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TRABAJO COLABORATIVO LANZAMIENTO DE PROYECTIL

GRUPO 39 Bejarano Martínez Ariel Fernando Osorio Carrasco Brallan Fernando Gutiérrez Guzmán Dayana Paola Prado Ceballos Daniela

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS FISICA I MODALIDAD VIRTUAL

2018 MARCO TEÓRICO 1: MOVIMIENTO DE PROYECTILES.

Cuando un objeto es lanzado al aire, éste sufre una aceleración debida al efecto del campo gravitacional. El movimiento más sencillo de éste tipo es la caída libre; pero cuando un cuerpo, además de desplazarse verticalmente, se desplaza horizontalmente, se dice que tiene un movimiento de proyectil, también conocido como movimiento parabólico, que es un caso más general de un cuerpo que se lanza libremente al campo gravitacional, y se trata de un movimiento bidimensional. Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil*. En éste movimiento, se desprecia el efecto de la resistencia del aire; entonces, el único efecto que un proyectil sufre en su movimiento es su peso, lo que le produce una aceleración constante igual al valor de la gravedad. [1].

Marco teórico 2: Consulten los tipos de ajuste lineal, potencial, exponencial Lineal. Se basa en modelos lineales con la fórmula general: Donde:   

a = punto de corte en el eje de ordenadas b = pendiente o gradiente de la recta, que son los coeficientes de regresión ϵi corresponde al término de residuos, que representa la diferencia entre el valor observado y el estimado para el individuo i.

Los coeficientes de regresión los tenemos que estimar de los datos, usando el método de mínimos cuadrados, basado en las siguientes fórmulas, y el criterio de optimización de máxima verosimilitud.

Lo que hemos visto hasta ahora es sólo la “mitad de la historia”. Además de los parámetros a y b, necesitamos calcular la incertidumbre asociada a cada una de estas estimas. Es decir, necesitamos calcular el error estándar de cada parámetro de nuestro modelo de regresión. El error estándar (SESE) es la desviación estándar de la distribución de muestreo de un estadístico. Para un estadístico (p.ej. la media), nos indica cuánta variación existe entre muestras de la misma población. Por tanto valores grandes de SESE indican que el estadístico no representa adecuadamente a la población de la que procede la muestra. Para determinar la bondad del ajuste de un modelo necesitamos compararlo con un modelo nulo, el más simple de todos, la media, que es un “modelo de no relación entre variables”. Cuantitativamente la determinamos usamos la siguiente ecuación general: [2]

El coeficiente de correlación es otra técnica de estudiar la distribución bidimensional, que nos indica la intensidad o grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.

El numerador es el producto de las desviaciones de los valores X e Y respecto de sus valores medios. En el denominador tenemos las desviaciones cuadráticas medias de X y de Y. El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1. · Cuando r=1, la correlación lineal es perfecta, directa. · Cuando r=-1, la correlación lineal es perfecta, inversa · Cuando r=0, no existe correlación alguna, independencia total de los valores X e Y VARIANTES DE LA REGRESIÓN LINEAL. Función potencial. y=c·xa Se puede trasformar en Si usamos las nuevas variables X=log x e Y=log y, obtenemos la relación lineal Y=aX+b. Donde b=log c Función exponencial. y=c·eax Tomando logaritmos neperianos en los dos miembros resulta ln y=ax+ln c Si ponemos ahora X=x, e Y=ln y, obtenemos la relación lineal Y=aX+b Donde b=ln c [3]. REGRESIÓN NO LINEAL. La regresión no lineal es un problema de inferencia para un modelo tipo: Basado en datos multidimensionales x,y, donde f es alguna función no lineal respecto a algunos parámetros desconocidos θ. Como mínimo, se pretende obtener los valores de los parámetros asociados con la mejor curva de ajuste (habitualmente, con el método de los mínimos cuadrados). Con el fin de determinar si el modelo es adecuado, puede ser necesario utilizar conceptos de inferencia estadística tales como intervalos de confianza para los parámetros, así como pruebas de bondad de ajuste. El objetivo de la regresión no lineal se puede clarificar al considerar el caso de la regresión polinomial, la cual es mejor no tratar como un caso de regresión no lineal. Cuando la función f toma la forma: La función f es no lineal en función de x pero lineal en función de los parámetros desconocidos a, b, y c.

REGRESIÓN POLINÓMICA. Algunas veces cuando la relación entre las variables dependientes e independientes es no lineal, es útil incluir términos polinomiales para ayudar a explicar la variación de nuestra variable dependiente. Las regresiones polinomiales se pueden ajustar la variable independiente con varios términos. Que, derivando respecto a cada uno de los coeficientes nos da el planteamiento un sistema de ecuaciones de la siguiente forma (donde m es el número de pares de datos): Así, la ecuación matricial que permite obtener los coeficientes polinómicos se muestra a continuación: [4]

 El grupo debe repetir el experimento de la anterior fase, eligiendo valores de rapidez, ángulo de disparo, masa y diámetro del proyectil (no se deben cambiar durante el experimento) y variar la altura del cañón desde 1 m hasta 15 metros y medir la correspondiente distancia horizontal. Los datos se deben registrar en una tabla que ahora tiene 15 entradas.

LANZAMIENTO DE PROYECTIL Datos: Rapidez: 9m/s Angulo: 27° Masa: 10.57 kg Diámetro: 0.30m

Altura y(m) 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 11m 12m 13m 14m 15m

Distancia x (m) 8.27m 9.46m 10.45m 11.23m 12.11m 12.83m 13.49m 14.12m 14.71m 15.28m 15.81m 16.33m 16.83m 17.3m 17.77m

 Análisis de datos: Aplique cada uno de los ajustes mencionados arriba a la tabla de 15 datos. En el trabajo final los análisis deben ir acompañados de la correspondiente interpretación con el fin de determinar cuál tipo de regresión (lineal, potencial, experimental o polinomica) se ajusta mejor a los datos con su correspondiente justificación. Nota: no exponer todo el proceso de obtener los coeficientes, es suficiente con escribir su valor. AJUSTE POTENCIAL

AJUSTE LINEAL

AJUSTE EXPONENCIAL

AJUSTE POLINOMICA

Análisis de datos Según las gráficas el mejor ajuste que aplica al experimento del lanzamiento de proyectil es el polinomio ya que el lanzamiento de proyectiles esta descrito por un movimiento parabólico el cual se describe por medio de una ecuación de segundo grado y por lo que hemos investigado el ajuste polinomio se caracteriza por tener ecuaciones de varios grados. Además si tenemos en cuenta el coeficiente de correlación de Pearson notamos lo siguiente: Ajuste potencial R2: 0,9861 Ajuste lineal R2: 0,9824 Ajuste potencial R2: 0,9517 Ajuste polinomio R2: 1 En vista de lo anterior notamos que del ajuste citado el que mejor describe la relación de las variables del experimento es el polinomio ya que su coeficiente es 1 determinando este que existe una correlación positiva perfecta. Indicando una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante. Lo cual nos permite realizar análisis y pronósticos ya que se ajusta adecuadamente a los datos reales.

 Análisis de datos y cumplimiento del objetivo: Con la selección del mejor ajuste y la interpretación física de los parámetros, determinar el valor de g en su experimento y comparar con el teórico, es decir, calcular el error relativo porcentual. Nota: tome como valor teórico el que aparece por defecto en la simulación, es decir, g = 9:81 m/s2. X=

(1)

Y=

(2)

Despejando en (1) el tiempo t= Remplazando en (2) Y= Y=

(

) (

)

Ahora se compara con lo que se encontró experimentalmente Se tiene en cuenta los datos del experimento Rapidez:9m/s Angulo: 27° Y= 0,0756x² - 0,4954x -0,0622 Por tanto = 0,0756 ( ) g=2 g=2(9m/s)² (cos27°)²(0,0756) g=9,722961771 Calculamos el error relativo porcentual. (9.8 - 9,722961771 / 9.8) x 100 = 0.78%

Conclusiones



El análisis de regresión y correlación lineal constituyen métodos que se emplean para conocer las relaciones y significación entre series de datos. Lo anterior, es de suma importancia para la industria ya que es aquí en donde se presentan variables de respuesta e independientes las cuales interactúan para originar las características de un proceso en particular y por ende; analizar, predecir valores de la variable dependiente y examinar el grado de fuerza con que se relacionan dichas variables.



Por otro lado, Al ajustar un modelo de regresión simple o múltiple a una nube de observaciones es importante disponer de alguna medida que permita medir la bondad del ajuste. Esto se consigue con los coeficientes de correlación. Si el modelo que se ajusta es un modelo de regresión lineal, a R se le denomina coeficiente de correlación y representa el porcentaje de variabilidad de la Y que explica el modelo de regresión.

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Estas técnicas estadísticas constituyen una herramienta útil para el análisis de las variables de un proceso ya que a través de la aplicación de éstas, es posible conocer el modelo que siguen y la fuerza con que se encuentran relacionadas. Asimismo, es posible explicar la relación que guardan dos o más causas de un posible defecto.



Los ajustes lineales sirven para ver la relación o dependencia que hay entre las variables estudiadas en un determinado experimento o fenómeno los cuales se aplican mucho en el área investigativa también se utiliza en las áreas de ingeniería y ciencias entre otras. Su utilidad y mayor fortaleza es que permite producir resultados futuros El movimiento de proyectiles es un movimiento de caída libre donde se desprecia la masa y se tiene en cuenta la gravedad. La aplicación de los ajustes lineales nos permite realizar análisis y pronósticos de un experimento dependiendo del coeficiente de correlación

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Bibliografía web [1]Tomado de: http://www.aulafacil.com/cursos/l10319/ciencia/fisica/fisica-generalii/movimiento-de-proyectiles [2]Tomado de: http://www.ccg.unam.mx/~vinuesa/R4biosciences/docs/Tema9_regresion.html [3]Tomado de: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/regresion/regresion.htm [4]Tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_no_lineal