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UNIVERSIDAD AUTONOMA "TOMAS FRIAS" CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL MAT-313

FORMULARIO GENERAL SISTEMA DE COORDENADAS MOVIL (triedro movil) VECTOR TANGENTE UNITARIO ′

𝑻 𝑡 =

𝒓 𝑡 𝒓′ 𝑡

PLANO OSCULADOR

𝑃𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑻 𝑡 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑻 𝑡 ∙ 𝑻′ 𝑡 = 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑻′ 𝑡 𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑻(𝑡)

, 𝑠𝑖 𝒓′(t) ≠ 0

VECTOR NORMAL UNITARIO

𝑵 𝑡 =

𝑻′ 𝑡 𝑻′ 𝑡

𝑩 𝑡0 ∙

𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝒓 𝑡0

=0

PLANO RECTIFICANTE

𝑵 𝑡0 ∙

, 𝑠𝑖 𝑻′(t) ≠ 0

𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝒓 𝑡0

=0

PLANO NORMAL VECTOR BINORMAL

𝑻 𝑡0 ∙

𝒓′ 𝑡 × 𝒓′′(𝑡) 𝑩 𝑡 =𝑻 𝑡 ×𝑵 𝑡 = ′ 𝒓 𝑡 × 𝒓′′(𝑡) TORSION

𝝉 𝑡 =

𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝒓 𝑡0

=0

CURVATURA

(𝒓′ 𝑡 × 𝒓′′ 𝑡 ) ∙ 𝒓′′′ 𝑡 𝒓′ 𝑡 × 𝒓′′(𝑡) 2

𝑠𝑖 𝒓′ 𝑡 × 𝒓′′(𝑡) ≠ 0

𝒌 𝑡 =

𝒓′ 𝑡 × 𝒓′′ 𝑡 𝒓′(𝑡) 3

𝑪: 𝑹 𝒕 = 𝒙 𝒕 𝒊 + 𝒚 𝒕 𝒋 + 𝒛 𝒕 𝒌

Funcion vectorial y curva en R3 Derivada de una funcion vectorial

𝑹′ 𝒕 = 𝒙′ 𝒕 𝒊 + 𝒚′ 𝒕 𝒋 + 𝒛′ 𝒕 𝒌

Recta tangentea la curva C en el punto F(to)=(x(to),y(to),z(to)) tiene como ecuaciones parametricas

𝒙 = 𝒙 𝒕𝟎 + 𝝀𝒙′ 𝒕𝟎 𝒚 = 𝒚 𝒕𝟎 + 𝝀𝒚(𝒕𝟎 ) 𝒛 = 𝒛 𝒕𝟎 + 𝝀𝒛′ 𝒕𝟎 Plano normal a una curva

𝒙 ′ 𝒕𝟎 𝒙 − 𝒙 𝒕 𝟎

+ 𝒚′ 𝒕𝟎 𝒙 − 𝒚 𝒕𝟎

reglas de derivacion

1. 𝑭 + 𝑮 ′ = 𝑭′ + 𝑮′ 2. 𝒄𝑭 ′ = 𝒄𝑭′ 3. 𝒇 𝒕 𝑭 𝒕

′

= 𝒇′ 𝒕 𝑭 𝒕 + 𝒇 𝒕 𝑭′ 𝒕

+ 𝒛 ′ 𝒕𝟎 𝒙 − 𝒛 𝒕𝟎

=𝟎

Longitud de una curva 𝒃

𝒃

𝑳 = න 𝑹′(𝒕) 𝒅𝒕 = න 𝒂

𝒙′(𝒕)

𝟐

+ 𝒚′(𝒕)

𝟐

+ 𝒛′(𝒕)

𝟐 𝒅𝒕

𝒂

4. 𝑭 ∙ 𝑮 ′ = 𝑭′ ∙ 𝑮 + 𝑭 ∙ 𝑮′ 5. 𝑭 × 𝑮 ′ = 𝑭′ × 𝑮 + 𝑭 × 𝑮′ 𝒅

6. 𝒅𝒕 𝑭 𝒇 𝒕

= 𝒇′ 𝒕 𝑭′(𝒇 𝒕 )

AUX. UNIV. CHAMBI JIMENEZ IVAN

FORMULARIO MAT-313

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ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL MAT-313

Campos vectoriales 𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒇𝟏 𝒙, 𝒚 𝒊 + 𝒇𝟐 𝒙, 𝒚 𝒋 o 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒇𝟏 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒊 + 𝒇𝟐 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒋 + 𝒇𝟑 𝒙, 𝒚, 𝒛 Derivadas de campos vectoriales

Campo vectorial gradiente

𝜕𝐹 𝜕𝑓1 𝜕𝑓2 𝜕𝑓3 = 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑓1 𝜕𝑓2 𝜕𝑓3 = 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑓1 𝜕𝑓2 𝜕𝑓3 = 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧

𝛻𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑖+ + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Derivada direccional

𝐷𝑢 𝜑 𝑃0 = 𝛻𝜑 𝑃0 ∗ 𝑢

𝑢=

vector unitario

𝑣 𝑣

Superficies en el espacio y superficies de nivel

𝑥, 𝑦 / 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

En el plano

En el espacio

𝑥, 𝑦, 𝑧 / (𝑥 ∈ 𝐷 𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Curvas de nivel

Planos tangentesy rectas normales a una superficie 𝜕𝜑 𝜕𝑥

𝜕𝜑

𝜕𝜑

𝑃0 𝑥 − 𝑥0 + 𝜕𝑦 𝑃0 𝑦 − 𝑦0 + 𝜕𝑧 𝑃0 𝑧 − 𝑧0 =0

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀 ∙ 𝒕 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀 ∙ 𝒕 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀 ∙ 𝒕

Ecuacion del plano tangente a φ en Po

Recta normal, donde λ son los valores de la gradiente en cada componentre

Divergencia y Rotacional Sea 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒇𝟏 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒊 + 𝒇𝟐 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒋 + 𝒇𝟑 𝒙, 𝒚, 𝒛 DIVERGENCIA 𝝏𝒇𝟏 𝝏𝒇𝟐 𝝏𝒇𝟑 en terminos del operador nabla tenemos 𝑫𝒊𝒗𝑭 = + + 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏 𝝏 𝝏 𝑫𝒊𝒗𝑭 = 𝛁 ∙ 𝑭 =

1. 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑣𝐹 > 0 2. 𝑆𝑢𝑚𝑖𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑣𝐹 < 0 3. 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑣𝐹 = 0

𝝏𝒙

𝒊+

ROTACIONAL

𝑟𝑜𝑡𝐹 =

𝜕𝑓3 𝜕𝑓2 𝜕𝑓1 𝜕𝑓3 𝜕𝑓2 𝜕𝑓1 − 𝑖+ − 𝑗+ − 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝝏𝒚

𝒋+

𝝏𝒛

𝒌

∙ 𝒇𝟏 𝒊 + 𝒇𝟐 𝒋 + 𝒇𝟑 𝒌 =

𝝏𝒇𝟏 𝝏𝒇𝟐 𝝏𝒇𝟑 + + 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛

en terminos del operador nabla tenemos 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕 𝜕 𝑟𝑜𝑡𝐹 = 𝛻 × 𝐹 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑓1 𝑓2 𝑓3

𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑡𝐹 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝐹 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 PROPIEDADES DE LA DIVERGENCIA Y DEL ROTACIONAL

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𝒓𝒐𝒕 𝜵𝝋 = 𝟎 𝒅𝒊𝒗 𝒓𝒐𝒕𝑭 = 𝟎 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒊𝒂𝒏𝒐 𝒅𝒊𝒗 𝜵𝝋 = 𝜵 ∙ 𝜵𝝋

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Formulas en las que interviene el operador

𝛻

𝛻 𝜑 ± 𝜔 = 𝛻(𝜑) ± 𝛻(𝜔) 𝛻∙ 𝐹+𝐺 =𝛻∙𝐹+𝛻∙𝐺 𝛻× 𝐹+𝐺 =𝛻×𝐹+𝛻×𝐺 𝛻 ∙ 𝜑𝐹 = 𝛻𝜑 ∙ 𝐹 + 𝜑 𝛻 ∙ 𝐹 𝛻 × 𝜑𝐹 = 𝛻𝜑 × 𝐹 + 𝜑 𝛻 × 𝐹 𝛻∙ 𝐹×𝐺 = 𝐺∙ 𝛻×𝐹 −𝐹∙ 𝛻×𝐺 𝛻× 𝐹×𝐺 = 𝐺∙𝛻 𝐹−𝐺∙ 𝛻∙𝐹 − 𝐹∙𝛻 𝐺+𝐹 𝛻∙𝐺 𝛻 𝐹∙𝐺 = 𝐺∙𝛻 𝐹+ 𝐹∙𝛻 𝐺+𝐺× 𝛻×𝐹 +𝐹× 𝛻×𝐺 𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 𝛻 ∙ 𝛻𝜑 = 𝛻 2 𝜑 = + + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕2

𝜕2

𝜕2

siendo 𝛻 2 = 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧2 el operador de Laplace 𝛻 × 𝛻 × 𝐹 = 𝛻 𝛻 ∙ 𝐹 − 𝛻 2 𝐹, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 2 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡𝐹 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝐹 − 𝛻 𝐹. Campos vectoriales conservativos y solenoidales Es conservativo si existe un campo escalar ϕ (x,y,z), llamado funcion potencial escalar de F tal que

𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝜵𝝋(𝒙, 𝒚, 𝒛)

Es conservativo 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒓𝒐𝒕𝑭 = 𝟎 ∶ 𝒓𝒐𝒕(𝜵𝝋) = 𝟎 Para hallar la funcion potencial escalar ϕ(x,y,z), se sigue con la siguiente fórmula 𝑥

𝑦

𝑧

𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = න 𝑓1 𝑡, 0,0 𝑑𝑡 + න 𝑓2 𝑥, 𝑡, 0 𝑑𝑡 + න 𝑓3 𝑥, 𝑦, 𝑡 𝑑𝑡 0

0

0

Un campo vectorial es solenoidal si y solo si, divF=0 Se dice que es solenoidal si existe un campo vectorial 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒓𝒐𝒕𝑮(𝒙, 𝒚, 𝒛) Para hallar la funcion potencial vectorialr G(x,y,z), se sigue con la siguientes fórmulas 𝑔1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

𝑥

𝑦

𝑔1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = − න 𝑓3 𝑥, 𝑡, 𝑧 𝑑𝑡

𝑧

𝑔2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = න 𝑓3 𝑡, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑡 − න 𝑓1 0, 𝑦, 𝑡 𝑑𝑡 0

𝑥

0

𝑔2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

0

𝑦

𝑔3 𝑥, 𝑦, 𝑧 = − න 𝑓2 𝑡, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑡

𝑥

𝑔3 𝑥, 𝑦, 𝑧 = න 𝑓1 𝑥, 𝑡, 𝑧 𝑑𝑡 − න 𝑓2 𝑡, 0, 𝑧 𝑑𝑡

0

0 𝑧

0

𝑦

𝑔1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = න 𝑓2 𝑥, 𝑦, 𝑡 𝑑𝑡 − න 𝑓3 𝑥, 𝑡, 0 𝑑𝑡 0

𝑧

0

𝑔2 𝑥, 𝑦, 𝑧 = − න 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝑡 𝑑𝑡 0

𝑔3 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 Descomposicion de un campo vectorial en suma de uno conservativo y otro solenoidal Dado un campo vectorial F, deseamos descomponer en la forma F=G+H donde G sea un campo vectorial irrotacional, es decir rotG=0 donde H sea un campo vectorial solenoidal , es decir divH=0 entonces para G exist una funcion potencial escalar φ tal que G=∇φ y para H existe una funcion potencial vectorial V tal que H=rotV 𝒅𝒊𝒗𝑭 = 𝑑𝑖𝑣 𝛻𝜑 + 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝑑𝑖𝑣 𝛻𝜑 + 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝑑𝑖𝑣 𝛻𝜑 + 0 = 𝑓𝑖𝑣 𝛻𝜑 = 𝜵𝟐 𝝋 𝐹 =𝐺+𝐻 𝒓𝒐𝒕𝑭 = 𝑟𝑜𝑡 𝛻𝜑 + 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝑟𝑜𝑡 𝛻𝜑 + 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 0 + 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒅𝒊𝒗𝑽 − 𝜵𝟐 𝑽 𝐹 = 𝛻𝜑 + 𝑟𝑜𝑡𝑉

esto muestra que el potencial escalar y el potencial vectorial satisfacen la siguientes ecuaciones AUX. UNIV. CHAMBI JIMENEZ IVAN FORMULARIO MAT-313

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ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL MAT-313

esto muestra que el potencial escalar y el potencial vectorial satisfacen la siguientes ecuaciones diferenciales parciales: ∇2 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑑𝑖𝑣𝑭 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑽 − ∇2 𝑽 = 𝑟𝑜𝑡𝐹 al resolver el anterior sistema se descompone en 𝑭 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ∇𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑟𝑜𝑡𝑽 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑮 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑯(𝑥, 𝑦, 𝑧) Gradiente de un campo vectorial 𝜕𝑓1 𝜕𝑥 𝜕𝑓1 ∇𝐹 = 𝜕𝑦 𝜕𝑓1 𝜕𝑧

𝜕𝑓2 𝜕𝑥 𝜕𝑓2 𝜕𝑦 𝜕𝑓2 𝜕𝑧

𝜕𝑓3 𝜕𝑥 𝜕𝑓3 𝜕𝑦 𝜕𝑓3 𝜕𝑧

Tensor Gradiente de deformacion de F

Divergencia y Rotacional de un campo vectorial como se observa al aplicar la gradiente al campo vectorial se tiene la divF y la RotF 𝜕𝑓1 𝜕𝑓2 𝜕𝑓3 para la divergencia tenemos la suma de la traza de la matriz 𝑡𝑟 ∇𝐹 = + + = 𝑑𝑖𝑣𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ∇𝐹 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐹 = 𝑖𝐹𝑥 + 𝑗𝐹𝑦 + 𝑘𝐹𝑧 𝜕𝑓1 𝜕𝑓2 𝜕𝑓3 𝐹𝑥 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 donde 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ∇ ∙ 𝐹 = 𝑑𝑖𝑣𝐹 = 𝑖 ∙ 𝑗 + 𝑗 ∙ 𝑘 + 𝑘 ∙ 𝑖 𝜕𝑓1 𝜕𝑓2 𝜕𝑓3 ∇ × 𝐹 = 𝑟𝑜𝑡𝐹 = 𝑖 × 𝑗 + 𝑗 × 𝑘 + 𝑘 × 𝑖 𝐹𝑦 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑓1 𝜕𝑓2 𝜕𝑓3 𝐹𝑧 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 ⬚

Integral de linea

𝑏

𝑏

∙ 𝑅 ′ 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 ∙ [𝑥 ′ (𝑡), 𝑦 ′ 𝑡 , 𝑧′ 𝑡 ]𝑑𝑡

න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = න 𝐹 𝑅 𝑡 𝐶

𝑎

𝑎

cuando la la curva C es cerrada se usa la siguiente notacion

⬚

⬚

ර 𝑭 ∙ 𝑑𝑹 = ර 𝐹 𝑅 𝑡 𝐶

∙ 𝑅´ 𝑡 𝑑𝑡

𝐶

Parametrizacion de un segmento de recta con origen en Ro y punto 𝑅 𝑡 = 1 − 𝑡 𝑅0 + 𝑡𝑅1 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 final en R1 ecuaciones parametricas del circulo x²+y²=r²con centro 𝑥 = 𝑟 cos 𝑡 , y = r sin 𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 en el origen y radio r ⬚

Trabajo realizado por una fuerza sobre una curva

𝑏

𝑊 = න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = න 𝐹 𝑅 𝑡 𝐶

∙ 𝑅 ′ 𝑡 𝑑𝑡

𝑎

Circulacion y flujo de campos de velocidad ⬚

⬚

𝑏

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐹 = න 𝐹 ∙ 𝑇𝑑𝑠 = න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = න 𝐹 𝑅 𝑡 𝐶

𝐶

⬚

⬚

𝑏

∙ 𝑅 ′ 𝑡 𝑑𝑡

𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐹 = න 𝐹 ∙ 𝑇𝑑𝑠 = න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = න 𝐹 𝑅 𝑡 𝐶

∙ 𝑅 ′ 𝑡 𝑑𝑡

𝑎

𝐶

se da en una curva cerrada

𝑎

Integral de linea a lo largo de una curva suave a pedazos ⬚

𝑛

⬚

⬚

⬚

⬚

න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = ෍ න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅𝑖 = න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅1 + න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅2 + ⋯ + න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅𝑛 𝐶

𝑖=1 𝐶1

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𝐶1

𝐶2

𝐶𝑛

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Propiedades de las integrales de linea ⬚

⬚

⬚

1. ‫ 𝐹 𝐶׬‬+ 𝐺 ∙ 𝑑𝑅 = ‫ 𝑅𝑑 ∙ 𝐹 𝐶׬‬+ ‫𝑅𝑑 ∙ 𝐺 𝐶׬‬ ⬚

⬚

2. Si φ es cualquier número, ‫𝑅𝑑 ∙ 𝐹 𝐶׬ 𝜑 = 𝑅𝑑 ∙ 𝐹𝜑 𝐶׬‬ La orientacion o la direccion recorrida a lo largo de la curva se define ⬚

⬚

න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = − න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 −𝐶

𝐶

Integral de linea en terminos de diferernciales ⬚

⬚

න 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = න 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑓2 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑓3 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝐶

𝐶

Masa y centro de masa Sea 𝑅 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝒊 + 𝑦 𝑡 𝒋 + 𝑧 𝑡 𝒌, que representa el vector posicion de un alambre para 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏,y 𝑓: 𝑅 3 ⤍ 𝑅 el campo escalar dado por 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑤 que representa la densidad del alambre en 𝑥, 𝑦, 𝑧 . Entonces, la masa total del alambre esta dado por ⬚

⬚

𝐦 = න 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒅𝑺 = න 𝒇 𝑹 𝒕 𝑪

∙ 𝑹′(𝒕) 𝒅𝒕

𝑪

Coordenadas del centro de masa del alambre estan dadas por 1 ⬚ 1 𝑏 𝑥ҧ = න 𝑥𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 = න 𝑥 𝑡 𝑓 𝑅 𝑡 𝑚 𝐶 𝑚 𝑎

𝑅′(𝑡) 𝑑𝑡

1 ⬚ 1 𝑏 𝑦ത = න 𝑦𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 = න 𝑦 𝑡 𝑓 𝑅 𝑡 𝑚 𝐶 𝑚 𝑎

𝑅′(𝑡) 𝑑𝑡

1 ⬚ 1 𝑏 න 𝑧𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 = න 𝑧 𝑡 𝑓 𝑅 𝑡 𝑚 𝐶 𝑚 𝑎

𝑅′(𝑡) 𝑑𝑡

𝑧ҧ =

Momentos de inercia Si un alambre con densidad en R2 a lo largo de u ana curva C los momentos de inercia alrededor de los ejes ⬚

⬚

⬚

𝐼𝑥 = න 𝑦 2 𝛿 𝑥. 𝑦 𝑑𝑠 = න 𝐶

𝑦(𝑡) 2 𝛿 𝑅 𝑡

⬚

𝐼𝑥 = න 𝑥 2 𝛿 𝑥. 𝑦 𝑑𝑠 = න

𝑅′(𝑡) 𝑑𝑡

𝐶

𝐶

𝑥(𝑡) 2 𝛿 𝑅 𝑡

𝑅′(𝑡) 𝑑𝑡

𝐶

Si un alambre con densidad en R3 a lo largo de u ana curva C los momentos de inercia alrededor de los ejes ⬚

⬚

𝐼𝑥 = න

𝑦 2 + 𝑧 2 𝛿 𝑥. 𝑦 𝑑𝑠 = න

𝐶

𝐶

⬚

𝑦(𝑡)

2

+ 𝑧(𝑡)

2

𝛿 𝑅 𝑡

𝑅′(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥(𝑡)

2

+ 𝑧(𝑡)

2

𝛿 𝑅 𝑡

𝑅′(𝑡) 𝑑𝑡

𝑥(𝑡)

2

+ 𝑦(𝑡)

2

𝛿 𝑅 𝑡

𝑅′(𝑡) 𝑑𝑡

⬚

𝐼𝑦 = න

𝑥 2 + 𝑧 2 𝛿 𝑥. 𝑦 𝑑𝑠 = න

𝐶

𝐶

⬚

⬚

𝐼𝑧 = න

𝑥 2 + 𝑦 2 𝛿 𝑥. 𝑦 𝑑𝑠 = න

𝐶

𝐶

Area de una superficie lateral

⬚

⬚

𝐀 = න 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝑺 = න 𝒇 𝑹 𝒕 𝑪

Teorema de Green

∙ 𝑹′(𝒕) 𝒅𝒕

𝑪

⬚

⬚

ර 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = ර 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = ඵ 𝐶

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𝐷

𝜕𝑔 𝜕𝑓 − 𝑑𝐴 𝜕𝑥 𝜕𝑦 FORMULARIO MAT-313

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Calculo del trabajo mediante el Teorema de Green

⬚

𝑊 = ර 𝐹 ∙ 𝑑𝑅 = ඵ 𝐷

Area y centro de gravedad de una region plana cerrada 1 ⬚ 1 𝐴 = ර −𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 𝑥ҧ = ර 𝑥 2 𝑑𝑦 2 2∙𝐴 𝐶

𝜕𝑔 𝜕𝑓 − 𝑑𝐴 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑦ത = −

⬚ 1 ර 𝑦 2 𝑑𝑦 2∙𝐴 𝐶

Momentos alrededor de los ejes x y y respectivamente 1 ⬚ 𝑀𝑥 = − ර 𝑦 2 𝑑𝑥 2 𝐶

1 ⬚ 𝑀𝑦 = ර 𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝐶

Integrales de linea independientes de la trayectoria cuando el campo vectorial es conservativo Rot(F)=0 ⬚

(𝒙𝟐 ,𝒚𝟐 ,𝒛𝟐 )

න 𝑭 ∙ 𝒅𝑹 = න 𝑪

(𝒙𝟏 ,𝒚𝟏 ,𝒛𝟏 )

𝛁𝒇 ∙ 𝒅𝑹 = 𝒇 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒛𝟐 − 𝒇 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏

Superficies e integrales de superficie

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