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Tipos de soluciones Trivial= x1=x2=x3…xn=0 Arbitraria o no trivial= x1x2….xn0 Única= x1=n, x2=n, x3=n… Det=0 Singular o no invertible Det0 No singular o invertible Operaciones por matrices *

+

Determinantes =(a*d)-(b*c) [

+

]= a [

=Crame o [

[

]-

][

b*

]

+ c*

+

+

+

Potencia de una matriz ArAs=Ar+s (Ar)s=Ars A0=I *

+

Ak=AK de veces

+

Área de un paralelogramo ⃗⃗⃗⃗⃗ = (ui-vi),(uj-vj),(uk-vk) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(vi-wi),(vj-wj),(vk-wk) ⃗⃗⃗⃗⃗ x⃗⃗⃗⃗⃗⃗ área=√

Triangular principal

]=[

]

señalada ]= *

+

-

[

]

+[

Producto cruz uxv= i [ ] + j*

-*

++ *

+- [

]

[

]- *

++ *

+

2

+ k*

+

Volumen de un paralelepípedo u

Menor de cofactores Es la matriz de todos los menores complementarios ]= * +- [ +…. = [ ] [ ] + [ ]-* 1

+

]

[ ][

3

4

Menor adjunta Es la transpuesta de la matriz de cofactores ] [ Matriz inversa Matriz adjunta entre el determinante  [

A=

Triple producto escalar (uxv) w

Menor complementario Si se determina ubicación se eliminara la fila y columna de la [



Propiedades de la inversa (A-1)-1=A (A-1)k=(Ak)-1 Det A-1=1/det A (A)-1=A-1/

]

*



Matriz inversa I=Identidad * AA-1=I AI =A-1

Transpuesta [

Simétrica y Antisimétrica

]

Encontrar el valor de la incógnita x [ ] = Al número para que el det=0

][

]

3

ó (u v) w

Vector en R2 Magnitud |v| = √

Dirección Ө = Tan-1 y/x

Vector en R3 Magnitud |v| = √ Dirección Өx = cos y/|v| Өy = cos x/|v| Өz = cos z/|v| Vector unitario ⃗ = (

) 

=1

Angulo entre vectores  Cos-1 Proyección de vectores sobre otro vector  W= u v

Producto punto o escalar u(i, j, k)  v(i, j, k)=(uivi+ujvj+ukvk) Orden de las expresiones. AxB x CxD = AxD n=columnas y m=renglones Espacio vectorial = V Conmutativa, como algoritmos Subespacio vectorial = H X + Y = 0 Vector X + Y ≠ 0 No vector Combinación lineal Ejemplo ecuación = 2x + 3y W = ⃗ + ⃗ = 2(a,b) + 3(d,c) = (2a+3d , 2b+3c) a, b, c, d = Se dan en el problema Generador Matriz cuadrada det. ≠ 0 Matriz cuadrada + otra matriz (n=1). Vector linealmente dependiente Matriz es múltiplo, Det. = 0, n>m Vector linealmente independiente Det ≠ 0, solución trivial. Base Si es la matriz es generador e independiente Base espacio solución Escalonada reducida ecuaciones  Veces que aparece cada término como en matriz n=1  Matriz de los términos anteriores (Dimension = n)

Rango = p(A) Es igual al número de pivotes en la escalonada reducida Nulidad = (A) V(a) = n – p(A) n=Numero de columnas Cada renglón como si fuera matriz

Imagen =

(Espacio renglones)

Cada columna como si fuera matriz * + * + (Espacio columnas)

Base espacio solucion

Base canoníca a no canoníca [ ] Se invierte la matriz no canoníca. Base no canoníca a canoníca [ Cofactores de la de trancision (

]