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• David Arias

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EJERCICIO 1: ARÓSTEGUI GARCIA, ZONALI GABRIELA ̅ = [𝟑𝑿𝒀𝒊 + (𝟑𝑿𝟑 𝒀 − 𝟑)𝒋]𝑵 , 1. Calcular el trabajo realizado por una fuerza 𝑭 que sigue la siguiente trayectoria, del punto A (0,0) al punto B (2,40).

Solución: I. Utilizamos la ecuación 𝑊 = ∫ 𝐹̅ 𝑑𝑟̅ 2

40

𝑊𝐴𝐵 = ∫ (3𝑋𝑌)𝑖𝑑𝑥𝑖 + ∫ (3𝑋 3 𝑌 − 3)𝑗𝑑𝑦𝑗 0

II.

0

Reemplazamos variables según la ecuación de la trayectoria, y=5x3, así mi ecuación sería: 2 40 𝑌 𝑊𝐴𝐵 = ∫ 3𝑋(5𝑋 3 )𝑖𝑑𝑥𝑖 + ∫ (3( )𝑌 − 3)𝑗𝑑𝑦𝑗 5 0 0 2 40 3 = ∫ 15𝑋 4 𝑑𝑥 + ∫ ( 𝑌 2 − 3)𝑑𝑦 5 0 0 2 40 3 = ∫ 15𝑋 4 𝑑𝑥 + ∫ ( 𝑌 2 − 3)𝑑𝑦 5 0 0 15 3 1 = [ 25 − 0] + [ . 403 − 3.40 − (0)] 5 5 3

𝑊𝐴𝐵 = 96 + 12800 − 120 𝑊𝐴𝐵 = 12776 𝐽

EJERCICIO 2: RODRIGUEZ OBREGON PITER Un móvil se desplaza del punto A hasta B como se indica en la gráfica, cuya ecuación es y=2x+6. Halle el trabajo realizado por la fuerza F= (2xi + 3yj) N

EJE Y en metros

25 20

20 18 16

15

14 12

10

10 8

56 0

1

2

3

4

5

6

7

8

EJE X en metros

𝜔 = ∫ 𝐹⃑ 𝑑𝑟⃗⃗ =∫(2𝑥𝑖 + 3𝑦𝑗)(𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) 7

20

=∫0 (2𝑥𝑑𝑥) + ∫6 3𝑦𝑑𝑦 𝑥2

𝑦2

2

2

=2 | (7 − 0) + 3 3

| (20 − 6)

=72 + (202 − 62 ) 2

=49+546 =595 N

EJERCICIO 3: ATAUQUI MARQUEZ NAYDA Una partícula se desplaza según la siguiente ecuación 𝒚 = 𝒙𝟑 en el plano xy , sobre ella se ejerce una fuerza 𝑭 = (𝒙 − 𝒚)𝒊 + (𝟐𝒚𝟐 )𝒋 + (𝒛𝟐 )𝒌 Hallar el trabajo realizado del punto N (1, 1,0) hasta N´ (2, 8,0).

𝑊 = ∫ 𝐹 𝑥 𝑑𝑟 𝑊 = ∫ ((𝑥 − 𝑦)𝑖 + (2𝑦 2 )𝑗 + (𝑧 2 )𝑘)(𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘 ) 2

8

0

𝑊 = ∫ (𝑥 − 𝑥 3 )𝑑𝑥 + ∫ (2𝑦 2 )𝑑𝑦 + ∫ (𝑧 2 )𝑑𝑧 1

1

𝑊=

−9 1022 + +0 4 3

𝑊 = 338.4 𝐽

0

EJERCICIO 4: ADRIANZEN NATALIA ̅=( Calcular el trabajo realizado por la fuerza 𝑭

𝟐𝒙 𝒙𝟐 +𝟏

𝒊̂ +

𝟐𝒚 √𝒚𝟐 +𝟏

̂) en la 𝒋̂ + (𝒛𝟐 − 𝟒𝒛)𝒌

trayectoria cerrada mostrada si la figura es un cubo de 2u de arista. Además, 3AF=4AB.

z

F B

C

y

A D

x

SOLUCIÓN

Hallando las coordenadas de los puntos: A(2, 0, 0) B(1/2, 1/2, 3/2) C(1/2, 3/2, 0) D(3/2, 3/2, 0) W=∫ 𝐹̅ 𝑑𝑟̅ = ∫(

2𝑥 𝑥 2 +1

𝑖̂ +

2𝑦 √𝑦 2 +1

𝑗̂ + (𝑧 2 − 4𝑧)𝑘̂ )(𝑑𝑥𝑖̂ + 𝑑𝑦𝑗̂ + 𝑑𝑧𝑘̂ )= ln(𝑥 2 + 1) +

√𝑦 2 + 1 + 2𝑧 − 4  𝑊𝐴𝐵 = ln(𝑥 2 + 1)

1/2 2

+ √𝑦 2 + 1

7 √5 1/2 3/2 + 2𝑧 − 4 =ln ( ) + ln13 + − 4 2 0 0

1+3−4+4 Análogamente para:  𝑊𝐵𝐶 =

√13 2

−

√5 2

−4−3+4

31

7

4

4

 𝑊𝐶𝐷 = ln ( ) − ln ( ) 31

√13

4

2

 𝑊𝐷𝐴 =ln13 −ln ( ) + 1 −

𝑊𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿= 𝑊𝐴𝐵 + 𝑊𝐵𝐶 + 𝑊𝐶𝐷 + 𝑊𝐷𝐴 = 0

EJERCICIO 5: MICUNCO ROMERO GIOVANI Una fuerza de 150 N paralela a un plano inclinado de ángulo 30º actúa sobre un cuerpo de masa 10 Kg Si el cuerpo asciende 5 m por el plano inclinado y μ= 0,2 Calcular el trabajo total realizado

Solución: PASO 1: ∑𝐹 = 0  N=Mgcos30-- N=86.60 Paso 2:     

WF=fdcos0°=150x5xcos0°=150 J WN=Ndcos90°=86.6x5xcos90°=0 J Wfgx=Mgsen30°x5xcos180°=-245J WFr==Frxdxcos180°=-86.6 J WFgy=86.6x5xcos270°=0J

PASO 3: Wtotal=750-245-86.6=418.4 J

EJERCICIO 6: ROSALES JESUS CLAUDIA Un bloque de 2kg de masa es empujado 1.5m a lo largo de una mesa horizontal sin fricción por una fuerza constante de 16N dirigida a 30º debajo de la horizontal. Hallar el trabajo realizado por: A) B) C) D)

La fuerza aplicada La fuerza normal La fuerza de gravedad La fuerza neta sobre el bloque F 30º 2 kg 1.5 m

Solución:

D.C.L:

Fsen30º

Fcos30º

2 kg N

mg

En el eje X: √3

W= Fcos30º x d = 16x x1.5 = 12√3 Nxm 2

En el eje Y: W= Fsen30º x d= 0 Trabajo de la fuerza aplicada es 12√3 A) La fuerza normal el perpendicular al desplazamiento por lo que su trabajo es 0 B) La fuerza de gravedad es perpendicular al bloque por lo que su trabajo es 0 C) El trabajo de la fuerza neta es la suma de todos los trabajos y eso es 12 √3 N.m

EJERCICIO 7: Luis Jesús Perales Ninahuanca Una fuerza F = (x-2y)i + (2x2)j Newton, se ejerce sobre una partícula, la cual se desplaza a lo largo de la parábola y=3x2 metros en el plano xy. Hallar el trabajo efectuado por esta fuerza, cuando la partícula se desplaza del punto A(1,3) hasta B(2,12).

W =∫ F. dr W =∫ (Fx , Fy ). (dx, dy) W =∫ Fx dx + ∫ Fy dy

y=3x2 dy=6xdx

2

2

∫ Fx dx = ∫ (x − 2y)dx = ∫ (x − 6x 2 )dx = −12.5N. m 1

1 2

2 2)

∫ Fy dy = ∫ (2x dy = ∫ (2x 2 )(6xdx) = 45N. m 1

1

W = -12.5J + 45J = 32.5J

EJERCICIO 8: Juan Alberto Mamani Tomaiconsa Calcular el trabajo de la fuerza 𝐹 = 5𝑥𝑦𝑖̂ + 3𝑥𝑗̂ desde A hasta C

 Para: A-B 𝑦2 = 𝑥  Para: B-c 60

𝑦=

11

−

3𝑥 11

Hallando el trabajo: 9

3

𝑊𝑎 → 𝑏 = ∫ 3𝑥. √𝑥𝑑𝑥 + ∫ 3𝑦 2 𝑑𝑦 0

0

= 486 + 27 = 513𝐽 20

0 60 − 3𝑥 11𝑦 − 60 ) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑊𝑏 → 𝑐 = ∫ 5𝑥. ( 𝑑𝑦 11 3 9 3

=

5 11

1 −459

11495 + ( 3

2

)=

∴ 𝑊𝑡 = 513 +

10297

10297 2

2

=

𝐽

11323 2

= 5661.5𝐽

EJERCICIO 9: Juarez Valverde Alejandro David En el Torneo del Poder, Gokú se enfrenta al último enemigo Jiren, Gokú utiliza la teletransportación para aproximarse a una distancia no considerable de Jiren y realiza el Kame-hame-ha para empujarlo fuera de la plataforma, calcule el trabajo realizado por el Kame-hame-ha si al llegar al punto x=8 significa que Jiren sale de la plataforma de combate. Sea F la fuerza(Kame-hame-ha). 𝟐 𝟐 𝒚 𝟖 𝟑 Si 𝑭 = (𝒙 𝒚 𝒊 + (𝒆 + (𝒙 + 𝟒) 𝒚 )𝒋) N

Gráfica x vs y 4 3.5 3 2.5 2

y(m)

1.5 1 0.5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

x(m)

Solución: Hallamos la ecuación de la curva usando los puntos A y B : 𝑦 = √𝑥 + 4 Hallamos el extremo superior reemplazando x=8 en la ecuación ===> 𝑦 = √12 Calculamos el trabajo de F del punto A(0,2) a C(8,√12) WF=∫(𝑥 2 𝑦 2 𝑖 + (𝑒 𝑦 + (𝑥 + 4)8 𝑦 3 )𝑗).(𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) 8

√12

WF=∫0 𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑥 + ∫2 8

(𝑒 𝑦 + (𝑥 + 4)8 𝑦 3 )𝑑𝑦 √12

WF= ∫0 𝑥 2 (𝑥 + 4)𝑑𝑥 + ∫2 8

8

(𝑒 𝑦 + 𝑦16 𝑦 3 )𝑑𝑦

√12

√12

WF=∫0 𝑥 3 + 4 ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫2 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 + ∫2 𝑦19 𝑑𝑦 𝑋4 8 𝑥3 8 𝑦 20 √12 { WF= { + 4 { + 𝑒 𝑦 {√12 + 4 0 3 0 20 2 2 WF=1024 + 682.67 + 24.56 + 3095815782.4 WF=3095817513.65 WF=3.096x109 𝐽 Finalmente el trabajo que realiza el Kame-hame-ha es 3.096x109 𝐽

8

9

EJERCICIO 10: Cóndor Chambi, Susan Una fuerza 𝐹⃑ = (2y3 – 3x2) 𝑖̂ + (12x3+3y3 )̂𝑗 + (3z+xy) 𝑘̂ Newton se ejerce sobre un cuerpo que se desplaza según muestra la figura. Hallar el trabajo efectuado al desplazarse desde el punto A (1,2,0) hasta el punto B (2,16,0) Sol 3 𝑦

Tenemos y=2x3 , x= √

2

Por definición W=∫ 𝐹x𝑑𝑥 + ∫ 𝐹y 𝑑𝑦 + ∫ 𝐹z𝑑𝑧 Hallamos: 𝛼

∫ 𝐹x𝑑𝑥 = ∫ (2𝑦 3 – 3𝑥 2 )𝑑𝑥 1

𝛼

= ∫ (16𝑥 6 – 3𝑥 2 )𝑑𝑥 = 283.3 𝑁𝑥𝑚 1

𝛽

𝛽

∫ 𝐹y 𝑑𝑦 = ∫2 (12x 3 + 3y 3 )dy = ∫2 ( 6𝑦 + 3y 3 )dy = 49 896 Nxm ∫ 𝐹z𝑑𝑧 = ∫(3z + xy)dz = 0 Reemplazamos para hallar el trabajo: W= 283.3 J+49 896 J+0 J=50179.3 J= 50.2 KJ

EJERCICIO 11: HERNANDEZ BRAVO WALTER Una partícula se desplaza como muestra la figura por acción de una fuerza ⃗⃗⃗ 𝐹 =(−2𝑥𝑦 2 𝑖̂ + [

1

𝑒 2 +𝑦

−(

400−16𝑥 2 25

)] 𝑗̂) NHalle el trabajo realizado por la fuerza F de A

hacia B, siendo su trayectoria semielíptica.

Solución Como en el eje x tenemos la distancia mayor, escribimos la ecuación de la elipse: H:

𝑥2

𝑦2

5

42

+ 2

=1

Despejamos x2 y y2 de la ecuación: 𝑥 2 = 16(1 −

𝑥2 25

) , 𝑦2 =

400−16𝑥 2 25

Usamos la ecuación del trabajo: ̅̅̅ 𝑟2

𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝐹 𝑑𝑟̅ ̅̅̅ 𝑟1

Punto A: (-5,0) Punto B: (5,0) Luego: (5,0)

𝑊𝐴𝐵 = ∫(−5,0) (−2𝑥𝑦 2 𝑖̂ + [

1

𝑒 2 +𝑦

(5,0)

=∫(−5,0) [−2𝑥. 16 (1 −

5

=∫−5(−32𝑥 +

32𝑥 3 25

5

𝑥2 25

)+(

0

)𝑑𝑥 + ∫0 (

32

5

−(

1 𝑒 2 +𝑦

1 𝑒 2 +𝑦

400−16𝑥 2 25

)] 𝑗̂) 𝑑(x𝑖̂, 𝑦𝑗̂)

− 𝑦 2 )] 𝑑(x, 𝑦)

− 𝑦 2 )𝑑𝑦

0

𝑑𝑦

0

= -32∫−5 𝑥𝑑𝑥 + ( ) ∫−5(𝑥 3 )𝑑𝑥 + ∫0 ( 2 ) − ∫0 𝑦 2 25 𝑒 +𝑦

2

=−16𝑥 +

8𝑥 4

5

|

25 −5

+ ln(𝑒 2 + 𝑦) −

𝑦3

0

|

3 0

Reemplazando los valores de los límites inferiores y superiores se obtiene: ∴ 𝑊𝐴𝐵 = 0 J

Se deduce que el trabajo total es nulo por el hecho de que al momento de iniciar su desplazamiento, la partícula ejerce trabajo positivo desde el punto (-5,0) al (0,4) y desde este mismo punto hasta el punto (5,0) su trabajo es negativo.

Demostramos: Punto A: (-5,0) Punto Q: (0,4) Hallamos el trabajo desde A hacia Q

0

𝑊𝐴𝐵

4

8𝑥 4 𝑦3 2 | = −16𝑥 + + ln(𝑒 + 𝑦) − | 25 −5 3 0 2

Reemplazando:

∴ 𝑊𝐴𝑄 = 179,13 J ANÁLOGAMENTE:

∴ 𝑊𝑄𝐵 = −179,13 J

Esto demuestra que la trayectoria de A hacia Q es simétrica con la trayectora de Q hacia B, por lo tanto los trabajos realizados por la fuerza 𝐹 se anulan al tener una curva cerrada.

EJERCICIO 12: ALVINO FABIAN JESLIN Sobre una partícula actúa una fuerza: F=(𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 )𝒊 + 𝟑𝒚𝒋 (𝑵) se desplaza sobre una trayectoria AB como indica la figura. Halle el trabajo de dicha fuerza: Y(m)

Y + k=b𝑥 2

8

B(4,8)

3

Y - 2=8 𝑥 2 3 8

Y= 𝑥 2 + 2

2 A(0,2)

4

x(m)

W=∫ 𝐹. 𝑑𝑟 =∫(𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑖 + 3𝑦𝑗 × (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) =∫(𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 + ∫ 3𝑦𝑑𝑦 2

3

=∫((= 𝑥 2 + 2) − 𝑥 2 )𝑑𝑥 + ∫ 3𝑦𝑑𝑦 8 9

3

64

2

=∫( 𝑥 4 + 4 + 𝑥 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 + ∫ 3𝑦𝑑𝑦 4 9

1

64

2

8

=∫0 ( 𝑥 4 + 𝑥 2 + 4) + ∫2 3𝑦𝑑𝑦 = =

9 64×5 144 5

𝑥5 +

+

32 3

𝑥3 6

+ 4𝑥│40 +

3𝑦 2 8 │2 2

+ 16 + (96 − 6) = 145.47J

EJERCICIO 13: HUAYHUA BAUTISTA ALEXANDRA Sea la fuerza: Ϝ = (𝟓𝒙𝒚𝒊 + 𝟑𝒚𝒋) Que desplaza a la partícula por la trayectoria AB en la figura. Halle el trabajo de dicha fuerza. Solución: y(m)

y=mx + b

6

B(8,6)

6=m(8)+b 2=m(0)+b 1

Y=2 𝑥 + 2

A(0,2) 0

8

Ŵ=∫ 𝐹. 𝑑𝑟 =∫(5𝑥𝑦𝑖 + 3𝑦𝑗) × (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) =∫ 5𝑥𝑦𝑑𝑥𝑖𝑖 + 3𝑦𝑑𝑦𝑗𝑗 =∫ 5𝑥𝑦𝑑𝑥 + ∫ 3𝑦𝑑𝑦 8

6

=∫0 5𝑥𝑦𝑑𝑥 + ∫2 3𝑦𝑑𝑦 8

1

6

=5 ∫0 𝑥( 𝑥 + 2)𝑑𝑥 + 3 ∫2 𝑦𝑑𝑦 2

8 1

6

=5 ∫0 ( 𝑥 2 + 2𝑥 )𝑑𝑥 + 3 ∫2 𝑦𝑑𝑦 2

x(m)

b=2

m=1/2

=5 [

𝑥3 2×3

+

2×𝑥 2 8 3 ] 0 + [𝑦 2 ]62 2 2 3

=(5 × 144,3) + ( × 32) 2

=794.7J

EJERCICIO 14: LEON JIMENEZ DANIEL Sobre una partícula actúa una fuerza F=2x2i+3y2j N. Hallar el trabajo realizado por dicha fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA de la figura. El camino AB es una porción de la parábola y=x2/3.

Solución Tramo AB: 𝑏

3

3

2

W1= ∫𝑎 𝐹 (𝑥). 𝑑𝑟̅ = ∫0 2𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫0 3𝑦 2 𝑑𝑦 = [ (3)3 − 3

2 3

(0)2 ] + [(3)3 – (0)3]

= 45 J Tramo BC: Y=3

dy=0 𝑏

0

0

2

W2= ∫𝑎 𝐹 (𝑥). 𝑑𝑟̅ == ∫3 2𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫3 3𝑦 2 𝑑𝑦 = [ (0)3 − 3

2 3

(3)2 ] + [0]

= -18 J Tramo CA: X=0

dx=0 𝑏

0

0

W3= ∫𝑎 𝐹 (𝑥). 𝑑𝑟̅ = ∫3 2𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫3 3𝑦 2 𝑑𝑦 = [0] + [(0)3 – (3)3] = -27 J WT = W1 + W2 + W3 = 45 – 18 – 27 = 0 J

EJERCICIO 15: Luis Gonzalo Huaccachi Huamani Un bloque de 10 kg de masa se mueve desde el reposo sobre una superficie con coeficiente 𝑚 uk=0.2 (g=10 2)

F

𝑠

a) Hallar el trabajo realizado por la fuerza F y el rozamiento b) Halle el trabajo neto del bloque c) Hallar la velocidad final del bloque

Variacion de F 80 70

Fuerza (N)

60 50 40 30 20 10 0 0

5

10

15

20

25

30

35

Posicion (m)

SOLUCION: a) Primero hallamos la ecuación de la variación de F Sea y=a*x + b Primero hacemos x=0, y=70 : 70=a*0+b Luego con x=30, y=0 : 0=a*30+b donde a=-7/3 , b=70 Reemplazando: 𝑦 =

−7 3

𝑥 + 70

-Hallando el trabajo de F: 30 −7

WF=∫0

3

𝑥 + 70 𝑑𝑥 = (

−7 𝑥 2 3 2

+ 70𝑥 )

7 30 = − 302 + 70.30 = 1050 𝐽 6 0

-Hallando el trabajo de f:

N

Haciendo D.L.C :

F

La fuerza de gravedad del bloque es: F= mg = (10 Kg)(10

f

𝑚 𝑠

)=100 N , F=N 2

m

f=uk.N= 0.2(100 N) = 20 J El trabajo de la fuerza es constant desde el punto 0 al 30 Wf=-(f)(d) = - (20 N)(30 m)= -600 J b) Trabajo neto del bloque: W = WF + Wf = 1050 J + (-600 J) = 450 J c) Hallando la velocidad final: La energía mecánica en el último tramo es la energía cinética: 1

1

2

2

Ec= 𝑚𝑣 2 = 450 𝐽 =

(10 𝐾𝑔 )𝑣 2 → v = 3√10 = 9.48

𝑚 𝑠

EJERCICIO 16: Jhema Marin Zevallos Castro TRABAJO 1. Calcular el trabajo realizado por la fuerza 𝐹 = 4𝑥𝑦𝑖̂ + 9𝑥𝑗̂ en la trayectoria mostrada.

5

E

4

D

3

X(m)

2 1 0

A-1 -2

1

2

3

4

5

6

7

C

B

-3

Y(m)

En la figura AB es una recta 𝑥 + 𝑦 = 0, BC es una recta 𝑦 = −2,CD es una recta 3𝑥 − 4

𝑦 − 14 = 0,DE es una elipse 𝑦 = (𝑥 − 3)2 . 9

i.

𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝐹 . 𝑑𝑟̅ 𝑊𝐴𝐵 = ∫(4𝑥𝑦𝑖̂ + 9𝑥𝑗̂) . 𝑑(𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂) 2

−2

𝑊𝐴𝐵 = ∫ 4𝑥𝑦. 𝑑𝑥 + ∫ 9𝑥. 𝑑𝑦 0

0

2

−2

𝑊𝐴𝐵 = ∫ 4𝑥(−𝑥). 𝑑𝑥 + ∫ 9(−𝑦). 𝑑𝑦 0

0

2

−2

𝑊𝐴𝐵 = (−4) ∫ 𝑥 2 . 𝑑𝑥 + (−9) ∫ 𝑦. 𝑑𝑦 0

𝑊𝐴𝐵 = (

ii.

0

−4 3 2 −9 )𝑥 |0 + ( )𝑦 2 |−2 0 3 2 −86 𝑊𝐴𝐵 = 𝐽 3

𝑊𝐵𝐶 = ∫ 𝐹 . 𝑑𝑟̅ 𝑊𝐵𝐶 = ∫(4𝑥𝑦𝑖̂ + 9𝑥𝑗̂) . 𝑑(𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂) 4

𝑊𝐵𝐶

−2

= ∫ 4𝑥𝑦. 𝑑𝑥 + ∫ 9𝑥. 𝑑𝑦 2

−2 4

𝑊𝐵𝐶 = ∫ 4𝑥(−2). 𝑑𝑥 2

4

𝑊𝐵𝐶 = (−8) ∫ 𝑥. 𝑑𝑥 2

𝑊𝐵𝐶 = (−4)𝑥 2 |42 𝑊𝐵𝐶 = −48𝐽 iii.

𝑊𝐶𝐷 = ∫ 𝐹 . 𝑑𝑟̅ 𝑊𝐶𝐷 = ∫(4𝑥𝑦𝑖̂ + 9𝑥𝑗̂) . 𝑑(𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂) 6

4

𝑊𝐶𝐷 = ∫ 4𝑥𝑦. 𝑑𝑥 + ∫ 9𝑥. 𝑑𝑦 4 6

−2 4

𝑊𝐶𝐷 = ∫ 4𝑥(3𝑥 − 14). 𝑑𝑥 + ∫ 9( 4

−2

14 + 𝑦 ). 𝑑𝑦 3

6

4 2

𝑊𝐶𝐷 = 4 ∫ 3𝑥 − 14𝑥. 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑦 + 14. 𝑑𝑦 4

𝑊𝐶𝐷

−2

1 = 4(𝑥 3 − 7𝑥 2 )|64 + 3( 𝑦 2 + 14𝑦)|4−2 2 𝑊𝐶𝐷 = 318

iv.

𝑊𝐷𝐸 = ∫ 𝐹 . 𝑑𝑟̅ 𝑊𝐷𝐸 = ∫(4𝑥𝑦𝑖̂ + 9𝑥𝑗̂) . 𝑑(𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂) 0

4

𝑊𝐷𝐸 = ∫ 4𝑥𝑦. 𝑑𝑥 + ∫ 9𝑥. 𝑑𝑦 6

4

0

4 𝑊𝐷𝐸 = ∫ 4𝑥[ (𝑥 − 3)2 ]. 𝑑𝑥 + 0 9 6 0 16 ∫ 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥. 𝑑𝑥 𝑊𝐷𝐸 = 9 6 16 1 4 9 𝑊𝐷𝐸 = ( 𝑥 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 )|06 9 4 2 𝑊𝐷𝐸 = −96𝐽

 𝑊𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 145.3𝐽

EJERCICIO 17: VIZCARRA HUERTA KEVIN Un cuerpo de 40 kg de masa cae por un plano inclinado que forma con la horizontal un ángulo de 20°. ¿Cuál será su energía cinética luego de recorrer 18 m sobre el plano si partió del reposo?

Primero calculamos la altura que descendió al recorrer 18 m sobre el plano, podemos hacerlo mediante el teorema de Pitágoras o trigonométricamente. h = 18 m.sen 20° h = 6,16 m Luego calculamos la energía potencial que tenía al principio, es decir al tope de los 6,16 m. Ep = m.g.h Ep = 40 kg.10 (m/s²).6,16 m Ep = 2.462,55 J Al final del recorrido ésta energía potencial se transformó en energía cinética, por lo tanto: Ep = Ec = 2.462,55 J

EJERCICIO 18: REBATTA CAMPOS BRUNO Sea la fuerza 𝐹 = (𝑥 − 2𝑦) + (3𝑧 + 2𝑥 2 ) + (𝑧 2 − 𝑥𝑦)𝑁 Que se ejerce sobre una partícula, la cual se desplaza a lo largo de la parábola metros en el plano 𝑥𝑦. Hallar el trabajo efectuado por esta fuerza, cuando la partícula se desplaza del punto A(1,3,0) hasta B(2,12,0) Sol 𝑊 = ∫ 𝐹 𝑑𝑣 𝑊 = ∫((𝑥 − 2𝑦) + (3𝑧 + 2𝑥 2 ) + (𝑧 2 − 𝑥𝑦)) . (𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧) Hallamos usando la relacion 𝑦 = 3𝑥 2 𝑊 = ∫(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥 + ∫(3𝑧 + 2𝑥 2 )𝑑𝑦 + ∫(𝑧 2 − 𝑥𝑦) 𝑑𝑧

2

𝑊 = ∫ (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥 + ∫(3𝑧 + 2𝑥 2 )𝑑𝑦 + ∫(𝑧 2 − 𝑥𝑦) 𝑑𝑧 1

2

𝑊 = ∫ (𝑥 − 6𝑥 2 )𝑑𝑥 + ∫(0 + 2𝑥 2 )(6𝑥𝑑𝑥) + ∫(0 − 𝑥𝑦) 0 1

𝑊 = −12.5 + 45 + 0 𝑊 = −32.5 𝐽 EJERCICIO 19: ROBLES VERGARA MIGUEL Un bloque de 10 kg es empujado por una fuerza constante(F) de 50J sobre una superficie rugosa, halle el trabajo neto cuando el bloque ha avanzado 5m. coeficiente de rozamiento=0.4 (g=10 m/s2) Wneto= Fcos(0°)xd + Frcos(180°)xd Wneto=50(1)(5)J + (100)(0.4)(-1)(5)J Wneto=250J-200J=50J

EJERCICIO 20: Pillaca Sicha Jhon Una fuerza F= (30Xi +40Yἱ) N actúa sobre una partícula que experimenta un desplazamiento según la gráfica. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F sobre la partícula.

Y (m)vsX(m) 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

W= ∫ (30xi+40yj) (dxi+dyj) W=∫ (30x) dx+ ∫ (40y) dy W=0∫6 (30x) dx+ 0∫6(40y)dy W=30(x2/2)0l6+ 40(y2/2) 0l6 W= [15(36)-15(0)]+ [20(36)-20(0)] W=1260J

EJERCICIO 21: Cuzcano Huacho Miriam Una esfera de masa m se encuentra suspendida por una cuerda de longitud L. Si sobre esta actúa una fuerza F (horizontal), como se muestra en la figura hasta formar un ángulo con la vertical encontrándose en equilibrio en todo momento de su trayectoria. (𝑔 = 9.71 𝑚⁄𝑠 2 ) Calcular para ese instante: a) La expresión del trabajo de F, en función a m y Ɵ b) El valor del trabajo de la fuerza F, para 𝜃 =

Solución: Realizamos el DCL de la esfera: *descomponemos la tensión en los ejes coordenados Sumatoria de fuerzas es el eje x: ∑𝐹𝑥 = 0. 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐹…..(1) Sumatoria de fuerzas en el eje y: ∑𝐹𝑦 = 0. 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑔…….(2)

Reemplazando (2) en (1): 𝐹 = 𝑚𝑔𝑡𝑔𝜃.

𝜋 6

y una m=8kg.

Por definición: a) 𝑊 = ∫ 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃. 𝑊 = ∫ 𝑚𝑔. 𝑡𝑔𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃. 𝑊 = ∫ 𝑚𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃. 𝜋

b) Para Ɵ= y m=8kg. 6

𝜋

𝑊 = 𝑚𝑔 ∫06 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 . 𝜋

𝑊 = 𝑚𝑔|𝑐𝑜𝑠𝜃 | 6 . 𝑜 𝜋

𝑊 = 8𝑥9.71𝑥 [𝑐𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠0]. 6

𝑊 = 67.3𝐽.

EJERCICIO 22: MELISA RAIMUNDO CCAHUANA Calcular el trabajo realizado por la fuerza 𝐹⃐ = ((3XY2) i +(X2 +Y2) j )N en la trayectoria mostrada en la figura. Si se sabe que DE PARÁBOLA

y(m) 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

X(m)

Ecuación:  AB  BC

RECTA :Y=2X RECTA : Y=-2X+8

 CD

RECTA :Y= X-2

(y-k)2 =P(X-h)

4 3

 DE



Hallando la ecuación de la parábola:

PARABOLA:

(y-2)2 =Px

8 (Y-2)2 = X 3

en el punto(6,6)

P=8/3

WAB =∫((3X𝑌 2 ) i + (𝑋 2 + 𝑌 2 ) j (dx i + dy j ) 2

4

WAB =∫0 3𝑋(4𝑋 2 )dx +∫0 ( WAB =(3𝑋 4

2 0

+

5 12

𝑌2 4

+Y2 )dy

𝑌 3 ) 40

WAB =48+26.7=74.7 J WBC =∫((3X𝑌 2 ) i + (𝑋 2 + 𝑌 2 ) j (dx i + dy j )



3

2

WBC =∫2 3𝑋(−2𝑋 + 8)2dx +∫4 (

(8−𝑌)2 4

+ Y2 )dy 5

WBC =(𝑋 4 − 32𝑋 3 +96𝑋 2 ) 32 +(-2Y2 + 𝑌 3 + 64 Y) 40 3

WBC =243-176 +27.3-58.7=35.6J



WCD =∫((3X𝑌 2 ) i + (𝑋 2 + 𝑌 2 ) j (dx i + dy j ) 6

6 (8−𝑌)2

4

WBC =∫3 3𝑋( 𝑋 − 2)2dx +∫2 ( WBC =(

4𝑋 3 3

3 16

−

3

4

+ Y2 )dy

1

𝑋 3 + 6𝑋 2 ) 63 + (6𝑌 3 + 18 𝑌 2 + 36 Y) 62 16

WBC =792-18+135-12=897 J



WDE =∫((3X𝑌 2 ) i + (𝑋 2 + 𝑌 2 ) j (dx i + dy j ) 2

WDE =∫6 3𝑋(√

8𝑋 3

2( 3(𝑌−2))2

+ 2)2dx +∫6

8

8

24

3

3

5

WDE =( 𝑋 3 + 6𝑋 2 + √ ( )𝑋

64 5⁄ 2 2 )6

+ Y2 )dy 1

+ (6𝑌 3 + 18 𝑌 2 + 36 Y) 26 16

WDE =89.7-1267.2+3.04-75.38=-1249.84 J

WTOTAL = WAB + WBC + WCD + WDE WTOTAL =74.7-35.6 +897-1249.84 = -313.74J

EJERCICIO 23: GEBOL LOPEZ JENIFER PRESSLLY Una esfera de 3kg es soltada sobre la superficie libre un pozo. Si la resistencia que ofrece el agua al movimiento de la esfera es de 8N, ¿qué rapidez tiene la esfera cuando ha descendido 6m?

sea: E=Resistencia del agua = R  En la parte superior del pozo la espera posee EPG=mgH (dónde H es la distancia que recorrió la esfera hasta llegar al punto que muestra la imagen, que sería también nuestro NR)  En la parte que muestra la imagen la esfera posee solo EC=(½)mv2 (no posee otro tipo de energía pues aquí estamos tomando el NR por lo que no tendría E PG y no posee Ek )  Desde la superficie hasta donde se encuentra hay resistencia del agua, la cual desarrolla trabajo mecánico y varía la energía mecánica de la esfera. Por lo que planteamos  Sea la parte superior del lago el punto A y la parte donde se encuentra en la imagen el punto B, entonces WRAB=EM(B)-EM(A) -R*H=EM(B)-EM(A) -R*H=EC-EPG -R*H=(½)mv2-mgH -8(6)=(1/2)(3)V2-(3)(10)(6) V=9.38m/s

EJERCICIO 24: ROMERO AGUADO MELISSA Dada una fuerza 𝐹 = (𝑥 2 𝑦 𝑖) + (3𝑦𝑗)𝑁, que es aplicada sobre una partícula, la cual se desplaza como se muestra en la siguiente gráfica . Hallar el trabajo efectuado por esta fuerza, desde A a C. C

Donde:  AB, curva : 𝑦 = −√𝑥 3 𝑥 ∈ [2 − 0]  BC, curva : 𝑦 = √𝑥 3 𝑥 ∈ [0 − 3] B

A

𝑊 = ∫ 𝐹 𝑑𝑟  WAB= ∫(𝑥 2 𝑦 𝑖) + (3𝑥𝑗) . (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) Reemplazando las relaciones:

3

𝑦 = −√𝑥 3 ; 𝑥 = √𝑦 2

WAB= ∫(𝑥 2 𝑦)𝑑𝑥 + ∫(3𝑥)𝑑𝑦

0

0

3

WAB= ∫2 (𝑥 2 )(−√𝑥 3 )𝑑𝑥 + ∫2.8(3√𝑦 2 )𝑑𝑦

0

0

2

3

WAB= ∫2 −(√𝑥 7 )𝑑𝑥 + ∫2.8(3√𝑦 2 )𝑑𝑦 2

WAB=

2 √𝑥 9 0 − |2 9

3

+

9 √𝑦 5 0 |2.8 5

WAB= −6.2 𝐽

 WAB= ∫(𝑥 2 𝑦 𝑖) + (3𝑥𝑗) . (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) Reemplazando las relaciones:

3

𝑦 = √𝑥 3 ; 𝑥 = √𝑦 2

WBC= ∫(𝑥 2 𝑦)𝑑𝑥 + ∫(3𝑥)𝑑𝑦

3

5.2

3

WBC= ∫0 (𝑥 2 )(√𝑥 3 )𝑑𝑥 + ∫0 (3√𝑦 2 )𝑑𝑦

3 2

5.2

3

WBC= ∫0 (√𝑥 7 )𝑑𝑥 + ∫0 (3√𝑦 2 )𝑑𝑦 2

WBC=

2 √𝑥 9 3 |0 9

3

+

9 √𝑦 5 5.2 |0 5

WBC= 59.27 𝐽

WTOTAL= WAB + WBC WTOTAL= 53.07 J

EJERCICIO 25: ARIAS DAVID Un muchacho en una silla de ruedas (masa total 47Kg) gana una carrera contra un competidor en patín. El muchacho tiene una rapidez de 1.4m/s en la cresta de una pendiente de 2.6m de alto y 12.4m de largo. En la parte más baja de la pendiente, su rapidez es de 6.2m/s. Si la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento se pueden modelar como una fuerza constante de fricción de 41.0N, encuentre el trabajo realizado por el al empujarse hacia adelante en sus ruedas al viajar cuesta abajo? Solución: La situación general del problema se ilustra en la figura que se observa a continuación.

En este caso f es una fuerza interna del sistema, mientras que la fuerza de fricción es una fuerza externa que actúa sobre el sistema y realiza trabajo, por lo que el cambio en la energía del sistema es igual al trabajo realizado por la fuerza interna f y externa fr.

𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 = 𝑊𝑓 + 𝑊𝑓

…… (1)

Con respecto al nivel de referencia escogido y el cual se muestra en la figura se muestra que:

𝐸=

1 𝑚𝑣 2 + 𝑚𝑔ℎ 2

1

Mientras que:

2

 2 mv

Ef

(3)

f

Por otro lado se tiene también que el trabajo realizado por la fuerza de fricción es:   f x

W f

(4)

r

r

Al sustituir las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1) y resolver para Wf se tiene que: 1

2

mv

1

 mv 2  mgh  W  f x

2

f

2





i

f

r

  

Entonces: W  f

1 2

m

v f

2

v

2

  mgh  f x

i

r

Al sustituir las condiciones iniciales dadas en el problema, es decir vi =1.4m/s, vf =6.2m/s, m=47Kg, h=2.6m, x=12.4m, fr = 41N y g=9.8m/s se tiene que:

Wf



1

 47Kg   6.2m / s 2  1.4m / s 2    47Kg   9.8m / s 2    2.6m    41N   12.4m 

2







Entonces: Wf  168.12J

EJERCICIO 26: MENDOZA QUISPE JAMES Sobre un sólido que pesa 20N y que es desplazado 10m hacia abajo en una superficie rugosa inclinada 60 grados respecto a la horizontal. La fuerza es de 15N y forma un ángulo de 30grados con el plano inclinado y el coeficiente de rozamiento es 0.25. Hallar el trabajo total sobre el bloque.

y. fr

F=15N

x

60 Mg W=∫Ft.dr= Ft∫L dr=FtL 0 La fuerza total al largo del eje x o la fuerza resultante es Fx=Ft=Fcos30+mgsen60-fr Fy=0;Fsen30+N-mgcos60=0 N=mgcos60-Fsen30 ….fr=uN…(1) Luego: Ft=Fcos30+mgsen60-u(mgcos60-Fsen30) Ft=F(cos30+usen30)+mg(sen60-ucos60) Ft=29.65 Wt=Ft.L=29.65x10=296.5 J



EJERCICIO 26: CHACON LLANTOY EVELYN La fuerza neta 𝐹̅ , que actúa sobre una partícula de 𝑚 = 2𝑘𝑔 es 𝐹̅ (𝑡) = 6𝑡𝑖̂. Si la partícula parte del reposo, hallar el trabajo efectuado por la fuerza durante los primeros 2 segundos. Solución: Del dato: 𝐹̅ (𝑡) = 6𝑡𝑖̂ ̅̅̅ … … . (𝛼) → 𝑊 = ∫ 𝐹̅ . 𝑑𝑟 Sabemos que 𝑣̅ =

̅̅̅̅ 𝑑𝑟 𝑑𝑡

→ ̅̅̅ 𝑑𝑟 = 𝑣̅ 𝑑𝑡

Reemplazando en (𝛼) y evaluando en los dos primeros segundos, tenemos: 2

𝑊 = ∫ 𝐹̅ . 𝑣̅ 𝑑𝑡 … … . (𝛽) 0

Como la fuerza es neta, entonces: 𝐹̅ = 𝑚𝑎̅ → Por definición:

𝑑𝑣̅ 𝑑𝑡

= 𝑎̅(𝑡) →

𝑎̅(𝑡) =

6𝑡𝑖̂ 2

= 3𝑡𝑖̂ 𝑚⁄ 2 𝑠

𝑡

𝑡 0 2

=

𝑣̅ (𝑡) = ∫0 𝑎̅(𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ + 𝑣̅ (𝑡 = 0)

𝑣̅ (𝑡) = ∫ 3𝑡′𝑖̂𝑑𝑡 + ̅̅̅ 𝑣0 = Reemplazando en (𝛽):

𝐹̅ (𝑡) 𝑚

𝑊 = ∫0 (6𝑡𝑖̂ ∙

3𝑡 2 𝑖̂)𝑑𝑡 2

2

3𝑡 2 𝑖̂ 2 𝑡4

2

= 9 ∫0 𝑡 3 𝑑𝑡 = 9 4 | = 9 0

24 4

∴ 𝑊 = 36𝐽

EJERCICIO 27: CANAHUIRI GRANDEZ SEBASTIAN La fuerza constante F=xi+3j-2zk desplaza a un objeto desde el punto A(3,3,0) hasta B(-2,4,2). Hallar el trabajo de dicha fuerza. Solución:

W=∫r1r2F.dr =∫(xi+3yj-2zk) (dxi+dyj+dzk) =∫3-2xi.dxi+∫343yj.dyj-∫022zk.dzk =x2/2|3-2+3y2/2|34-z2|02 =4/2-9/4+48/2-27/2-4+0 =25/2 = 6.25 J

EJERCICIO 27: BAZAN PANANA GERALDINE Determinar el trabajo realizado por la fuerza 𝐹 = 4xy𝑖̂ – 8y𝑗̂ + 2𝑘̂, siguiendo el camino a lo largo de las rectas y = 2x, z = 2x, desde el punto (0,0,0) hasta el punto (3,6,6).

SOLUCIÓN Trabajo: W = ∫ 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟  W = ∫(4𝑥𝑦, −8𝑦, 2) ∙ (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) 3

Efectuando el producto escalar: W = ∫ 4𝑥𝑦𝑑𝑥 − 8𝑦𝑑𝑦 + 2𝑑𝑧  W = ∫0 (4𝑥𝑦 − 𝑑𝑦

𝑑𝑧

8𝑦 𝑑𝑥 + 2 𝑑𝑥) 𝑑𝑥 (1) 𝑑𝑦

𝑑𝑧

Por dato: y = 2x, z = 2x  𝑑𝑥 = 2, 𝑑𝑥 = 2

(2)

(2) en (1): 3

3

3

W = ∫0 (4𝑥𝑦 − 16𝑦 + 4)𝑑𝑥  W = ∫0 (4𝑥(2𝑥) − 16(2𝑥) + 4)𝑑𝑥  ∫0 8𝑥 2 𝑑𝑥 − 3

3

32 ∫0 𝑥𝑑𝑥 + 4 ∫0 𝑑𝑥 Resolviendo las integrales: W = -60 J

EJERCICIO 27: LIMAYMANTA NUÑEZ LUCERO JOSSI Una partícula de 4 kg se desplaza a lo largo del eje X. Su posición varia con el tiempo según x = t + 2𝑡 3 , en donde x se mide en m y t en s. Determinar en función del tiempo: a) su energía cinética, b) la fuerza que actúa sobre ella y su aceleración, c) la potencia de la fuerza. d) Determinar el trabajo realizado sobre la partícula en el intervalo de 0 a 2 s.

Solución: a) Derivando con el tiempo: 𝑑𝑥

1

V(t) = 𝑑𝑡 = 1 + 6t → 𝐸𝑐 = 2m𝑣 2 = 2(1 + 6𝑡)

b) Derivando de nuevo: 𝑑𝑣

a(t) = 𝑑𝑡 = 12t → 𝐹(𝑡) = 𝑚𝑎 = 48t

c) La potencia desarrollada por la fuerza será: P(t) = f(t)v(t) = 48t(1+ 6𝑡 2 ) d) Para calcular el trabajo podemos integrar la potencia: 2

2

W = ∫0 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0 48𝑡(1 + 6𝑡 2) 𝑑𝑡 = 1248 𝐽 o podemos calcular la variación de energía cinética sufrida por la partícula W = ∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐(2) − 𝐸𝑐(0) = 1250𝐽 − 2𝐽 = 1248𝐽