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ETSON AGUILAR Y PRODUCCIONES AGUILAR COMPROMETIDOS CON TU EDUCACION PLANTEO DE ECUACIONES

Solución: Carlos: x soles

x + 18 = 2(y - 18) x - 15 = y + 15 x - 2y = -54 (por -1) x - y = 30 -x + 2y = 54 x - y = 30 y = 84 soles x = 114 soles

PROBLEMAS RESUELTOS 1. La mitad, de un número aumentado en 1 es igual a la tercera parte, de otro número aumentado en 6 El doble del primero, aumentado en 8 es igual al triple, del segundo disminuido en 6. Hallar el primero de dichos números. a) 15.5 b) 15.6 c) 15.8 d) 15.4 e) Más de 16 Solución: Sean x, y las variables x 1 y  6  2 3

2x  8  3(y  6)

3x - 2y = 9 (por 3) 2x - 3y = -26 (por -2) 9x - 6y = 27 -4x + 6y = 52 5x = 79 x = 15.8

Carlos: 114 soles Rpta: b 4. El triple de lo que tiene A es once veces lo que tiene B. Si A le da a B 20 soles, lo que le queda a A excede en 10 soles al triple de lo que entonces tiene B. ¿Cuánto tiene A? a) soles b) 495 soles c) 660 soles d) 825 soles e) 440 soles Solución: 3A = 11B (A - 20) - 3(B + 20) = 10 3A - 11B = 0 A - 3B = 90 (por -3) 3A - 11B = 0 -3A + 9B = -270 -2B = -270 B = 135 soles A = 495 soles

Rpta c 2. El doble de un número, aumentado en uno es igual al triple de otro número, disminuido en 5. El triple, del primero aumentado en 5 es igual al séxtuplo, del segundo disminuido en 2. Calcular el número mayor: a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20 Solución: Sean los números x, y 2x + 1 = 3y - 5 3(x + 5) = 6(y - 2) 2x - 3y = -6 (por -2) 3x - 6y = -27 -4x + 6y = 12 3x - 6y = -27 -x = -15 x = 15 y = 12

# mayor: 15

Rpta: b 5. 144 manzanas cuestan tantos soles como manzanas dan por 169 soles. ¿Cuántos valen dos docenas de manzanas? a) 16 soles b) 24 soles c) 26 soles d) 48 soles e) 52 soles Solución: 1 manzana : x soles 144 manzanas : 144x soles por 169 soles me darán: 169 x 144x 

por dato: x

Rpta. C 3. Carlos le dice a José: “Dame 18 soles y así 70 tendré doble de dinero que tú”. José le contesta: “Más justo es que tú me des 15 soles y así tendremos cantidades iguales” ¿Cuánto tiene Carlos? a) 48 soles b) 114 soles c) 36 soles d) 54 soles e) 72 soles

José: y soles

de donde: valor pedido: Rpta: c

manzanas

169 169  x2  x 144

13 soles 12 13 24  26 soles 12

ETSON AGUILAR Y PRODUCCIONES AGUILAR COMPROMETIDOS CON TU EDUCACION m+s=n+r 3) Relacionamos 4)  Si la persona ya cumplió años Año de nacimiento + Edad actual = Año actual

EDADES

71

 Si la persona aún no cumple años. Recomendaciones (para desarrollar problemas)

Año de nacimiento + Edad actual = Año actual - 1



Se pueden resolver haciendo uso del planteo de una ecuación.  Estos problemas se relacionan con sujetos, edades y tiempos (pasado, presente y futuro). Sujetos: Los protagonistas pueden ser personas, animales, plantas, etc. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Tiempos: Pueden ser presente, pasado y futuro. Tiempo present e

Tiempo pasado

Tengo, tienes, tenemo s, es, etc

Hace, tenías, tuve, era, etc

Expresion es

Tiempo futuro

Pasado

Tiempo presente x

2

Dentro de, tendrás, será, etc

Dentro de “a” x+a Futuro

Cuando intervienen las edades de varios sujetos Se utiliza el cuadro de edades relacionados a, sujetos y tiempos. Sujetos

1. Federico dice: “Ya no soy tan joven porque paso los 60 pero todavía no me pueden llamar noventón. Cada una de mis hijas me ha dado tantas nietas como hermanas tienen y mi edad es el triple del número de hijas y nietas” ¿Qué edad tiene Federico? a) 66 años b) 72 años c) 75 años d) 81 años e) N.A. Solución: Edad de Federico : N años # de hijas :x cada hija tiene (x – 1) hermanas cada hija le ha dado a Federico (x – 1) nietas Luego el total de nietas: x(x – 1) por dato: N = 3[x + x(x – 1)] 60  N  3 x  90

Nota: Cuando interviene un sujeto. Hace “b” x-b

PROBLEMAS RESUELTOS

Pasado

Presente

Futuro

Juanito

a

m

r

Joselito

b

n

s

Edades

1) La diferencia de edades de 2 personas es constante en cualquier tiempo. a–b=m–n=r–s 2) La suma en aspa de valores extremos simétricos es constante. a + n = b +m

se deduce: x = 5  N = 75 años Rpta: c 2. Si al doble de la edad de Antonio se resta 17 años resulta menor que 35, pero si a la mitad de su edad se suma 3 años resulta mayor que 15. Hallar la edad de Andrés que nació 11 años antes que Antonio. a) 36 años b) 25 años c) 14 años d) 30 años e) 24 años Solución: edad de Antonio: x años 2x – 17 < 53 x < 26

72

x 2

 3  15

x > 24 luego: x = 25 años Andrés: 25 + 11 = 36 años Rpta: a 3. La edad de Pedro es mayor en 7 que el cuadrado de un número “N” y menor en 4 que el cuadrado del número siguiente a “N”. Hallar la edad de Pedro. a) 40 años b) 42 años c) 24 años d) 20 años e) 32 años

73

ETSON AGUILAR Y PRODUCCIONES AGUILAR COMPROMETIDOS CON TU EDUCACION Solución: Edad de Pedro: x años

Solución: Hace 7 años

Dentro 4 años

2

x N 7 x  (N  1)2  4

Igualando: de donde:

(N  1)2  4  N2  7

Presente

Futuro

3x

3x + 7

3x + 11

Yo

x

x+7

x + 11

3 x  11

N=5

edad de Pedro: Rpta: e

Pasado Tú

x  11



10 7

por dato: de donde: x=3 mi edad: 3 + 7 = 10 años

52  7  32 años

4. La preguntaron a una persona por su edad y contestó: “Mi edad más el doble de ella, más el triple de ella y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad suman en total 13950”. ¿Cuál es su edad? a) 15 años b) 20 años c) 25 años d) 30años e) N.A. Solución: Edad de la persona: x años por datos: x + 2x + 3x + ... + x.x = 13950 x.x.(x + 1) = 27900 x.x.(x + 1) = 30.30.31 de donde: x = 30 años Rpta: d 5. La edad de José es el doble de la edad de Carlos, pero hace 18 años era el triple. ¿Qué edad tiene José? a) 72 años b) 36 años c) 90 años d) 45 años e) N.A. Solución:

7. Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que 3, 4 y 5 y dentro de 2 años será como 5; 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor? a) 10 años b) 12 años c) 14 años d) 16 años e) 18 años Solución: Hace 2 años

Pasado

Presente

2x -18

2x

Carlos

x -18

x

por dato : 2x – 18 = 3(x – 18) de donde : x = 36 edad de José: 72 años Rpta: a 6. Hace 7 años tu edad era a mi edad como 3 es a 1, dentro de 4 años dicha relación será como 10 a 7. ¿Cuántos años tengo actualmente? a) 7 años b) 8 años c) 10 años d) 12 años e) 15 años

Pasado

Presente

Futuro

A

3x

3x + 2

3x + 4

B

4x

4x + 2

4x + 4

C

5x

5x + 2

5x + 4

3x  4 5



4x  4 6



5x  4 7

por datos: para hallar el valor de “x” basta considerar 2 expresiones cualesquiera 3x  4 5



4x  4 6

de donde: x = 2 edad mayor: 5.2 + 2 = 12 años Rpta: b RAZONAMIENTO LÓGICO

hace 18 años

José

Dentro 2 años



El razonamiento lógico es una parte muy importante de la Actitud Académica.  Miden las Habilidades de deducción lógica, creativa a través de los problemas. Observaciones: a) En relación de días tenemos: Hace Pasado “n” días Anteayer Ayer Hoy Mañana mañana -n …...

-2

-1

0

+1

+2

Dentro de “n” días …...

+n

Ejemplo: ¿A qué será equivalente el ayer del anteayer del ayer del pasado mañana del pasado mañana de mañana

ETSON AGUILAR Y PRODUCCIONES AGUILAR COMPROMETIDOS CON TU EDUCACION Solución: Según el cuadro anterior tenemos: Ayer del anteayer del ayer del pasado mañana -1 -2 -1 del pasado mañana de mañana +2

+2

+1

Piden: -1 – 2 – 1 + 2 +2+ 1 = +1 Mañana  Respuesta Mañana b) En los problemas que nos hablen de nietos, madres,

bisabuelos,

bisnietos,

etc.

Se

trabaja por la parte última (tipo cangrejo). c) De un total de varias bolas que tienen un mismo tamaño, color y peso; como encontrar una bola ligeramente más pesada mediante una balanza de dos platillos. Se generaliza: x : # de bolas “n”: # de pesados como mínimo

3n-1 < x < 3n

PROBLEMAS SOBRE CALENDARIOS Calendario Es un sistema de división del tiempo. 

Es un cuadro de los días, meses, estaciones y fiestas del año.

Calendario Gregoriano: Establecido en 1582 por el papa Gregorio XIII; no cuenta como bisiesto el año de cada siglo, excepto cuando caen en decena de siglo. Año Tiempo que emplea la tierra en recorrer su órbita alrededor del sol. Año común: 365 días (12 meses o 52 semanas) febrero trae 28 días. Año bisiesto: 366 días; febrero 29 días; este año se repite cada 4 años a excepción del último de cada siglo. La semana tiene 7 días y termina un día inmediato anterior al que empezó. PLANTEO DE ECUACIONES 74

1. El precio por enviar un telegrama es de cierta cantidad por cada una de las “x” primeras palabras y otra cantidad por cada palabra adicional. Un telegrama de 16 palabras cuesta S/. 60 y uno de 20 palabras cuesta S/. 72. ¿Cuánto costará enviar un telegrama de 26 palabras, sabiendo que x < 12? A) S/.10 B) S/.50 C) S/.90 D) S/.80 E) S/.120 2. Un ciego entró en una tertulia de señoras; quedó un momento a la escucha y luego dijo: - “Saludo a las 24 damas aquí presentes” “No somos 24”, le respondió una de ellas. - “Pero si fuésemos cuatro veces más de las que somos, seríamos tantas más de 24 como tantas menos somos en este momento”. ¿Cuántas señoras había en la tertulia? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 3. Angélica viaja en el último vagón de un tren, el cual tiene 9 vagones. Cuando avanza de un vagón a otro tiene que pagar 16 soles y cuando retrocede le devuelven 12 soles. Si para llegar al primer vagón realizó 24 cambios. Calcule la suma de lo que cobro y pago A) S/. 398 B) S/. 379 C) S/. 352 D) S/. 355 E) S/. 389 4. Se tiene dos depósitos de vino de diferente calidad. El primero contiene 20 L y el segundo 30 L Si se saca de cada uno la misma cantidad y se hecha al primero lo que se saca del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad ha pasado de un depósito a otro, si el contenido de los dos ha resultado de la misma calidad? A) 12 L B) 10 L C) 11 L D) 13 L E) 15 L 5. Juan y sus amigos desean entrar al cine, por lo cual deben pagar en total S/. 200, pero al juntar el monto, 5 de ellos no tienen dinero para la entrada, por lo cual los demás deben aportar S/. 2 más de lo previsto. ¿Cuánto aportará Juan? A) S/. 12 B) S/. 14 C) S/. 8 D) S/. 9 E) S/. 10 6. En un autobús se observa que hay 56 personas de las cuales 22 están sentadas. Los varones que están sentados son tantos como las damas que están paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de los varones que están parados. ¿Cuántos varones hay en el autobús? A) 40 B) 26 C) 38 D) 42 E) 34

ETSON AGUILAR Y PRODUCCIONES AGUILAR COMPROMETIDOS CON TU EDUCACION 7. ¿Qué número es tantas veces más que 6, como 36 es tantas veces dicho número? A) 6 B) 4 C) 18 D) 12 E) 3 8. Cinco veces el producto de las edades de Ronaldo y Walter es igual a 11 veces más que la suma de dichas edades. Cinco veces el producto de las edades de Walter y Alfredo es igual a 18 veces la suma de dichas edades, y 13 veces el producto de las edades de Ronaldo y Alfredo es igual a 35 veces más que la suma de sus edades. ¿En cuanto excede la edad de Alfredo a la edad de Walter? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 9. Se arroja tres dados. El número que salió en el primero se multiplica por 2 y se le suma 5, a este resultado se le multiplica por 5; luego se le suma lo que salió en el segundo dado, y a todo se le multiplica por 10, finalmente se le suma lo que salió en el tercer dado, y se obtiene 763. ¿Cuándo salió en cada dado? A) 5; 1 y 3 B) 4; 2 y 6 C) 2; 3 y 4 D) 2; 1 y 6 E) 3; 1 y 4 10. Un vendedor de frutas, tiene un cierto número de naranjas, las cuales quiere disponer de modo que se tenga un cuadro. Si el cuadro fuera compacto, sobrarían 88 naranjas, pero si el centro estuviera vacío, podría colocar cuatro naranjas más en cada columna y fila exterior, sin que sobre ninguna. Si se sabe que para llenar el cuadro vacío se necesitan 144 naranjas, calcule el número de naranjas que tenía en total? A) 815 B) 816 C) 817 D) 818 E) 820 11. En una fiesta, un grupo de personas se saludan de la forma siguiente: cada vez que se saludan dos varones se dan un apretón de manos; pero cada vez que se saludan dos mujeres o una mujer y un varón, se dan un beso en la mejilla. Si en total hubieron 21 apretones de manos y 34 besos. Calcule la diferencia entre el número de varones y mujeres en dicha fiesta. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 12. Tres cirios de una misma calidad y diámetro con duración para 2h, 4h y 6h, respectivamente, se prenden simultáneamente, repentinamente se apagó el primero observándose que lo consumido hasta ese momento por los tres era 90 cm; 1.5 h después la altura de la mayor era la mitad de lo consumido por los otros dos.

¿Cuál era la altura del primer y tercer cirio inicialmente? A) 24 y 72 cm B) 64 y 192 cm C) 88 y 264 cm D) 32 y 96 cm E) 12 y 36 cm CUATRO OPERACIONES En este capitulo estudiaremos el tema de planteo de ecuaciones haciendo uso de los diferentes métodos aplicativos como: cangrejo, rombo, rectángulo, regla de conjunta y algoritmo de la división según corresponda el caso del problema. Método de Exhaustión (Cangrejo) 1. Cangrejo Simple: Se utiliza cuando se presenta varias operaciones, se trabaja del valor final hacia el valor inicial haciendo operaciones contrarias a las que me indica el esquema (ó el problema). En todos los casos se trabaja en función a lo que queda. Ejemplito: ¿Cuál es el número, que elevado al cuadrado, sumarle 5, restarle 10, dividirlo entre 4, multiplicado por 9, sumarle 4 y sacarle la raíz cuadrada, se obtiene 7? Solución: O.D. Operaciones Directas 2

( ) 5  10 4 x9 4

O.I. Operaciones Inversas

25  5 Rpta 30  5  25 20  10  30 5 x 4  20 45  9  5 49  4  45 2

7  49 Valor final 7

2. Cangrejo Compuesto: Se utiliza cuándo los datos del problema se presentan por medio de fracciones, se trabaja con los valores que le faltan a dichas fracciones para que sean la unidad, siendo estas las operaciones directas las cuales son multiplicaciones, luego se procede al igual que en el caso simple: Gráficamente tenemos el complemento y replemento de una fracción en base a un total. (la unidad). Complemento: Del total del dinero que tenia 5/6 menos S/. 100 di a Pilar

Pierdo 5 6 Queda 1-5 1 = 6 6

Peluchiña gasta 3/7 de su dinero más S/. 50

Gasto 3 7 Queda 1-3 4 = 7 7

Replemento: Dato:

Se trabaja OD 1 6 +100

OI x6 -100

Se trabaja OD

OI

4 7 -50

7 4 +50

91

ETSON AGUILAR Y PRODUCCIONES AGUILAR COMPROMETIDOS CON TU EDUCACION Se trabaja

Gana 2 5

“Cachucho” gana 2/5 de su dinero más S/. 3

Resulta 1+2 7 = 5 5

OD

OI

7 5

5 7

+3

-3

Observación: En base a la unidad tenemos Complementos (pérdidas) Quito

   

Replementos (ganancias)

Queda

2



3 4



9 1



7 7



13

si A pierde, le pagará la quinta parte de lo que tiene a B. Si A y B acaban con 1920 y 1580 soles respectivamente y B sólo perdió la primera partida. ¿Cuánto perdió A? Solución:

Aumento

1



3 5



9 6



7 6



13

Queda

Resulta

3



5 4



9 2



7 6



13

Si “B” pierde A recibe la mitad

5 13 9 9 7 19

x

13

4 2 3  10 3 7

OD

 

3 4 1

3  10



4 7

Falta

1

Si “A” pierde le pagará la quinta parte de lo que tiene a B

Ejemplito: Robertito fue de compras a la Barraca (centro comercial): primero gastó 1/4 de su dinero en ropa, luego con los 2/3 del resto compró un reloj, más tarde compro un objeto de S/. 10, finalmente con los 3/7 del último resto compró un regalo para su señora, si se quedó con solamente S/. 16 para el cine. ¿De cuánto dinero disponía Roberto? Solución: 1

2

Queda

x

Datos

1

2

8

Se trabaja con la operación inversa x2

Falta

1



5

A

B

2500

3500

5

3000

1000 x2 500

4 5

2400

1100

3500

4

1920

1580

3500

4 5



5 4

500

La suma debe ser constante + en cada fila

78

i) ii)

5 (1920)  2400 4 5 (2400)  3000 4

2(500)  1000

iii) Luego “A” perdió 2500 – 1920 = 580

OI

 4

114

  152  3 38( 3 )  114

Rpta

28  10  38 16

 7

  28

 4

le quedó S/. 16

Problemas Mediante Cuadros 77 (Usando Cangrejo Mediante Columnas) 1. Tres jugadoras Anita, Betty y Carmen acuerdan que después de cada partida la perdedora duplicará el dinero de las otras dos. Habiendo perdido cada jugadora una partida en el orden indicado, resulta que la 1ra tiene 24 soles, la 2da 28 soles y la 3ra 14 soles. ¿Cuánto perdió Anita? Solución: La palabra duplicará es la operación directa  x2, luego procederemos a trabajar con la operación inversa  2

Método de Falsa Suposición (Rombo) Se utiliza cuando se presentan dos incógnitas, que presentan un valor numérico producido por la suma de dos incógnitas (número total de elementos), un valor unitario de cada una de las incógnitas; además debe tener otro valor numérico producido por el número total de elementos. Gráficamente tenemos: Mayor valor por unidad x # total de elementos

Deben ser iguales la unidades

Recaudación total

-

Menor valor por unidad

Nota: Para hallar el menor valor o mayor valor se procede en sentido contrario a lo que me indica el esquema esto es: ? x

-

x

-

?

2. A y B juegan 3 partidos de póker. Si “B” pierde, A recibirá la mitad de lo que tenía B,

menor valor 

(# total de elementos)(mayor valor)  (Recaudación total) (mayor valor)  (menor valor)

mayor valor 

(# total de elementos)(menor valor)  (Recaudación total) (menor valor)  (mayor valor)

Ejemplos:

ETSON AGUILAR Y PRODUCCIONES AGUILAR COMPROMETIDOS CON TU EDUCACION 1. ¿Cuántas monedas de S/. 2 debo entregar para pagar una deuda de S/. 29, si tengo 10 monedas de S/. 5 y S/. 2? Solución: S/. 5 x

-

10

-

29

# monedas de S / .2 

10 ( 5 )  29 52



21 3

7

S/. 2

2. Sandrita es una coleccionista de estampillas. Ella tiene 490 soles en 77 estampillas de 8 y 5 soles. ¿Cuántas tiene de 8 soles?

# de sobrinos 

116  27  11 24  11

Hallando el número de caramelos * 11(11) + 116 = 237 * 24(11) – 27 = 237 Rpta: 237 caramelos 2. Si se posaran 4 palomas en cada poste faltarán 3 postes, pero si se posaran 2 palomas en cada poste sobrarán 36 palomas. ¿Cuál es la cantidad de palomas?

8

3(4)

77

-

490

# est . de S / .8 

-

x

77( 5 )  490 58

Se utiliza cuando intervienen dos cantidades una de ellas produce un sobrante y la otra un faltante, para la solución procedemos de la siguiente manera: Las unidades del sobrante y el faltante deben ser iguales

+ Faltante (pérdida)

Cant. II

Datos que falta =

+ -

i)

Representa también  Costo por unidad  # de personas etc ii) Hallando el monto total  (Cant.I)(Dq’falta) sobrante = x 

 (Cant.II)(Dq’ falta) faltante= x Siendo "x“ la solución

Ejemplos: 1. Una persona quiere repartir cierto número de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 11 caramelos a cada uno, le sobra 116, y si les da 24 caramelos a cada uno le falta 27 caramelos. ¿Cuántos caramelos quiere repartir? 116 Número de caramelos

-

24

+

36  12  12 42

hallando el total de palomas 4(12) + 12 = 60 2(12) + 36 = 60 Rpta: 60 palomas Método Regla de Conjunta (Equivalencia) Se utiliza cuando se presentan varias equivalencias (igualdades), se colocan uno debajo de la otra cuidando que las unidades no se repitan; si esto sucede se intercambia la igualdad. A continuación el resultado es otra nueva equivalencia siendo esta la multiplicación de la primera columna igual a la multiplicación de la segunda columna. 79 Ejemplo: En una feria agropecuaria 7 gallinas valen lo mismo que 2 pavos, 28 patos cuestan lo mismo que 10 pavos, 6 conejos tienen el mismo precio que 16 patos. ¿Cuánto costará 2 gallinas si un conejo cuesta 30 soles? Solución: Ordenando las igualdades tenemos

Nota:  Si ambas cantidades producen sobrantes o faltantes diferentes se toma la diferencia de ellos, y se divide con la diferencia de las cantidades para hallar el dato que falta.

11

4

Faltan 3 post es

 35

Método del Rectángulo

-

4

...

# postes 

Sobrante (ganancia)

4

36

5

Cant. I

Sobran 12 palomas 4 4 4 4

Número de palomas

-

7 gall = 2 pav

7 gall = 2 pav

28 pat. = 10 pav.

10 pav. = 28 pat.

6 conej. = 16 pat.

16 pat. = 6 conej.

x soles = 2 gall.

x soles = 2 gall.

1 conej. = 30 soles

1 conej. = 30 soles 7.10.16.x.1 = 2.28.6.2.30 x = 18

Algoritmo de la División Divividendo

D

residuo

d q

divisior

D = dq + r r