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Escuela Superior Politécnica Del Litoral

Teoría y Ejercicios

Autor: Jasmany Barba Sánchez “Métodos y Estrategias para Resolución de problemas”. Cursos vacacionales de Materias de ESPOL, Clases Particulares y grupales, preparación para el examen del senescyt, Nivelación de estudiantes de escuela y colegio y Control de tareas.

Contactos: 0959120357 o al 04-2422214 Mail: [email protected] y [email protected]

2014-2015 Jasmany Barba Sánchez

Página 1

Contenido 1er Parcial 1) 2) 3) 4)

5)

6)

7)

8) 9) 10)

Definición de Ecuación Diferencial. Definición de Solución de una Ecuación Diferencial. Ecuación diferencial de variables separables. Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden. 4.1) Caso Homogéneo. 4.2) Teorema 1 4.3) Caso no Homogéneo o Método Clásico. 4.4) Método de la Solución Complementaria y Particular. 4.5) Ecuación de Bernoulli. 4.6) Teorema de Existencia y Unicidad. 4.7) Ecuación Diferencial Exacta. Ecuación Diferencial No Lineal Homogénea. 5.1) Ecuación diferencial polinomio para polinomio. 5.2) Ecuación Diferencial de la forma y’=f(ax+by+c). Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden. 6.1) Cuando no depende de “ X ”. 6.2) Cuando no depende de ” Y ”. 6.3) Wronskiano. 6.4) Forma General de una E.D.O de Segundo Orden. 6.5) Teorema de Abel. 6.6) Teorema de la Solución General de una E.D.O de Segundo Orden. 6.7) Teorema de Reducción de Orden. 6.8) Método de Coeficientes Contantes. 6.8.1) Raíces Iguales. 6.8.2) Raíces no Iguales. 6.8.3) Raíces complejas. 6.9) Ecuación Diferencial Ordinaria de Cauchy-Euler. 6.10) Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden Lineal no Homogénea. 6.11) Teorema de Independencia o Dependencia. 6.12) Teorema de Existencia y Unicidad. 6.13) Método de Variación de Parámetros. 6.14) Método de Coeficientes Indeterminados. 7) Principio de Superposición. Principio de Superposición. 7.1) Teorema de Solución de una E.D.O. 7.2) Método de Coeficientes constantes. 7.3) Método de Variación de Parámetros. 7.4) Teorema de Independencia o Dependencia. 7.5) Método de Coeficientes Indeterminados. Ecuación Diferencial Ordinaria de Orden Superior. Solución de Series de Potencias para EDO Lineales (Taylor). Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 9.1) Aplicaciones para Física. 9.2) Crecimiento y Decrecimiento. 9.3) Aplicaciones para Quimia.

Jasmany Barba Sánchez

Página 2

1)

Ecuación Diferencial.

Definición: Es una ecuación que contiene la o las derivadas de una o más funciones desconocidas, relacionadas con otras constantes y variables. Ejemplos: a)

( )

( )

( ) b)

( )

( ) ( ) ( )

c) (

)

(

)

d)

2)

Solución de una Ecuación Diferencial.

Definición: La solución de una ecuación diferencial es una función continua con derivadas continuas en algún intervalo o dominio común, tal que al reemplazar a la función y a sus derivadas en la ecuación, la misma se reduzca a una identidad. Ejemplo: a)

( )

( )

( ) b)

( )

( ) (

( ) ) ( )

( ) ( )

( ) Nota: Estos son ejemplos con ecuaciones diferenciales de orden 2, ya que podemos tener de orden “n”.

3)

Ecuación diferencial de variables Separables.

El orden de una ecuación diferencial lo proporciona la derivada mas alta presente en la ecuación, además se dice que una ecuación diferencial es ordinaria si la función o funciones desconocidas son de una variable independiente y solo una. Definición: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es de variables separables, si es de la forma: ( ) ( ) ( ) Estrategia de Solución: Nota: Las funciones p(x) y q(x) son datos del problema. El objetivo es encontrar una función ( ) continua con derivada continua. Ambas en un intervalo I, tal que:

( )

Jasmany Barba Sánchez

( )

( )

Página 3

I.

Enviamos a multiplicar el respectivo diferencial con la función la cual solo dependa de la variables del diferencial que se está multiplicando.

II.

Anti-derivamos a ambos lados.

( )

( )

( ) III.

( )

Suponga que P(x) y Q(y) sean anti derivadas cualesquiera, luego: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

La solución general implícita.

Observación: Otra presentación de la E.D.O de primer orden con variables separables es: ( ) ( ) Dividimos todo para . ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

4)

( ) ( )

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden.

Es importante tener en presente que una E.D.O de primer orden, sea lineal o no lineal, es de la forma:

( Donde (

) es dato del problema y

( )

)

( )).

(

Una E.D.O lineal de primer orden tiene la siguiente presentación: ( ) ( ) Donde ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) son datos del problema, dividimos todo la ecuación para

( ).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ; Ecuación Canónica.

( )

( )

4.1) Caso Homogeneo. En este caso tendremos que g(x)=0 y la ecuación diferencial nos queda de la siguiente manera: ( )

( ) ( )

Note que la ecuación diferencial se presenta como una E.D.O de variables separables. ( )

( )

Jasmany Barba Sánchez

( ) ( ) ( )

( )

Página 4

| ( )|

∫

( )

( )

| ( )| ( )

( )

| ( )|

| ( )| ( )

( )

, ( )

Por lo tanto la solución general (familia de soluciones) de

𝒚(𝒙)

𝒙

𝜶𝒆

𝒑(𝒕)𝒅𝒕

( ) ( )

, es:

𝜶𝝐

Reescribiendo la ecuación: ( )

( ) Entonces: ( )

( )

Solución general implícita de la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden. Es implícita ya que no se conoce el valor de .

4.2) Teorema 1. El conjunto que contiene todas las soluciones de la E.D.O lineal homogénea de primer orden:

( )

( ) ( )

Es un espacio vectorial con las operaciones tradicionales entre funciones de variable real (adición y multiplicación por escalar). Además el conjunto B= { ( )} donde: ( )

( )

Es una base para dicho espacio vectorial por lo que la solución general de la E.D.O es: ( )

( )

4.3) Caso No Homogeneo ó Método Clásico. En este caso tendremos que g(x) 0 y la ecuación diferencial nos queda de la siguiente manera:

( )

( ) ( )

( )

Note que la ecuación diferencial ya no es de variable separable. En este caso se buscara una función ( ) llamada factor integrante. ( ), ( )

( ) ( )-

, ( ) ( )-

De la condición:

, ( ) ( )Jasmany Barba Sánchez

( ) ( ) Página 5

Integramos a ambos lados.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Entonces la solución general de explicita de la lineal No homogénea de primer orden es: 𝒙 𝟏 ∫ 𝒖(𝒕)𝒈(𝒕) 𝒖(𝒙)

𝒚(𝒙)

𝑪

𝑪𝝐

Ahora hallamos ( )

( ), ( )

( ) ( )-

, ( ) ( )-

Distribuimos y simplificamos.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Se tiene una E.D.O lineal de primer orden, entonces: ( )

( )

( )

( )

.

Como no queremos la familia de funciones, entonces

𝒖(𝒙)

Ecuación de uso directo.

𝒆

𝒑(𝒙)𝒅𝒙

4.4) Método de la Solución Complementaria y Particular. Este método se utiliza para resolver la E.D.O no homogénea lineal de primer orden.

( )

( ) ( )

( )

Recordando la solución general anterior, se tiene que:

( )

( )

∫

( ) ( )

Realizando la siguiente equivalencia:

( )

Jasmany Barba Sánchez

( )

( )

( )

( )

Página 6

Jasmany Barba Sánchez

Página 7

Jasmany Barba Sánchez

Página 8

Jasmany Barba Sánchez

Página 9

Jasmany Barba Sánchez

Página 10

Jasmany Barba Sánchez

Página 11

Problema de examen: Sustituimos X=u y Y=v , para evitar errores.

Observación: Este problema tiene un error con los valores de “k y h”, los valores correctos son “k=-2 y h=1”, el procedimiento esta correcto solo que al volver a las variables originales cambia un poco la solución:

| Jasmany Barba Sánchez

|

|

|

|

| Página 12

6) Ecuación Diferencial de segundo Orden Una ecuación de este tipo tiene la forma general. y” = f (x, y, y’)

6.1) ¿Qué ocurre si f NO depende de X? Y” = f (y, y’) Se recomienda el cambio de variable w= y’

y” =

(y’)

y” =

(w)

𝒅𝒘 y” = w 𝒅𝒚

Regla de la Cadena =

Luego:

y” = f (y, y’)

w

= f (y, w)

f (y, w)

= g (y, w)

g (y, w)

EDO de primer Orden 6.2) ¿Qué ocurre si f NO depende de Y? y” = f (x, y’) Se recomienda el cambio de variable: w = y’ (

)

Luego: y” = f (x, y’)

(

Independiente Dependiente

)

EDO de primer Orden (

)

6.3) Wronskiano (

Definición: Sean f y g funciones de la clase ) como: para todo x ( (

)( )

|

) Se define el Wronskiano de f y g, denotado ( ) ( )

( ) | ( )

( ) ( )

Observación: Suponga que f y g son funciones linealmente dependientes en el intervalo ( ( Luego: (

)( )

Jasmany Barba Sánchez

|

( ) ( )

) ( ) | ( )

( ) |

( ) ( )

(

),

( ) ( ) )

( ) ( ) | ( )

( ) ( )

( ) ( ) Página 13

(

)

(

)( )

6.4) Forma General de una EDO de Segundo Orden Es una ecuación de la forma: ( ) ( )

Forma General:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ] ( ) ( )

[

[

( )

( )

[

( ) ] ( )

( ) ] ( ) ( )

( ) Forma estándar o canónica:

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

El objetivo es encontrar una función ( ) de clase en un intervalo abierto , que satisfaga la ecuación diferencial. Además suponemos que ( ) ( ) ( ) son funciones continuas en Si ( )=0 para toda

se tiene la EDO lineal homogénea de orden dos: ( )

Si ( )

( ) ( )

( ) ( )

0, se tiene la EDO lineal NO homogénea de Segundo Orden: ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

6.5) Teorema de ABEL ó Identidad de ABEL Sean

soluciones de la EDO: ( )

( ) ( )

( ) ( )

(Lineal homogénea de 2do Orden)

Las funciones ( ) ( )son continuas.

En un intervalo donde además: Luego, por hipótesis:

( )

( )

( ) Recordar: ( ,

( )

( )

( )

( )

(

)

)

(

( ) ( )

) ( ) ]

1

( ) ( )

2

2

1

,

( )

( )(

( ) )

(

)( )

Note que:

Jasmany Barba Sánchez

(

)( )

, (

)( )-

(

) Página 14

)

=( =

(

) (

=

)( )

Se tiene entonces la EDO: (

)( ) (

( ) (

)( ) ( )

)( ) FORMULA DIRECTA

Conclusión: Para dos soluciones

de la lineal homogénea de segundo orden ocurre que:

(1) El Wronskiano se anula en todo punto del intervalo ( ( )( )

) es decir:

(2) El Wronskiano no es cero en ningún punto del intervalo ( ( )( )

) es decir:

En otras palabras, el Wronskiano se anula en todo punto de o nunca se anula. 6.6) Teorema de la Solución General de una EDO de Segundo Orden El conjunto que contiene todas las soluciones de la EDO: ( )

( ) ( )

( ) ( )

Lineal homogénea de Segundo Orden En un intervalo donde además ( ) ( )son funciones continuas en un espacio vectorial de dimensión igual a 2 con operaciones usuales entre funciones. Sea B= { + una base de dicho espacio vectorial. Entonces la solución general de la EDO es la combinación lineal arbitraria: ( ) 6.7) Teorema del Método de Sea

( )

( )

Reducción de Orden

( ) una solución no nula de la EDO lineal homogénea de Segundo Orden: ( )

( ) ( )

( ) ( )

En un intervalo donde las funciones ( ) ( ) son continuas. Se desea encontrar otra solución de forma tal que ( ) ( ) sean linealmente independientes.

( ) en

Nota: La función nula es solución de la lineal homogénea de Segundo Orden. Se va a suponer que: ( )

( ) ( )

De forma abreviada: Jasmany Barba Sánchez

Página 15

Reemplazamos: ( )

( )

(

( )

)

( )

(

( ) ( )

( )(

( )

)

)

(

( )(

( )

)

( ) )

Es CERO ya que es una solución de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego: ( )

( , (

( )

)

( )-

)

Cambio de Variable: 𝑤

𝑢

𝑤

𝑢

)

( )-

Reemplazamos: , (

(Lineal homogénea de Primer Orden) , .

/

( )-

( ) particular:

Suponemos K=1 debido a que se busca una solución

, .

/

( )

. | .

/

|

. ( )

.

( )-

( ) ( )

(

)

( )

(

Jasmany Barba Sánchez

)

Página 16

Formula del Método de Reducción de Orden

( )

( )

( )∫

(

( ))

6.8) Métodos de Coeficientes Constantes Se va a estudiar la EDO: Donde a, b y c son constantes (a, b y c no dependen de x) Suponga que la solución es de la forma:

Luego: Reemplazamos: (

)

(

)

( )

( )

( (

)

(

) ( )

)

(

)

Existen 3 posibles escenarios: (1) Raíces Reales Iguales ( ) (2) Raíces Reales NO Iguales ( (3) Raíces Complejas Conjugadas (

) )

6.8.1) Raíces Reales Iguales Ahora suponemos que: ( )

( )

Se necesita encontrar una segunda solución ( ) de tal forma que ( ) ( ) sean Linealmente Independientes.

Debemos aplicar entonces el método de Reducción de Orden. ( )

( )

( )∫ .

( )/

La ecuación Diferencial. (Recordar que la forma de Reducción de Orden aplica cuando la ecuación está en su forma canónica) . / ( ) Jasmany Barba Sánchez

. / ( ) Página 17

( )

( ) De la ecuación cuadrática

, se tiene que: √

Pero . / ( )

( )

( )

( )

∫ ∫

Uso directo: ( )

( )

La solución General:

6.8.2) Raíces NO iguales Sean

raíces reales diferentes

entonces, tenemos 2 soluciones para la EDO: ( ) ( )

¿Son linealmente Independientes en algún intervalo ? Calculamos el Wronskiano: (

)

|

Son Linealmente Independientes

| .

La solución general es: 𝒚(𝒙)

𝜶𝟏 𝒆𝒓𝟏𝒙

𝜶𝟐 𝒆𝒓𝟐𝒙

6.8.3) Raíces Complejas. Sean las raíces complejas conjugadas de Entonces: ( ) ( ( ) Usando la ecuación de Euler: Para todo

( )

Jasmany Barba Sánchez

𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝝐

. )

( ) Página 18

Luego de utilizar la ecuación de Euler se obtiene la solución general: (

( )

)

(

( ) ( )y Se puede proba que simplemente verificando que:

(

( )

) son linealmente independientes. En cualquier intervalo , (

, Nota: Para la EDO: independientes. En algún intervalo .

)

),

(

)]

, siempre podemos encontrar dos soluciones linealmente

6.9) E.D.O de Cauchy-Euler. Se trata de una ecuación lineal de la forma: ; “EDO de segundo orden con coeficientes variables” Esta ecuación se puede convertir en otra EDO con coeficientes constantes mediante el cambio de variable: 𝒙

𝒆𝒛

(La nueva variable independiente será ‘’z” y dejara de ser “x”). ( ) Entonces se obtiene la siguiente ecuación: (𝟏)

𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒛𝟐

(𝜶

𝟏)

𝒅𝒚 𝒅𝒛

𝜷𝒚

𝟎

“EDO de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes.”

6.10) E.D.O de segundo orden lineal No Homogénea. ( )

Sea la E.D.O:

( ) ( )

( ) ( )

( )

Donde p(x), q(x) y g(x) son funciones continuas en . Entonces la solución general de la ecuación anterior se puede escribir como: ( ) ( ) ( ) Donde ( ), conocida como la “solución complementaria”, es la solución general de la homogénea correspondiente. ( ) La solución particular ( ).

( ) ( )

( ) ( )

( ), es una solución cualquiera de la no homogénea

Es decir que: Jasmany Barba Sánchez

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) Página 19

( ) ( ) son dos soluciones linealmente independientes. Donde correspondiente.

de la homogénea

6.11) Teorema. Sean

( )

( ) dos soluciones en un intervalo de la E.D.O: ( )

( ) ( )

Donde las funciones p(x) y q(x) son continuas

( ) ( )

. Se cumple que:

I.

Las funciones

( )

( ) son L.I en si y solo si

II.

Las funciones

( )

( ) son L.D en si y solo si

( (

)

.

)

6.12) Teorema de Existencia y Unicidad. Sea la ecuación diferencial ordinaria: ( )

( ) ( ) ( )

Suponga que: Donde continuas.

son reales y el punto

( ) ( )

( )

( )

( )

y

, donde además las funciones p(x), q(x) y g(x) son funciones ( ) y dicha solución es Única.

Entonces el problemas de valor inicial Tiene solución

6.13) Método de Variación de Parámetros. El objetivo de este método es de encontrar una solución particular homogénea de segundo orden. ( ) Sean

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) para la E.D.O lineal No

( )

( ) dos soluciones L.I. En un intervalo para la homogénea correspondiente. ( )

( ) ( ) ( )

Suponemos que ya conocemos

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ), entonces.

Se va a suponer que: ( ) Para hallar

( )y

( ) ( )

( ) ( )

( ) resolvemos el siguiente sistema ya analizado previamente.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Debemos chequear que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea distinto de cero.

Jasmany Barba Sánchez

Página 20

( ) ( )

|

( ) | ( )

(

)

; ya que el supuesto era que

son L.I.

Utilizando la regla de Cramer. |

( )

( ) | ( )

( ) (

( ) ( )

)

(

)

|

( )

y

( ) ( ) (

( ) )

|

( ) ( ) (

)

𝑢 (𝑥)

∫

𝑦 (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑊(𝑦 𝑦 )

𝑢 (𝑥)

∫

𝑦 (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑊(𝑦 𝑦 )

6.14) Método de Coeficientes Indeterminados. Es otro método que permite encontrar la solución particular ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) de la E.D.O lineal no homogénea. ( )

( )

Sin embargo es un método que presenta ciertas limitaciones, es decir NO aplica a toda ecuación como lo hace el método de variación de parámetros. El método de coeficientes indeterminados únicamente se usa si: 1) La E.D.O homogénea correspondiente es de coeficientes constantes. 2) La función ( )

debe ser una de las funciones que se encuentra en la siguiente tabla. ( )

N° 1

( ) (No se conocen las constantes)

2 3

(

4

)

(

(

)(

5

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ó

Jasmany Barba Sánchez

)

(

( Ó

6

(

)

(

) )(

(

) )

(

)

)

( )+( ( )

(

)

Página 21

7 (

) Ó

(

)

( (

) )

(

)

(

)

)

(

)

+ (

( ) se debe multiplicar por el * + tal que no existe conflicto entre ( ) con

Nota: en cualquier caso (1 al 7) de la tabla, la solución particular factor ( ).

donde “s” es el mínimo valor del conjunto

En otras palabras que correspondiente.

Jasmany Barba Sánchez

( ) no sea una combinación lineal de las soluciones L.I de la homogénea

Página 22

7) Principio de superposición. Suponga que

son soluciones particulares, respectivamente de las ecuaciones: ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

. .

( ) ( )

Entonces por hipótesis: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

. . ( )

Si sumamos las n ecuaciones: .

/ ( )

( ). ( )

( )(

/

)

( )

Por el teorema de linealidad de la derivada. (

( )( ( )

) ( )

( )

( ) ( )

)

( )

( )

Donde nos damos cuenta que: particular de la E.D.O

( )(

)

∑

( ) ( )

( )

( )

)

(

( ) , es una solución

( )

∑

( )

Ejemplo: ( )

Resuelva lo siguiente: ( )

(

)

( )

( ) (

(

)

)

1. Solución complementaria.

( )

( )

0

; Raíces no idénticas, entonces la solución para la E.D.O es: ( ) R:____ 2. Solución Particular: ( ) ( ( )

( ) (

( )

)

)) ( ) ( ) ( )

Jasmany Barba Sánchez

( ( (

) ) (

(

) (

)

) (

)

Página 23

Reemplazando en la ecuación original: ( ) (

)

(

)

(

)

(

)

Es una combinación lineal entonces igualamos término a término: (

) (

( )

( )

( ) ( )

(

(

)

(

(

( )

Ahora hallamos la solución particular

) ( )

(

( )

(

)

) (

)

(

)

)

))

( ) ( ) ( ) Reemplazando en la ecuación original: ( ) ( )

( (

) ) (

(

) (

) (

) (

)

) (

)

(

)

Es una combinación lineal entonces igualamos término a término: (

( )

) (

( )

( ) )

(

(

)

)

Las solución general de la E.D.O es: ( )

R:

(

)

(

)

8) E.D.O Lineales de Orden Superior. Una E.D.O lineal de orden “n” en su forma general tiene la siguiente presentación: ( )

( )(

)

( )

(

)(

)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

)(

( ) ( )

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Entonces en su forma canónica la E.D.O lineal de orden “n” es: ( )(

Si ( ) Si ( )

)

( ) ( )

( )

(

)(

)

( )

( )

( )

entonces se tiene la lineal homogénea de orden “n”. entonces se tiene la lineal No homogénea de orden “n”.

Jasmany Barba Sánchez

Página 24

Teorema El conjunto de todas las soluciones de la lineal homogénea de orden “n”. ( )(

)

(

( )

)(

)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Es un espacio vectorial de dimensión “n”. Sea * +una base de dicho espacio vectorial. Las soluciones en un intervalo Ω son linealmente independientes, donde además las componentes ( ) de la E.D.O son funciones continuas. Entonces, la solución general de la E.D.O es la combinación lineal arbitraria. ( )

8.1) Coeficientes Constantes de orden “n”. Suponga que se tiene una E.D.O lineal homogénea de orden “n” con coeficientes constantes. Suponemos entonces que la solución es de la forma:

( ) ( )(

( ) ( ) ( ) . .

)

(

)(

)

( )

( )

( )

,

,

,…..,

Reemplazamos en la ecuación: (

)

(

)

(

( ( )(

;

)

(

)

(

)

)

)

( ) ( ) ,es el polinomio característico de la E.D.O de grado “n” en términos de “r”. cada raíz debería aportar con una solución L.I para la E.D.O homogénea. Supóngase que ( ) es de coeficientes reales. El teorema fundamental del algebra, dice que entonces ( ) tiene “n” raíces entre reales y complejas, de ser complejas estas se presentan en pares conjugadas. Una vez encontradas todas las “n” valores de “r”, tales que soluciones L.I de la E.D.O homogénea.

8.1.1) Caso I (Raíces Distintas). Suponga que multiplicidad uno, entonces:

( ),

, son K soluciones de

( )

, para determinar las “n”

; reales distintas dos a dos con

( ) ( ) ( )

. .

( )

Jasmany Barba Sánchez

Página 25

8.1.2) Caso II (Raíces Iguales). Suponga que entonces:

( ), tiene una raíz

repetida K veces (es decir que la multiplicidad de

es igual a k),

( ) ( ) . . ( ) ( )

8.1.3) Caso III (Raíces Complejas). Suponga que ( ). Entonces:

( ), cada una, de multiplicidad k

son dos raíces complejas conjugadas de

( (

) )

( (

) )

( ) ( )

¡2 k soluciones linealmente independientes para la E.D.O homogénea! Por ejemplo: ( )

(

) (

) ,

)(

(

)-

Las soluciones serán las siguientes: ( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

Teorema La solución general de la E.D.O lineal no homogénea de orden “n” se la puede expresar como:

( )

( )

( )

( ) = solución complementaria o de la homogénea correspondiente. ( )= solución particular de la no homogénea. Donde la solución complementaria ( ) es la solución general de la E.D.O lineal homogénea correspondiente de orden “n”, mientras que ( ) es una solución particular de la misma E.D.O no homogénea.

8.2) E.D.O de Cauchy - Euler orden “n”. ( ) ( ) ( ) ( ) Vamos a suponer que es una ecuación diferencial de grado n=3, entonces son el cambio de variable ,

( ) su derivada

Jasmany Barba Sánchez

, haciendo la demostración respectiva se obtiene:

Página 26

( )

(

)

(

)

;

(E.D.O de Coeficientes constantes)

8.3) Variación de Parámetros de orden “n”. Supóngase correspondiente.

, son “n” soluciones linealmente independientes de la homogénea ( )

;

Suponemos que: ( )

∑

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Se necesitaran “n” ecuaciones para encontrar las “n” parámetros: ( )

( )

( )

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

( )

. . .

( )

( )

( )

Recordar que la E.D.O a resolver debe estar en su forma canónica.

(

)( )

|

| ( )

( )

( )

| ( )

| ( )

( )

∫

(

( )

)

|

| ( )

( )

∫

( )

( ) (

)

. . .

Jasmany Barba Sánchez

Página 27

|

| ( )

( )

∫

( )

( ) )

(

Es importante suponer la solución y colocar el sistema de ecuaciones con sus respectivas derivadas, y tenemos que hallar el wroskiano.

Teorema Sean

, soluciones linealmente independientes dela E.D.O: ( )(

)

( )

(

)(

)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

E.D.O lineal homogénea de orden “n”. en un intervalo Ω donde también las funciones ( ) ( ) ( ) , son continuas Entonces, .

(

)( )

|

| ( )

( )

( )

Nota: El reciproco del teorema también verdadero.

8.4) Coeficientes Indeterminados de orden “n”. En este método no hay mucha variación lo único que cambia es cuando hallemos la homogénea correspondiente por que se podría hallar por medio de coeficientes constantes o el método de cauchy – euler, mientas para hallar la no homogénea podemos utilizar el método de superposición y luego procedemos con lo mismo que se estudió para coeficientes indeterminados para grados n=2. Observamos en la tabla la componente ( ) ( ) y hacemos lo mismo para orden de n=2. Ejemplo: ( )

Resuelva

( )

( )

( )

( )

1. Solución complementaria. ( )

( )

( )

( )

( ) 2. Solución particular. ( ) ( ) Reemplazamos

( )

( )

( ) en la ecuación: ( )

Jasmany Barba Sánchez

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Página 28

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) en la ecuación:

Reemplazamos ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Tenemos una combinación lineal y por ende podemos hallar A y B.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

La solución es:

( )

( )

9) Solución con Series de Potencias para E.D.O Lineales. Definición: se dice que la función ( ) de variable real es analítica en “a”. si ( ) se puede representar con una serie de potencias de (x-a) que tenga un radio de convergencia positivo o infinito. Es decir: ( )  

∑

(

)

( ) (cantidad finita), se tiene convergencia

(

)

Observación: 1. Un polinomio de grado “n” es analítico para toda 2. Una función racional es analítica en , siempre que . (a no debe ser una raíz del polinomio del denominador o de cualquier función que haga que la función racional sea una indeterminación.)

9.1) Punto Ordinario. Se dice que “a” es un punto ordinario de la E.D.O:

( )

( ) ( )

( ) ( )

.

Si las funciones ( ) ( ) , son analíticas ambas en “a”. si una de ellas no es analítica o si ninguna lo es, decimos que “a” es un punto singular.

Jasmany Barba Sánchez

Página 29

9.2) Teorema del Punto Ordinario. ( ) Sea “a” un punto ordinario de la E.D.O: son analíticas en “a”. Entonces, al suponer la solución de la forma:

( ) ( )

( )

∑

Se puede encontrar 2 soluciones ( ) ( ) ( ) ( ) son funciones continuas y las soluciones un radio de convergencia positivo o infinito.

( ) ( )

, es decir que p(x) y q(x)

(

)

( )

, en un intervalo Ω donde ( ) se expresan en series de potencias con

Observación: ( )

∑

(

)

(

)

(

)

Aplicando derivada termino a término: ( )

( )

∑

(

∑ (

)

)

(

)

Problema de Examen: 

Halle la solución general de la ecuación homogénea de segundo orden por medio de series de potencias de X, halle las soluciones linealmente independientes y si en caso de hallar una sola utilice otro método para hallar la segunda solución L.I. (

)

( )

( )

( )

1. Pasamos la ecuación a la forma canónica para poder observar a ( ) analíticas en “0”. ( ) ( )

(

( )

) ( )

( )

(

)

( ) y verificar que sean ( )

( ) , son analíticas en “0”.

2. Suponemos la solución y derivamos dos veces la misma. ( )

∑

( )

∑

( )

∑ (

)

Al derivar los iteradores n=i se corren en una unidad.

3. Reemplazamos la solución y las derivadas en la ecuación original, no en la canónica, distribuimos.

Jasmany Barba Sánchez

Página 30

∑ ( 4. .

∑ (

)

∑

)

∑

Ingresamos la “x” a las sumatorias.

∑ (

)

∑ (

)

∑

∑

Observamos que al comenzar a evaluar los valores de “n” para cada serie, se puede ver que algunos arrancan en n= 2 , n=1 y n=0 , pero lo importante es ver que exponente de “x” se tiene al evaluar el primer valor de “n” para cada serie, y nos damos cuenta que unos arranca en , en este caso elegimos el que tenga mayor exponente es decir y realizamos los siguientes cambios de variables con el objetivo de que todas arranquen con un solo exponente de “x” y un mismo iterador que en este caso es “n” sin su cambio de variable. 5. Soltamos términos para que todos arranque en un solo exponente. . ∑ (

∑ (

)

)

∑

∑

6. Vemos que ahora todos los exponentes de “x” al evaluar los valores de “n” dan el mismo, entonces realizamos el cambio de variable, para no arrastrar muchas variables asumiremos que es “k” para todas las series. o o o o 7. Luego reemplazamos “k” en las series, agrupamos los términos que contengan a “x” del mismo grado, extraemos el operador sumatoria y factorizamos “ ”. (

)

∑, (

)

(

)(

)

(

-

)

8. Igualamos a cero ambos términos, y si tenemos más de dos términos igualmente lo igualamos a cero. (

) (

; (Ecuación de relación) )

(

)(

)

(

)

De esta ecuación despejamos el coeficiente “C” que tenga el máximo subíndice. (

) (

( )(

) )

;

; (Ecuación de

Recurrencia).

9. Ahora evaluamos la ecuación de recurrencia desde k=1 ya que de “1” parte las series, y asi hallamos las demás relaciones. Jasmany Barba Sánchez

Página 31

( )(

) (

( )(

) )

;

Se puede notar que la estructura de los coeficientes es:

, pero excepto

en n=0 y n=1 ya que no existen relaciones para

.

10. Finalmente colocamos la solución y comenzamos a soltar términos. ( )

∑

( )

∑

( )

(

∑

)

Nos damos cuenta que en la serie nos hace falta un termino

, para poder decir que esa serie es

.

∑

Entonces lo que vamos hacer es colocar la serie de serie. ( )

∑

y luego restamos el término que le sobra a dicha

(

( )

)

)

(

(

( )

)

)

(

( )

(

( )

(

∑

) )

La solución de ecuación diferencial de segundo orden con ( )

; ( )

Jasmany Barba Sánchez

( )

( )

es:

ó (

) ;

Página 32

10) Aplicaciones E.D.O de Primer Orden.  Física. Se lanza con una velocidad inicial un objeto de masa , desde una altura “H”, a la caída se opone una fuerza de fricción ó de amortiguamiento , normalmente suponemos que: ( ) La fuerza de fricción es directamente proporcional a la velocidad instantánea, con la que el objeto cae.

H

∑

( ) ( )

( )

( )

( )

;

(E.D.O lineal no homogénea de 1er orden) ( )

( ) ( )

,∫

-

( ) ( )

; ( ) (

)

; (Ecuación modelo).

Sabemos que ( ) ( )

( )

∫ ( )

.

∫

/.

( ) (

/

) ; (Ecuación modelo)

A la constate se la puede hallar por medio de datos que nos del problema como la velocidad limite, etc., o el mismo problema nos da el valor de . ( ) Los problemas pueden tener variantes como cambiar la forma de la fuerza de fricción, ejemplo: ( ) , todo depende de cómo planteen el problema. Jasmany Barba Sánchez

Página 33

 Crecimiento y Decrecimiento. Suponga que una variable “ ( )”, depende del tiempo. ¿Qué representa ( )? La razón de cambio ó la tasa con la cual ( ) cambia o varía conforme transcurre el tiempo . ( )

(+):

( ) Aumenta conforme pasa el tiempo.

(-):

( ) Disminuye conforme pasa el tiempo.

La E.D.O es entonces:

( )

( )

( )= cantidad que se tiene de “ ” en un tiempo . ( )

( )

La solución de la ecuación diferencial es: ( ) ( ) ( ) ( ) Supóngase que ( ) (

( )

)

Para resolver los problemas hay que verificar que las condiciones se están dando crecientemente o decrecientemente, para poder comprobar con la ecuación que se ha obtenido. (

)

; Ecuación decreciente.

.

/

; Ecuación Creciente.

Variantes del método. Se representara las variantes por medio de un sencillo ejemplo: El virus se propaga en la población, hay que ver la razón o tasa lo cual aumenta la cantidad de infectados. Población con N habitantes Infectados ( ) en un tiempo t.