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• Pablo Cruz Herrera

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Transformada de Fourier Definición

La Transformada de Fourier. La Transformada de Fourier tiene una estrecha relación con la de Laplace, En Laplace s = σ + jw En Fourier s = jw Previamente hemos representado señales periódicas como una suma sinusoidales o exponenciales de la forma e jwt .

Representación de una señal aperiódica mediante la integral de Fourier

Para representar una señal aperiódica x(t ), primero construiremos una señal periódica xT0 (t ) repitiendo la señal x(t ) en intervalos de T0 segundos. El periodo está diseñado lo suficientemente largo para evitar traslape entre los pulsos repetidos. La señal periódica xT0 (t ) se puede representar por una serie de Fourier exponencial. Si hacemos T0 → ∞ el pulso se repetirá despues de un intervalo infinito.

Por lo tanto la serie de Fourier está dada por xT0 (t ) =

∞

∑

n =−∞

Dn e jnw0t

donde 1 Dn = T0

T0 /2

∫

−T0 /2

xT0 (t )e

− jnw0t

dt ,

2π w0 = T0

Integrar xT0 en ( −T0 / 2, T0 / 2 ) es lo mismo que integrar x(t ) en ( −∞, ∞ ) 1 Dn = T0

∞

∫

x(t )e − jnw0t dt ,

−∞

El espectro cambiará mientras T0 aumenta. Analizemos X ( w), ∞

X ( w) =

∫

−∞

x(t )e − jwt dt

∞

X ( w) =

∫

−∞

xT0 (t )e− jwt dt

1 Dn = X ( nw0 ) T0 1 Esto significa que los coeficientes de Fourier son veces la muestra T0

de X ( w ) .

∞

1 xT0 (t ) = ∑ X ( nw0 ) e jnw0t n =−∞ T0 Cuando T0 → ∞, w0 se vuelve infinitesimal w0 → 0. 2π Δw = T0

∞

1 xT0 (t ) = ∑ X ( nΔw ) e jnΔwt n =−∞ T0 Tomamos ahora el límite T0 → ∞, Δw → 0, xT0 (t ) → x(t ) x(t ) = lim xT0 (t ) = T0 →∞

1 = lim Δw→∞ 2π 1 x(t ) = 2π

∞

1 jnΔwt X n Δ w e ( ) ∑ n =−∞ T0

∞

∫

X ( w)e jwt dw

−∞

Por lo tanto, una señal aperiódica se puede representar por una Integral de Fourier en lugar de una Serie.

Entonces, ∞

X ( w) =

∫

x(t )e − jwt dt

−∞

X ( w) = ℑ [ x(t ) ] x(t ) = ℑ−1 [ x( w)] 1 x(t ) = 2π

∞

∫

−∞

X ( w)e jwt dw

Hallar la transformada de Fourier de e − at u (t ) Por definición, ∞

X ( w) =

− at − jwt e u ( t ) e dt = ∫

−∞

−1 −( a + jw)t X ( w) = e a + jw X ( w) =

1 a +w 2

2

e

∞

0

∞

∫

e

− ( a + jw )t

u (t )dt

−∞

1 = , a>0 a + jw

j − tan −1 ( w / a )

qué pasa si a < 0?

Condiciones para la existencia de la transformada de Fourier, 1) x(t ) debe ser integrable ∞

∫

x(t ) dt < ∞

−∞

2) x(t ) sólo puede tener un número finito de discontinuidades en un intervalo finito. 3) x(t ) sólo puede tener un número finito de máximos y mínimos en un intervalo finito. Estas son condiciones suficientes, mas no necesarias. La transformada de Fourier es una operación lineal.

Ejemplo. Hallar la transformada de Fourier de un pulso rectangular.

t

x(t ) = rect ( )

τ

X ( w) =

X ( w) =

∞

⎛t rect ∫−∞ ⎜⎝ τ τ /2

∫τ

− /2

e

− jwt

⎞ − jwt ⎟ e dt ⎠

2sin ( wτ / 2 ) 1 − jwτ /2 − jwτ /2 −e = dt = − e ( ) jw w

τ sin ( wτ / 2 ) = τ sinc ( wτ / 2 ) X ( w) = ( wτ / 2 )

Hallar la transformada inversa de δ ( w ) 1 −1 ℑ [δ ( w )] = 2π ℑ

1 ⇔ 2πδ ( w )

∞

1 ∫−∞ δ ( w) e dw = 2π jwt

∞

∞

−∞

−∞

∫ δ ( t ) φ ( t ) dt = φ ( 0 ) ∫ δ ( t ) dt = φ ( 0 )

Hallar la transformada inversa de δ ( w − w0 ) . 1 ℑ−1[δ ( w − w0 )] = 2π e

jw0t

ℑ

⇔ 2πδ ( w − w0 )

∞

jwt w w e dw = − δ ( ) 0 ∫

−∞

1 jw0t e 2π

Ejemplo. Hallar la transformada de Fourier de cos ( w0t )

(

1 jw0t cos w0t = e + e − jw0t 2 ℑ

)

cos w0t ⇔ π (δ ( w + w0 ) + δ ( w − w0 ) )

Transformada de Fourier de una señal periódica. x(t ) =

∞

∑De

n =−∞

X ( w ) = 2π

jnw0t

n

,

2π w0 = T0

∞

∑ D δ ( w − nw )

n =−∞

n

0

Hallar la transformada de Fourier de un escalón unitario. ∞

U ( w) =

∫ u (t )e

−∞

− jwt

∞

dt = ∫ e 0

− jwt

−1 − jwt dt = e jw

∞

0

lo cual nos da una respuesta indeterminada.

Expresar u (t ) como lim e − at u (t ) a →0