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• Januario Gonzalez

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Fracciones parciales De por WikiMatematica.org

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Fracciones parciales (Parte 1)

Mas vídeos de técnicas de integración (http://www.academatica.com/calculo/calculo­integral/)

Contenido 1 Introducción a las fracciones parciales 2 Caso I (Factores Lineales Distintos) 2.1 Ejemplo Caso I 3 Caso II (Factores Lineales Repetidos) 3.1 Ejemplo caso II 4 Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles) 4.1 Ejemplo Caso III 5 Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido) 5.1 Ejemplo Caso IV 6 Caso V (Fracción Impropia) 6.1 Ejemplo Caso V 7 Ejemplos 8 Libro 9 Video 10 Vea También

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Introducción a las fracciones parciales El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador. Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma 

 donde:

P(x) y Q(x) son polinómios El grado de P(x) es menor que el de Q(x) NOTA Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples. En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde: ­ El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y, ­ El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.

Caso I (Factores Lineales Distintos) En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos. Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)(a3x + b3)...(anx + bn) a y b son constantes, proponer:  (1) Encontrar A1,A2,An

Ejemplo Caso I Sea 

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Primero factorizamos el denominador nos quedaría  Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

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Caso II (Factores Lineales Repetidos)

Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple 

 en (1), se usaría

 (2)

Ejemplo caso II Si tenemos 

 

en el denominador Q(x) = (x + 1)3(x − 1)(x − 2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x − 3)3, x − 1 y x − 2 Para (x − 1) y (x − 2) usamos el caso I entonces escribimos  Para (x + 1)3 usamos el caso II entonces escribimos  Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos, 

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Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles) Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac