Problema 4: Representar la gráfica de la función

El dominio de la función es el intervalo [0,4]. 19

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Solución: Como la función es un polinomio de grado 2, es una parábola. Evaluamos la función en los extremos del dominio para obtener dos puntos:

Los puntos son

Calculamos el vértice:

El vértice está en el punto (2,1). La tabla obtenida es

Luego la gráfica de la función es

La imagen de la función es el intervalo [−3,1]. 20

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Problema 5 Calcular el dominio de las siguientes funciones. Nota: una función puede tener varios dominios posibles, pero nosotros queremos que sea lo más grande posible.  Función f(x):



Función g(x):



Función h(x):

Solución: 

Función f: Como la función es un polinomio, x puede tomar cualquier valor real. Por tanto, el dominio es todos los reales: R.



Función g: Se trata de una función racional (una fracción). Tenemos que excluir los puntos x para los que el denominador se anula (ya que no se puede dividir entre 0). Tenemos que resolver una ecuación de segundo grado:

Los valores que no puede tomar x son -4 y 4. Por tanto, el dominio es



Función h: Antes que nada, la expresión de la función puede reducirse. Nótese que el numerador puede escribirse como 21

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Por tanto, la función queda como

Así, es fácil ver que el dominio es todos los reales. Problema 6: Observando las gráficas, calcular el dominio y la imagen de las funciones que representan: Gráfica 1:

Gráfica 2:

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Gráfica 3:

Gráfica 4:

Gráfica 5:

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Solución: 

Gráfica 1: El dominio es todos los reales (R). El recorrido es el intervalo [−4,+∞[. Se trata de una parábola. Más concretamente, es la función f(x)=(x−3)2−4



Gráfica 2: El dominio es todos los reales (R). El recorrido es el intervalo ]−∞,20]. Se trata de una parábola. Más concretamente, es la función f(x)=−(x+5)2+20



Gráfica 3: El dominio es todos los reales excepto 2, es decir, R−{2}. El recorrido es todos los reales excepto 0, es decir, R−{0}. Se trata de una hipérbola. Más concretamente, es la función f(x)=1/(x−2)



Gráfica 4: El dominio es todos los reales. El recorrido es el intervalo ]0,10]. Es la gráfica de la función f(x)=10/(x2+1).



Gráfica 5: El dominio es todos los reales excepto los puntos 2 y -2. El recorrido es todos los reales excepto 0. Es la gráfica de la función f(x)=1/(x2−4).

PROBLEMAS DE APLICACIÓN FUNCION LINEAL (RESUELTOS) PROBLEMA 1 Si el coste de fabricación de un bolígrafo es de 0,3$ por unidad y se venden por 0,5$, calcular: a. La función de beneficios en función del número de bolígrafos vendidos. Representar su gráfica. b. Calcular los beneficios si se venden 5.000 bolígrafos. c. Calcular cuántos bolígrafos deben venderse para generar unos beneficios de 1.648$. Solución Apartado a: Como cada bolígrafo se vende por 0,5$ y su coste de fabricación es de 0,3$, los beneficios por cada bolígrafo vendido son

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Por tanto, si se venden x bolígrafos, los beneficios son

La función de beneficios es

Exigimos x sea mayor o igual que 0 (x ≥ 0) porque el número de bolígrafos vendidos no puede ser negativo. Para representar la gráfica, damos algunos valores a x para obtener algunos puntos:

La gráfica de la función es

Apartado b: Si se venden 5.000 bolígrafos, aplicando la función, los beneficios son

Los beneficios son 1.000$. Apartado c: Queremos calcular el número x de bolígrafos vendidos para que las ganancias sean 1.648$. Para ello, resolvemos la ecuación

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Es decir,

Deben venderse 8.240 bolígrafos. PROBLEMA 2 Una empresa discográfica realiza una inversión inicial de 5.000$ para preparar las canciones de un álbum musical. El coste de fabricación y grabación de cada disco es de 4$. Además, la discográfica debe pagar al cantante 1$ por cada disco por derechos de autor. Se decide que el precio de venta del disco sea 15$. Se pide: a. La función de beneficios (ganancias menos gastos) de la empresa en función del número de discos vendidos. Representar su gráfica. b. El número de discos que deben venderse para que la empresa tenga unas ganancias de 100.000$. c. ¿Cuáles son los beneficios si se venden sólo 200 discos? Solución Apartado a: Por un lado, los gastos de la empresa son:   

5.000$ para preparar el disco. 4$ por cada disco grabado. 1$ de derechos de autor del cantante por cada disco.

Por otro lado, las ganancias de la empresa son 15$ por cada disco. La función de beneficios de la empresa en función del número de discos vendidos x es

Nota: como la inversión de 5.000$ no depende del número de discos, no multiplicamos 5.000 por x.

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Su gráfica es

Apartado b: Calculamos x para que las ganancias sean 100.000$:

Para ganar 100.000$, la discográfica debe vender 950 discos. Apartado c: Si se venden 200 discos, los beneficios son

Los beneficios son negativos porque no se venden suficientes discos para recuperar la inversión inicial de 5.000$. En esta situación, la discográfica pierde 3.000$. PROBLEMA 3 Antonio va a comprarse un teléfono móvil y está estudiando la oferta de dos compañías distintas: La compañía A le ofrece pagar 0,2$ por el establecimiento de la llamada y 0,15$ por cada minuto de llamada. 27

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La compañía B le ofrece pagar 0,5$ por el establecimiento de la llamada y 0,05$ por cada minuto de llamada. Se pide: a. Representar la función del coste de una llamada en cada una de las compañías. b. Calcular cuándo es más recomendable una compañía u otra en función del tiempo de duración de una llamada. c. Antonio sabe que, aproximadamente, realiza 100 llamadas mensuales que suman un total de 350 minutos. ¿Qué compañía le conviene? Solución Apartado a: En la compañía A, por cada llamada, se pagan 0,2$ más 0,15$ por cada minuto. Por tanto, el coste de una llamada en función del número x de minutos es

En la compañía B, el coste es de establecimiento es de 0,5$ y el coste por cada minuto es de 0,05$. Por tanto, la función del coste es

Representamos ambas gráficas:

Apartado b: Observando las gráficas, si la llamada dura 3 minutos, el coste es el mismo en ambas compañías:

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Para las llamadas de menos de 3 minutos, conviene contratar la compañía A (la gráfica de f está por debajo de la de g). Y para llamadas de más de 3 minutos, la compañía B. Apartado c: Vamos a calcular el precio que debería pagar Antonio en cada una de las compañías por las 100 llamadas con un total de 350 minutos. Lo que haremos es multiplicar el coste del establecimiento de llamada por 100 y el coste de cada minuto por 350. Compañía A:

Compañía B:

Antonio tendría que pagar 72,5$ en la compañía A y 67,5$ en la compañía B. Por tanto, le conviene contratar la compañía B. PROBLEMA 4 Manuel quiere imprimir su novela y pide presupuesto a una papelería. Le dicen que el coste de impresión por cada libro sería:   

7€ si imprime un máximo de 100 libros. 5€ si imprime una cantidad de libros superior a 100 e inferior a 300. 3€ si imprime una cantidad mínima de 300 libros.

Se pide: a. Calcular la función (por partes) que proporciona el coste d impresión en función del número de libros. Representar su gráfica. b. ¿Cuánto debe pagar Manuel si imprime 60 libros? ¿Y si imprime 220 libros? ¿Y si imprime 400 libros? c. Calcular cuánto debe pagar Manuel si imprime 299 libros. ¿Y si imprime 300 libros?. Observar la gráfica de la función para comentar el resultado. Solución Apartado a: Se trata de una función definida a trozos:  Si 0≤x≤100, f(x)=7⋅x. 29

2018 - GUIA MATEMÁTICA – PROF. RICARDO BILBAO  

Si 100