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• Daniel Álvarez

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Propiedades de las operaciones binarias S! : conjunto dado ! * : operación binaria definida en S 1)

2)

3)

Conjunto generador Sea V un espacio vectorial sobre K, y sea G !

∈ S : a *b = b *a Asociatividad

! ∀a , b 4)

!i i )S es linealmente independiente si la igualdad ¯ solo se satisface con !α1v¯1 + α 2 v¯2 + . . . + α 2 v¯n = 0 ¯ !α1 = α 2 = . . . = α 2 = 0

∈ S : a *b ∈ S Conmutatividad

! ∀a , b

∈ S : a * (b * c ) = (a * b) * c

Elemento inverso (para cada a !

∈ S)

! ̂ ∈ S : â * a = e a Campo ¡No olvides verificar distributividad! ! ∀a , b , c

∈ K : a + (b * c ) = (a + b) * c

Espacio vectorial Sea V un campo NO VACÍO y sea K UN CAMPO , donde se definen las operaciones de adición de vectores y la multiplicación por un escalar.

Cerradura

Conmutatividad

Asociatividad

Elemento idéntico (neutro cero del campo)

u! ¯ + e = u¯ 5)

Elemento inverso

u! ¯ + e ̂ = e Para la multiplicación de un vector por un escalar 6)

Cerradura

(α ! u¯ ) ∈ V 7)

Distributividad sobre vectores

α ! (u¯ + v¯ ) = α u¯ + α v¯ 8)

Distributividad sobre escalares

! (α + β )u¯ = α u¯ + β u¯ 9)

Homogeneidad

α ! ( β u¯ ) = (α β ) u¯ 10)

Elemento idéntico (unidad del campo)

! ̂ u¯ = u¯ a Campos 1. 2. 3. 4.

R es un espacio vectorial sobre el campo de los reales. R no es espacio vectorial sobre el campo de los complejos. C es un espacio vectorial sobre el campo de los reales. C es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.

Subespacio Sea V un espacio vectorial sobre K y sea S un subconjunto de V. Sea un subespacio de V sí y solo sí: !i ) ∀ u¯ , v¯ ∈ S : u¯ + v¯ ∈ S !i i ) ∀α ∈ K , v¯ ∈ S : α v¯ ∈ S Combinación lineal Un vector w ! ¯ es una combinación lineal de los vectores v ! ¯1 , v¯2 , . . . , v¯n si puede ser expresado en la forma w !¯ son escalares. Dependencia lineal

x! ∈ V. Si !x¯ = α1v¯1 + α 2 v¯2 + . . . + α n v¯n los escalares !α1, α 2 , . . . , α n se llaman coordenadas de !x¯ en la base B; y el vector de !K n !( x¯ )B = (α1, α 2 , . . . , α n )T se llama vector de coordenadas de x ! ¯ en la base B.

B

(! u¯ + v¯ ) + w¯ = u¯ + (¯v + w¯ ) 4)

Vector de coordenadas Sea !B = v¯1 , v¯2 , . . . , v¯n una base de un espacio vectorial V sobre K y sea

3. Recordar que !(M A )([ V¯

u! ¯ + v¯ = v¯ + u¯ 3)

= v¯1 , v¯2 , . . . , v¯n es una base de V. Se = n. En particular, si

dice que V es de dimensión “n”, lo cual se denota con d ! i mV ¯ , d! i mV = 0. ! = (0) V

B

u! ¯ + v¯ ∈ V 2)

Dimensión Sea V un espacio vectorial sobre K. Si B !

Matriz de transición 1. Hacer combinación lineal entre cada uno de los elementos de A con todos los elementos de B, y obtener el vector de coordenadas para que, de esta forma, obtengamos la matriz de transición. 2. Recordar que: !(M A )−1 = M B

Axiomas que debe cumplir. Para la adición de vectores: 1)

= v¯1 , v¯2 , . . . v¯3 un conjunto de

vectores de V. Se dice que G es un generador de V si para todo vector x !¯ ∈ V existen escalares α ! 1, α 2 , . . . , α n tales que x ! ¯ = α1v¯1 + α 2 v¯2 + . . . + α n v¯n. Base Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente independiente.

Elemento idéntico (es único)

e! ∈ S, ∀a ∈ S : e * a = a 5)

= v¯1 , v¯2 , v¯3 un conjunto de vectores: i! )S es linealmente dependiente si existen escalares !α1, α 2 , . . . α n no todos ¯ (sistema compatible iguales a cero, tales que !α1v¯1 + α 2 v¯2 + . . . + α 2 v¯n = 0 indeterminado).

Cerradura

! ∀a , b

Sea !S

! 1, α 2 , α n = α1v¯1 + α 2 v¯2 + . . . + α n v¯n donde α

A ] A ) = [V¯ ]B y viseversa.