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• Jesus Garreta Mendoza

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Funciones periódica: Una función f es periódica de periodo T > 0 si para cualquier valor de x del dominio de la función se cumple que:

Siendo K un número entero. Simplificando la expresión:

Es decir, una función es periódica cuando se repite cada cierto intervalo. Ejemplo de función periódica:

sen x

La función f(x) = sen (x) es periódica, ya que se cumple que: f(x) = f(x + K·2π) para todo K ∈ Z . sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = sen(x + 6π) = ...

Además, sen(- x) = - sen(x) , por lo tanto es impar, y su representación gráfica es la siguiente:

Desarrollo en serie de Fourier de una función periódica: Sea f(t) una función periódica de período T, se puede expresar como la siguiente serie trigonométrica:

Siendo , la frecuencia angular del primer armónico. El término “a0” se llama "componente de continua" mientras que cada término de la sumatoria es denominado nésimo armónico. Los coeficientes “a0”, “an” y “bn” pueden deducirse utilizando las propiedades ortogonales del seno y el coseno. Para deducir “an” hay que multiplicar la ecuación 1 por “cos(mw0t)” e integrar en un período. Para deducir “bn” hacer lo mismo con la función seno. Nótese que “a0” es un caso particular de “an” pero se pone la ecuación de todas maneras porque hay veces donde “an” no tiene sentido para n=0.

Propiedades según forma de onda Estas son algunas propiedades que permiten agilizar el proceso de calcular coeficientes de una serie trigonométrica. 

Si f(t) es par y periódica con período T la serie de Fourier solo consta de los coeficientes “a0” y “an”



Si f(t) es impar y periódica con período T la serie de Fourier solo consta de los coeficientes “bn”



Si Si f(t) tiene simetría de media onda, los armónicos pares (n par) se anulan.

Ejemplo: Sea la función f(t): f, t € *0,1) que se ha extendido con periodo t=1, calculemos su serie de Fourier:

Resumiendo:

La serie de Fourier de la función periódica f(t) es:

Desarrollo en serie de Fourier de una función no periódica: La idea es que si en una función periódica hacemos que T tienda a infinito, la función deja de ser periódica. Más aún, “w0” se vuelve tan chico que lo podemos tomar como un

diferencial y la relación “n△w “se vuelve un continuo al cual simplemente llamamos “w”. Uniendo la serie compleja de Fourier con el cálculo de sus coeficientes se puede escribir:

Coeficiente del desarrollo en serie de Fourier Considerando el desarrollo en términos de funciones ortogonales, podemos encontrar los coeficientes del desarrollo de Fourier para la función f(t) dada por :

Vale la pena mencionar que en esta expresión se ha separado el término cuando n = 0, de la definición de Serie de Fourier, y ahora la sumatoria empieza en n = 1.

El término corresponde al valor promedio de la función f(t) en el periodo T, como veremos a continuación.

Si multiplicamos la expresión dada anteriormente por encontramos que:

he integramos de 0 a T

Mientras que para n = 0, se tiene

Por otro lado, multiplicando la misma expresión pero ahora T, encontramos que:

, e integrando de 0 a

Definición: Sea f(t) una función convergente en el intervalo 0 ≤ t ≤ T, el desarrollo en serie de Fourier para f(t) existe y está dado por:

Donde los coeficientes del desarrollo (an) y (bn) están dados por:

para n = 1, 2, 3, ...; mientras que (a0) está dado por:

se le conoce como frecuencia fundamental y está dada por:

donde T es el periodo de la función f(t). El cálculo y estudio de las series de Fourier se conoce como análisis armónico (o análisis de Fourier) y es extremadamente útil al estudiar funciones periódicas arbitrarias y hacer un análisis de la misma en términos de su contenido frecuencial o espectro, wn. Ejemplo: Dada f(t) = t definida en el intervalo [-1,1] y con periodo T = 2, bosqueje la gráfica entre t = -3 y t = 3 y calcule los coeficientes de la serie de Fourier correspondiente. Solución. La gráfica de la función tiene la forma

Así que: A continuación, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier empezando con a0

Mientras que los coeficientes (an) están definidos por:

Para calcular esta integral, usamos el método de integración por partes,

Para terminar, calculemos el coeficiente (bn):

Es decir:

Con lo anterior, para la función f(t) = t definida en el intervalo [-1,1] y con periodo T = 2, la serie de Fourier resulta ser:

Formula de Euler La Fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:

Para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, y son las funciones trigonométricas seno y coseno. O bien:

Siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy. Funciones pares: FUNCIÓN PAR. Si una función f satisface que f(-x) = f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par. Ejemplo. Comprobar que f(x) = x2 es par. f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) Como f(-x) = f(x), entonces la función es par!

f (-x) -x

f (x) x

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y.

Funciones impar: FUNCIÓN IMPAR. Si una función f satisface que f(-x) = - f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función impar. Ejemplo. Demostrar que f(x) = x3 es una función impar. f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x) Como f(-x) = - f(x), entonces la función es impar!

f (x)

x -x f (-x)

La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Ejemplos: determine si las funciones que se da es par, impar o ninguna: a)

( )

Soluciones:

b) ( )

c) ( )

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional U.N.E.F.A Núcleo -Sucre Cumaná, Edo. Sucre

DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER

Realizado por: Jesús Garreta C.I: 20346218 Ing. Naval

Cumaná enero del 2014