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• Mariely Carrillo

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INVESTIGACIÓN 2 “ANTECEDENTES, TECNOLOGÍA ACTUAL Y TENDENCIAS DEL ANÁLISIS FOURIER”

HORA 8:00 – 9:00AM FECHA 18/09/15

Introducción La ingeniería ha empleado a lo largo de la historia métodos de análisis que trataban de reducir la complejidad matemática de un problema. En este documento expondremos como Fourier logro eso con su análisis, además de los que su trabajo aporto para las ciencias.

Antecedentes El análisis de Fourier debe su nombre a Jean Baptiste Joseph Fourier (17681830), un matemático y físico francés. Si bien muchas personas contribuyeron a su desarrollo, Fourier es reconocido por sus descubrimientos matemáticos y su visión en el uso práctico de las técnicas. Su interés se centraba en la propagación de calor, presentando en 1807 un trabajo en el Instituto Francés sobre el uso de funciones senoidales para representar distribuciones de temperatura. El trabajo presentaba un resultado controvertido: que cualquier señal continua y periódica podía representarse como la suma una serie de ondas senoidales adecuadamente elegidas. Entre los revisores de su trabajo estaban dos de los matemáticos más reputados de su época y también de la Historia, Joseph Louis Lagrange (17361813) y Pierre Simon de Laplace (1736-1827), que habían sido sus maestros en la Escuela Normal Superior de París.

La historia del análisis de Fourier tiene más de 200 años. Sus orígenes principian unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presentó la primera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la Academia de París (1807). El año 1750 es un buen punto de partida: Fernando VI era rey de España, y Jorge II de Inglaterra; las colonias de América del norte estaban en medio de las guerras con los nativos y los franceses; unos años después Carlos III creaba el virreynato del Río de la Plata (1776). Voltaire, Rousseau y Kant estaban escribiendo sus libros en Europa; Bach acababa de morir, y Mozart estaba pronto a nacer; y el cálculo de Leibnitz y Newton, publicado 75 años antes, estaba permitiendo la creación de poderosas nuevas teorías sobre la mecánica celeste y la mecánica del continuo. En ese momento los esfuerzos de los físicos y matemáticos se concentraban en dos problemas principales, que sentarían las bases de lo que posteriormente se conocería como análisis de Fourier: El problema de la cuerda vibrante o la propagación del sonido en un medio elástico; La determinación de las órbitas de los planetas a partir de mediciones.

Actualidad La Transformada de Fourier es una herramienta de análisis muy utilizada en el campo científico (acústica, ingeniería biomédica, métodos numéricos, procesamiento de señal, radar, electromagnetismo, comunicaciones, etc.). Transforma una señal representada en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia pero sin alterar su contenido de información, sólo es una forma diferente de representarla. La potencia del análisis de Fourier radica en que nos permite descomponer una señal compleja en un conjunto de componentes de frecuencia única; sin embargo, no nos indica el instante en que han ocurrido. Por

ello, esta descomposición es útil para señales estacionarias: las componentes de las frecuencias que forman la señal compleja no cambian a lo largo del tiempo. Cualquier señal periódica se puede expresar como una suma de funciones senosoidales, denominada serie de Fourier. Trasformada de Fourier

Las series de Fourier han permitido el desarrollo de nuevos campos en la matemática. Uno de los teoremas fundamentales del análisis funcional, el teorema de Riesz-Fischer, se demuestra usando series de Fourier. Se considera que este teorema es la base de la teoría de transformación de von Newman, que muestra la equivalencia entre la descripción ondulatoria y matricial de la mecánica cuántica. A medida que el uso de la Transformada de Fourier se fue extendiendo se fueron haciendo necesarias herramientas numéricas que permitiesen su implantación en computadoras, para así facilitar el análisis de formas de onda complicadas, las cuales podrían ser inabordables analíticamente. La carga de cálculo en la realización de una Transformada de Fourier es un parámetro muy importante, ya que por ejemplo el número de multiplicaciones depende del cuadrado del número de muestras empleadas. Para acelerar este proceso se fueron desarrollando computadoras cada vez más potentes y algoritmos de cálculo cada vez más eficientes Tendencias La Transformada de Fourier es una herramienta poderosa ya que proporciona métodos para la resolución de ecuaciones difíciles de manejar, como por ejemplo, las respuestas dinámicas de sistemas eléctricos, lumínicos y térmicos. En otros casos permite identificar las aportaciones de índole regular a una señal fluctuante. Son muchas las ramas de la ciencia en las que la Transformada de Fourier se emplea cotidianamente. De hecho, la forma de doble hélice del ADN fue descubierta en 1962 gracias a las técnicas de difracción de Rayos X y el análisis de Fourier. También se puede emplear en el tratamiento de imágenes, para

mejorar su contenido o resaltar alguna de la información presente en la misma, en biología Ejemplo de tratamiento de imágenes donde se han realzado los bordes de la imagen mediante un filtro paso alto Con la Transformada de Fourier lo que se consigue es un cambio de dominio, o sea, el paso de la información contenida en una señal del dominio temporal, o espacial, al de la frecuencia y viceversa, de modo que permita mejorar el análisis de dicha señal. Es una herramienta muy extendida y aceptada con innumerables seguidores,

Conclusión Podemos concluir como el análisis de Fourier pudo tener diferentes aplicaciones en la actualidad, como una ecuación matemática puede dar respuesta a distintos fenómenos y su aportación en la ciencia desde la música hasta el campo de la medicina.

Bibliografía Manuel Juan Güereca Tijerina. (4 /01/13). El Análisis de Fourier: Una herramienta matemática para el estudio de señales y sistemas.. 18/09/15, de Curso de Invierno de Teoría de Telecomunicaciones. Sitio web: https://prezi.com/dpfv97zg4hpd/15-el-analisis-de-fourier-unaherramienta-matematica-para-el-estudio-de-senales-y-sistemas/ . Agustin Ortiz Melguizo. (20 de diciembre de 2006). Estudio sobre JOSEPH FOURIER. 18/09/15, de Universidad Aut´onoma de Madrid Sitio web: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Estudio %20sobre%20Joseph%20Fourier.pdf.

Camilo José Carrillo González . (2003 ). Fundamentos del Análisis de Fourier . 18/09/15, de Universidade de Vigo Sitio web: http://grupo_ene.webs.uvigo.es/publicaciones/Apuntes_Fourier.pdf U.N.S.. (2011). Analisis de Fourier. U.N.S., de 18/09/15 Sitio web: http://www.ingelec.uns.edu.ar/pds2803/materiales/cap02/02-cap02-01historia.pdf