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• Ricardo Ricky

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Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

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RESUMEN Potencial eléctrico Como la fuerza electrostática dada por la ley de Coulomb es conservativa, es posible discutir de manera conveniente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía potencial eléctrica. Esta idea permite definir una cantidad escalar llamada potencial eléctrico. Debido a que el potencial es una función escalar de la posición, ofrece una manera más sencilla de describir los fenómenos electrostáticos que la que presenta el Campo Eléctrico. Energía potencial y potencial eléctrico. Cuando una carga de prueba positiva q0 se mueve entre los puntos A y B en un campo electrostático E, el cambio de la energía potencial está dada por ∆U = −q0

B

∫ E ds A

La diferencia de potencial ΔV entre los puntos A y B en un campo electrostático E se define como el cambio de energía potencial dividido por la carga de prueba q0: ∆V =

B ∆U = −∫ E ds A q0

Donde el potencial eléctrico V es un escalar y tiene unidades de J/C, definido como un voltio (V). La diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un campo eléctrico uniforme E está dado por ∆V = −E d

Donde d es el desplazamiento en la dirección paralela a E. Potencial debido a varias distribuciones de carga Anillo uniformemente cargado de radio a A lo largo del eje del anillo a una distancia x de su centro V =k

Q x + a2 2

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Diferencia de potencial y potencial eléctrico

Disco uniformemente cargado de radio a A lo largo del eje del disco a una distancia x de su centro

[

V = 2πkσ ( x 2 + a 2 )

12

−x

]

Esfera aislante uniformemente cargada de radio R y carga total Q

r≥R

V =k

rR

V =k

Q r

Superficies equipotenciales son las superficies sobre las cuales el potencial eléctrico permanece constante. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas del campo eléctrico. El potencial debido a una carga puntual q a una distancia r de la carga está dado por V =k

q r

El potencial debido a un grupo de cargas puntuales se obtiene sumando los potenciales debidos a cada carga individualmente. Siendo V un escalar, la suma es una simple operación algebraica. La energía potencial de un par de cargas puntuales separadas una distancia r12 está dada por U =k

q1 q2 r12

Ésta representa el trabajo requerido para traer las cargas desde una separación infinita hasta una separación r12. La energía potencial de una distribución de cargas puntuales se obtiene sumando los términos obtenidos por la ecuación para cada par de partículas. El potencial eléctrico debido a una distribución continua de carga está dado por

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

V =k ∫

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dq r

Si el potencial eléctrico es conocido como una función de las coordenadas x, y, z, las componentes del campo eléctrico pueden ser obtenidas al sacar la derivada negativa del potencial con respecto a las coordenadas. Por ejemplo, la componente x del campo eléctrico está dada por Ex = −

dV dx

Todos los puntos sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio electrostático están al mismo potencial. Además, el potencial es constante en cualquier lugar dentro del conductor e igual a su valor en la superficie.

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Diferencia de potencial y potencial eléctrico

PREGUNTAS 7.1. Una carga negativa se mueve en dirección de un campo eléctrico uniforme. ¿La energía potencial de la carga aumenta o disminuye? ¿Esta se mueve a una posición de potencial mayor o menor? El cambio en la energía potencial de una carga es el negativo del trabajo hecho por el campo eléctrico sobre la carga. Entonces, cuando una carga negativa se mueve del punto a al punto b en la dirección de un campo eléctrico uniforme, su energía potencial aumenta. El potencial eléctrico es una característica escalar de un campo eléctrico, independiente de las cargas que pueden estar localizadas en el campo. La diferencia potencial Va − Vb entre los puntos a y b iguala el trabajo por unidad de carga que un agente externo debe realizar para mover una carga de prueba (la cual es positiva) de b a a sin cambiar la energía cinética de la carga de la prueba. Así pues, el punto a está en un potencial más alto. Es decir, la carga negativa se mueve a una posición de un potencial más bajo. 7.2. Si E es igual a cero en un punto. ¿V debe ser igual a cero en ese punto? Dé algunos ejemplos para ilustrar su opción. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.3. Proporcione una explicación física del hecho de que la energía potencial de un par de cargas iguales es positiva mientras que la energía potencial de un par de cargas diferentes es negativa. La fuerza entre dos cargas iguales es repulsiva. Se necesita un trabajo positivo para mover las cargas desde una separación infinita hasta una cierta separación r. Por lo tanto, la energía potencial de un par de cargas iguales es positiva. Ya que cargas diferentes se atraen y tienden a acelerarse una hacia la otra, trabajo negativo se requiere para ubicar las cargas. Por lo tanto, la energía potencial de un par de cargas opuestas es negativa. 7.4. Dos esferas conductoras cargadas y muy distantes se conectan por un hilo conductor. Al alcanzarse el equilibrio electrostático, ¿cómo son sus potenciales? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.5. Un campo eléctrico uniforme es paralelo al eje x. ¿En qué dirección puede desplazarse una carga en este campo sin que se haga ningún trabajo externo sobre la misma?

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

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Cuando una carga se desplaza en dirección perpendicular a la de un campo eléctrico, no se hace ningún trabajo externo sobre la carga. 7.6. Una carga elemental está en este momento a una distancia r de una carga fija q. Si se permite al electrón moverse libremente de modo que se aleje bajo la repulsión del campo eléctrico. ¿Cuál será su energía cinética cuando se haya alejado mucho? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.7. Explique por qué las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. Si las líneas de campo eléctrico no fueran perpendiculares a las superficies equipotenciales, el campo eléctrico debe tener una componente en esta superficie. Entonces trabajo debe hacerse para mover una carga de prueba sobre la superficie. Pero trabajo no puede ser hecho si la superficie es equipotencial, entonces líneas de campo eléctrico deben estar en ángulo recto a las superficies equipotenciales. (Vea la respuesta a la Pregunta 7.1.) 7.8. ¿El campo eléctrico dentro de una cavidad esférica uniformemente cargada es cero, esto implica que el potencial es cero dentro de la esfera? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.9. Describa las superficies equipotenciales para (a) una línea infinita de carga y (b) una esfera con carga uniforme. (a) Las superficies equipotenciales para una línea infinita de carga son una familia de superficies cilíndricas cuyos ejes coinciden con la línea de carga. (b) Las superficies equipotenciales de una esfera uniformemente cargada consisten en una familia de superficies esféricas concéntricas con la esfera cargada. 7.10. Explique la diferencia entre potencial eléctrico y energía potencial eléctrica. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.11. El campo eléctrico dentro de una esfera hueca con carga uniforme es cero. ¿Esto significa que el potencial es cero en el interior de la esfera? Explique. Cuando el campo eléctrico es cero en una cierta región, uno puede concluir solamente que el potencial V en esa región es constante. Entonces, si el campo eléctrico dentro de una esfera eléctricamente cargada hueca es cero, esto no implica

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Diferencia de potencial y potencial eléctrico

que el potencial sea cero dentro de la esfera. El potencial dentro de la esfera cargada es constante e igual al potencial en la superficie de la esfera. 7.12. Un positrón acelerado por una diferencia de potencial adquiere una velocidad de 0.3 c (c es la velocidad de la luz en el vacío). ¿Qué velocidad adquirirá un protón acelerado por la misma diferencia de potencial? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.13. Dos esferas conductoras cargadas de diferentes radios se conectan por medio de un alambre conductor, como se muestra en la figura. ¿Cuál de las esferas tiene la mayor densidad de carga? Cuando dos esferas conductoras cargadas de diferentes radios son conectadas por un alambre conductor, ambas esferas están al mismo potencial, y el cociente de sus cargas es q1/q 2 = r1/r2. Sin embargo, el cociente de sus densidades de carga es inversamente proporcional al cociente de sus radios. Por lo tanto, la esfera más pequeña tiene la mayor densidad de la carga. 7.14. Si un protón se abandona en reposo en un campo eléctrico uniforme, ¿su energía potencial aumenta o disminuye? ¿Y su potencial? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.15. ¿Por qué es importante evitar los bordes o puntos afilados sobre los conductores utilizados en equipo de alto voltaje? Es importante evitar los bordes o puntos agudos en los conductores usados en el equipo de alto voltaje porque el campo eléctrico alrededor de tales puntos es muy intenso y podría conducir a la descarga eléctrica a tierra. 7.16. De una interpretación física del hecho de que la energía potencial de un par de cargas de igual signo es positiva, mientras que la energía potencial de un par de cargas de distinto signo es negativa. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

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7.17. ¿Por qué es relativamente seguro permanecer en un automóvil con una carrocería metálica durante una intensa tormenta eléctrica? Durante una intensa tormenta eléctrica, es relativamente seguro permanecer en auto con carrocería metálica. Esto es porque el auto, siendo conductor, sirve como un escudo. Incluso si una línea de energía caída golpea el coche, sigue siendo recomendable permanecer en el auto hasta que la potencia sea apagada. 7.18. Si el campo eléctrico es constante en una región, ¿Qué puede decir del potencial en dicha región? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ PREGUNTAS ADICIONALES 7.19. ¿Pueden intersecarse dos superficies equipotenciales diferentes? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

7.20. Si V es igual a una constante en toda una región del espacio ¿Qué puede usted decir respecto de E en esa región? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.21. Dos puntos P1 y P2, están al mismo potencial electrostático. ¿Significa esto que no se efectúa trabajo al llevar la carga desde P1 hasta P2? ¿Es cierto que los campos eléctricos en P1 y P2 son iguales? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.22. Un campo eléctrico uniforme es paralelo al eje x. En qué dirección puede una carga ser desplazada en este campo sin hacer trabajo externo sobre la carga. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

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Diferencia de potencial y potencial eléctrico

7.23. ¿Porqué, en condiciones estáticas, todos los puntos de un conductor deben estar al mismo potencial? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.24. Dos esferas conductoras de distinto radio, poseen carga eléctrica y están conectadas a través de un hilo conductor. ¿Cuál tendrá mayor densidad superficial de carga? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.25. El potencial eléctrico, a mucha distancia de una distribución de cargas con simetría esférica, se considera cero. ¿Se adopta la misma convención si la distribución de cargas tiene simetría cilíndrica o plana? ¿Por qué? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.26. ¿En qué tipo de clima se descargará más fácilmente la batería de un automóvil? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.27. Explique el principio de funcionamiento del generador electrostático de Van de Graaff. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7.28. ¿Por qué se dice que un conductor cargado y en equilibrio en electrostático es equipotencial? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

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PROBLEMAS 7.1. ¿Cuánto trabajo se realiza (por una batería, generador u otra fuente de energía eléctrica) al mover un número de Avogadro de electrones a partir de un punto inicial donde el potencial eléctrico es 9.00 V hasta un punto donde el potencial es −5.00 V? (El potencial en cada caso se mide en relación con un punto de referencia común.) Datos: q = NA (−e) = (6.02 × 1023) (−1.60 × 10−19 C) = −9.63 × 104 C Solución: La diferencia potencial eléctrica entre cualquier par de puntos a y b en un campo eléctrico, es el trabajo por unidad de carga requerida para mover una partícula cargada desde el punto a al punto b sin causar un cambio neto en la energía cinética de la partícula. Es decir,

Entonces, el trabajo hecho por una fuente de la energía eléctrica en mover la carga q desde un punto inicial a, que se encuentra a un potencial eléctrico Va, a un punto final b, que está a un potencial eléctrico Vb, es Wα→b = q(Vb − Va) = (−9.63 × 104 C)(−5.00 V − 9.00 V) = 1.35 × 106 J ⇒

Wa→ b = 1.35 MJ

Observe que el trabajo positivo se hace al mover una carga negativa desde un punto de un potencial más alto a uno de un potencial más bajo. 7.2. Una carga de 2 × 10−8 C se coloca en un campo eléctrico vertical dirigido hacia arriba, cuya intensidad es 5 × 104 N/C. (a) Calcule el trabajo realizado por el campo cuando la carga se mueve: 5 cm hacia la derecha. (b) 8 cm hacia abajo. (c) 10 cm formando un ángulo de 45° hacia arriba con respecto a la horizontal.

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Diferencia de potencial y potencial eléctrico

7.3. (a) Calcule la rapidez de un protón que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 120 V. (b) Calcule la rapidez de un electrón que se acelera a través de la misma diferencia de potencial. Datos: Dos partículas (un protón y un electrón) se aceleran a través de una diferencia potencial. = 120 V = diferencia potencial a través de la cual las partículas son aceleradas va = velocidad inicial de las partículas = 0 Encontrar: v = vb = la velocidad final de las partículas Solución: Del principio de la conservación del trabajo - energía sabemos que el trabajo hecho por la fuerza eléctrica en una partícula cargada en un campo eléctrico, es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. Para una partícula, saliendo del reposo, Wa → b = K b − K a

⇒

(1)

donde q es la carga de la partícula, m es su masa, v es su velocidad final, y Vb− Va es la diferencia potencial con la cual se acelera. De la Ecuación (1),

(a) Después de ser acelerada desde el reposo a través de una diferencia potencial de 120 V, el protón, de carga q = 1.60 × 10−19 C y masa m = 1.67 × 10−27 kg, adquiere una velocidad

⇒

vp = 152 km/s

(b) Para el electrón, de carga q = −1.60 × 10−19 C y masa m = 9.11 × 10−31 kg, esta velocidad es

⇒

ve = 6.49 ×103 km/s

El electrón y el protón están bajo acción de la misma fuerza eléctrica. Sin embargo, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas. El protón, que lleva una carga positiva, se mueve desde un potencial alto a un potencial más bajo (a partir 120 V a 0 V), mientras que el electrón, que lleva una carga negativa, se mueve desde el potencial más bajo a un potencial más alto (a partir de 0 V a 120 V). También, puesto que la masa del electrón es mucho menos que la del protón, se espera que la velocidad final del electrón sea mayor que la del protón.

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

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7.4. La diferencia de potencial entre los puntos en que se produce la descarga en un relámpago típico es aproximadamente 1.0 × 109 V, y la cantidad de carga que se transfiere es de alrededor de 30 C. ¿Cuál será la variación de temperatura que experimentará una masa correspondiente a 200 000 L de agua si toda la energía del relámpago se utilizara para calentarla?

7.5. Suponga que un electrón es liberado desde el reposo en un campo eléctrico uniforme cuya magnitud es de 5.90 × 103 V/m. (a) ¿A través de qué diferencia de potencial habrá pasado después de moverse 1.00 cm? (b) ¿Cuán rápido estará moviéndose el electrón después de que haya viajado 1.00 cm? Datos: Un electrón se lanza desde el reposo (va = 0) en un campo eléctrico uniforme. qe = carga del electrón = −1.60 × 10−19 C d = 1.00 cm = distancia que se movió el electrón después de ser acelerado a través de una diferencia de potencial Vb− Va . (me = masa del electrón = 9.11 × 10−31 kg) Encontrar: (a) Vb− Va = la diferencia potencial a través de la cual el electrón pasa después de moverse una distancia d (b) vb = v = velocidad del electrón después de moverse esta distancia d Solución: (a) La diferencia de potencial entre dos puntos a y b cualesquiera en un campo eléctrico está dado por

Entonces, la diferencia potencial a la cual el electrón pasa, después de moverse una distancia d en una dirección opuesta a la del campo eléctrico constante (véase la figura), es

* Por lo tanto,

(1)

224

Diferencia de potencial y potencial eléctrico Vb− Va = E d = (5.90 × 103 V/m)(0.0100 m)

⇒

Vb − Va = 59.0 V

(b) El electrón se mueve en un campo conservativo, entonces su energía se conserva. Por el principio de conservación de la energía, ∆E = ∆K + ∆U = 0, o ∆K = −∆U ⇒

½ mev2 − 0 = −qe (Vb− Va)

donde Ka = 0 porque el electrón empieza desde el reposo. Por lo tanto, la velocidad del electrón después de que haya viajado 1.00 cm es

⇒

v = 4.55 ×106 m/s

*

El electrón no toma necesariamente el camino del punto a al punto b, como se muestra en la figura de la derecha, y se ve de la ecuación (1). Para demostrar esto, considere otra trayectoria posible de a a b, digamos el camino a → c → b. No hay una diferencia de potencial a lo largo del camino a → c, entonces

( se llama una línea equipotencial). La trayectoria c → b se puede dividir pequeños desplazamientos antiparalelos y perpendiculares al campo, según se muestra en la figura. Para todos los segmentos de la trayectoria para la cual el desplazamiento del electrón es perpendicular al campo . Concluimos que la diferencia de potencial depende solamente del desplazamiento antiparalelo del electrón al campo.

7.6. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos ubicados a las distancias r1 y r2 de un hilo muy largo, cargado con densidad lineal de carga λ. ¿Cuál es el trabajo realizado por este campo eléctrico sobre una carga positiva q, que se desplaza desde un punto ubicado a la distancia r del hilo, hasta otro ubicado a la distancia 2 r?

7.7. Una partícula que tiene una carga +2.00 µC y una masa de 0.0100 kg está

φ

b

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

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conectada a una cuerda cuya longitud es L = 1.50 m y que a su vez está amarrada al punto pivote P como se ve en la figura. La partícula, la cuerda y el punto de pivote todos se encuentran sobre una mesa horizontal. La partícula se suelta desde el reposo cuando la cuerda forma un ángulo φ = 60.0º con un campo eléctrico uniforme de magnitud E = 300 V/m. Determine la rapidez de la partícula cuando la cuerda es paralela al campo eléctrico (punto b en la figura). Encontrar: vb = v = la velocidad de la partícula cuando la cuerda es paralela al campo eléctrico Solución: La diferencia de potencial entre dos puntos a y b cualesquiera en un campo eléctrico está dado por

donde el ángulo θ está dado entre el campo eléctrico y el desplazamiento (vea la figura). En nuestro caso, la partícula se mueve a través de la trayectoria curva s = Lφ, desde φa = 0° a φb = 60°. El ángulo θ está relacionado al ángulo φ por θ = φ + 30°, para θa = 30°, θb = 90°, y ds = L dφ = L dθ. Por lo tanto, la diferencia de potencial a través de la cual la partícula pasa, después de moverse a través de esta trayectoria, es

Asumimos que no hay fricción entre la partícula y la tabla horizontal. Además, la fuerza que la cuerda ejerce en la partícula no hace ningún trabajo sobre ella puesto que es siempre perpendicular al desplazamiento de la partícula. Entonces, la única fuerza que hace el trabajo sobre la partícula es ésa debido al campo eléctrico, que es una fuerza conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica total de la partícula se conserva. Es decir, ∆E = ∆K + ∆U = 0, o ∆K = −∆U ⇒ ½ mv2 = −q (Vb− Va) lo cual es equivalente a decir que una disminución de la energía potencial eléctrica de la partícula da lugar a un aumento en su energía cinética. Por lo tanto, la velocidad de la partícula después de que haya viajado de a a b es

226

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

⇒

v = 0.300 m/s

7.8. Una esfera metálica de radio a = 0.1 m, está cargada con una carga Q1 = −10 µC. El cascarón esférico de radios interior b = 0.2 m y exterior c = 0.25 m, posee un a exceso de carga Q2 = 20 µC. b (a) Obtenga la densidad superficial de carga de la esfera interior. c (b) Halle la densidad superficial de carga en las superficies interior y exterior del cascarón esférico. (c) Obtenga la expresión del campo eléctrico en función de la distancia al centro de las esferas. (d) Obtenga la expresión del potencial eléctrico en función de la distancia al centro de las esferas.

7.9. El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno establece que el electrón puede existir sólo en ciertas órbitas permitidas alrededor del protón. El radio de cada órbita de Bohr es rn = n2 (0.0529 nm) donde n = 1,2,3,... Calcule la energía potencial eléctrica de un átomo de hidrógeno cuando el electrón está en (a) la primera órbita permitida, n = 1; (b) la segunda órbita permitida, n = 2; y (c) cuando el electrón ha escapado del átomo (r = ∞). Exprese su respuesta en electrón-voltios (eV.) Datos: El modelo de Bohr del átomo del hidrógeno indica que el electrón sólo puede existir en ciertas órbitas permitidas alrededor del protón. Radio de cada órbita de Bohr = rn = n2(0.0529 nm) donde n = 1, 2, 3... (qe = carga del electrón = −1.60 × 10−19 C, qp = carga del protón = 1.60 × 10−19 C, 1 eV = 1.60 × 10−19 J) Solución:

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

227

La energía potencial asociada con un par de cargas puntuales separadas por una distancia rn está dada por

(a) Para la primera órbita permitida de Bohr (n = 1), donde r1 = 12(0.0529 nm),

⇒

U1 = −27.2 eV

(b) Para la segunda órbita permitida (n = 2), donde r2 = 2 2 (0.0529 nm) = 4 r1, ⇒

U2 = −6.80 eV

(c) Cuando el electrón se ha escapado del átomo (rn = ∞), ⇒

U∞ = 0

7.10. El campo eléctrico entre dos placas separadas 1.8 cm tiene un valor uniforme de 2.4 × 104 N/C. Encuentre la diferencia de potencial entre las dos placas. ¿Cuánta energía cinética puede ganar un deuterón al ser acelerado desde la placa positiva hasta la negativa?

7.11. Las tres cargas de la figura están en los vértices de un triángulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto medio de la base, considerando q = 7.00 µC. Solución: El potencial eléctrico total en el punto P (el punto medio de la base del triángulo) debido a las tres cargas puntuales es la suma de los potenciales debido a las cargas individuales. Es decir,

228

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

VP = −1.10 × 107 V 7.12. Una partícula de carga q = 10−9 C está ubicada en un campo eléctrico uniforme dirigido de derecha a izquierda. Al mover dicha carga hacia la derecha una distancia de 5 cm, el trabajo que la fuerza externa realiza es de 6 × 10−5 J, y la variación de energía cinética de la carga es 4.5 × 10−5 J. (a) ¿Cuál es el trabajo de la fuerza eléctrica? (b) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico?

7.13. Demuestre que la cantidad de trabajo necesario para agrupar cuatro cargas puntuales idénticas de magnitud Q en las esquinas de un cuadrado de lado s es 5.41 ke Q2/s. Solución:

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

q2 en ∞

229

q3 en ∞ q4 en ∞

Deseamos encontrar el trabajo total W requerido para montar las cuatro cargas, trayendo cada carga desde el infinito a su posición en las esquinas del cuadrado. Debemos imaginar, como se muestra en la figura, que q1 está ya en una esquina del cuadrado y que q2, q3 y q4 todavía están en el infinito y en reposo. El trabajo total es el trabajo requerido para traer q2 del infinito a su posición cerca de q1, más el trabajo requerido para traer q3 del infinito a su posición cerca de q1 y de q2, más el trabajo requerido para traer q4 del infinito a su posición cerca de q1, de q2 y de q3. El trabajo requerido para traer q2 del infinito al punto A, a una distancia s de q1, es qq Q2  q  W ' = q2 Ven A debido a q1 = q2 V1 = q2  k e 1  = k e 1 2 = k e s  s s 

El trabajo requerido para traer q3 del infinito al punto B, a una distancia una distancia s de q2 (que está ya en el punto A), es

de q1, y a

W ' ' = q3 Ven B debido a q1 + q3 Ven B debido a q2 = q3 V1 + q3 V2

Igualmente, el para traer q4 del a una distancia s distancia

trabajo requerido infinito al punto C, de q1, a una

de q2, y a una distancia s de q3, es

Por lo tanto el trabajo total requerido para montar arreglo de cargas es

230

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

⇒

7.14. Dos esferas huecas metálicas, concéntricas, sin cargas, de radios R1 y R2 (R1 < R2) están unidas por un alambre muy fino que pasa por un pequeño orificio de otra esfera hueca de radio R3. Esta última es concéntrica con las otras dos, y posee un exceso de carga +Q. Despreciando la influencia del alambre de unión, halle la carga inducida en la esfera interna.

7.15. Sobre una cierta región del espacio el potencial eléctrico es V = 5x − 3x2y + 2 yz2. Encontrar las expresiones para las componentes x, y y z del campo eléctrico sobre esa región. ¿Cuál es la magnitud del campo en el punto P, de coordenadas (1, 0, −2) m? Solución: (a) Cuando el potencial eléctrico en una región del espacio se conoce, podemos determinar el campo eléctrico

en esa región usando la ecuación

(Note que en esta expresión debemos considerar y y z constantes cuando se toma la derivada parcial de V con respecto a x. Igualmente, considere x y z constantes cuando toma la derivada parcial de V con respecto a y; y considere x y y constantes cuando toma la derivada parcial de V con respecto a z.) Por lo tanto, las componentes x, y, y z del campo eléctrico son

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

231

Con la asunción que la expresión dada para V es tal que V está en voltios y las coordenadas están en metros, el campo eléctrico es

(b) El campo eléctrico en P (1, 0, −2) m es

Por lo tanto, la magnitud del campo eléctrico en P es ⇒

E = 7.07 N/C

7.16. Dos conductores muy largos formando una corteza cilíndrica coaxial poseen carga igual y opuesta. La corteza interior tiene un radio a y una carga +q; la exterior tiene un radio b y una carga –q. La longitud de cada corteza es L. Hallar la diferencia de potencial entre las dos capas de la corteza.

Resp. ∆V = (q/2πε0L) ln(b/a).

232

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

7.17. Considere un anillo de radio R con carga total Q distribuida uniformemente sobre su perímetro. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el punto en el centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia 2 R del centro? Solución: La figura muestra el anillo con su plano perpendicular al eje x que pasa a través de su centro. El punto a está en el centro del anillo, y el punto b está en el eje x en una distancia 2R del centro. El potencial en el punto b debido a un elemento de carga dq es

(1) donde r es la distancia del elemento al punto b. Para obtener el potencial total en el punto b, integramos la ecuación (1) para incluir contribuciones de todos los elementos de la distribución de la carga. Ya que todos los elementos están a la misma distancia del punto b, y ya que ke es una constante, podemos expresar Vb como

(2)

donde Por lo tanto,

.

.

Igualmente, el potencial en el punto a es Por lo tanto, la diferencia potencial entre los puntos a y b es

⇒

7.18. Se establece una diferencia de potencial de 2 000 V entre dos láminas conductoras paralelas. Sabiendo que el aire se vuelve conductor cuando la intensidad del campo eléctrico excede los 3 × 106 N/C, ¿cuál puede ser la mínima distancia entre las placas sin que se produzca descarga?

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

233

7.19. Una barra de longitud L se encuentra a lo largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y tiene una densidad de carga no uniforme λ = α x (donde α es una constante positiva). (a) ¿Cuáles son las unidades de α? (b) Calcule el potencial eléctrico en A. Solución: (a) De la ecuación (1), α = λ/x. Es decir, las unidades de α son las de λ/x, donde λ es la carga por unidad de longitud de la barra. Por lo tanto, las unidades de α son

(b) Dividimos la barra en segmentos de longitud dx, cada segmento tiene una carga dq = λ dx, donde λ es la carga por unidad de longitud de la barra. Puesto que este segmento está a la distancia r = x + d del punto A, podemos expresar el potencial en A debido a este elemento como

Para conseguir el potencial total en A, integramos esta expresión sobre los límites x = 0 a x = L. Observando que ke y α son constantes, encontramos

⇒

7.20. Cuando el uranio 235U captura un neutrón, se descompone en dos núcleos (y emite varios neutrones que pueden producir la división de otros núcleos de uranio). Suponer que los productos de fisión son núcleos con cargas igual a +46 e y que estos núcleos están en reposo justo después de la fisión y están separados en el doble de su radio 2 R = 1.3 × 10−14 m. (a) Calcular la energía potencial electrostática de los

234

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

fragmentos de la fisión. Este valor es aproximadamente el de la energía liberada por fisión. (b) ¿Cuántas fisiones por segundo se necesitan para producir 1.0 MW de potencia en un reactor?

Resp. (a) 234 MeV, (b) 2.67 × 1016 fisiones por segundo.

7.21. Dos conductores esféricos cargados se conectan mediante un largo alambre conductor, y una carga de 20.0 µC se pone en la combinación. (a) Si una esfera tiene un radio de 4.00 cm y el radio de la otra es de 6.00 cm, ¿cuál es la magnitud del campo eléctrico cerca de la superficie de cada esfera? (b) ¿Cuál es el potencial eléctrico de cada esfera? Solución: Primero determinaremos la carga q1 en la esfera más pequeña, y la carga q2 en la esfera más grande. Sabemos que si un conductor aislado lleva una carga, la carga reside en su superficie. Puesto que para los puntos fuera de una esfera uniformemente cargada la distribución de la carga se comporta como si toda la carga estuviera concentrada en el centro de la esfera, el potencial eléctrico de la esfera más pequeña es V1 = keq1/r1 y el de la esfera más grande es V2 = keq2/r2. Ya que las esferas son conectadas por un alambre conductor, la combinación forma un solo conductor. Cada punto en la superficie de este solo conductor en equilibrio electrostático debe estar en el mismo potencial eléctrico (de otra manera, los electrones en el conductor se moverían desde puntos de un potencial más bajo a los puntos de un potencial más alto). Por lo tanto, V1 = V2, o

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

235

y,

⇒

q2 = 1.50 q1

Sustituir este valor q2 en la ecuación (1) da q1 + q2 = q1 + 1.50 q1 = 2.50 q1 = 20.0 µC q2 = 20.0 µC − 8.00 µC

⇒

⇒

q1 = 8.00 µC

q2 = 12.0 µC

(a) Ya que para los puntos fuera de una esfera uniformemente cargada la distribución de la carga se comporta como si toda la carga estuviera concentrada en el centro de la esfera, y como las esferas están muy separadas entre sí, la magnitud de los campos eléctricos en sus superficies son

⇒ ⇒ (b)

E1 = 4.50 × 107 N/C E2 = 3.00 × 107 N/C

Según lo explicado arriba,

⇒

V1 = V2 = 1.80 × 106 V

7.22. Un cañón de electrones dispara estas partículas contra la pantalla de un tubo de televisión. Los electrones parten del reposo y se aceleran dentro de una diferencia de potencial de 30.0 kV. ¿Cuál es la energía de los electrones al chocar contra la pantalla, expresada en (a) eV, (b) J. (c) ¿Cuál es la rapidez de los electrones al chocar con la pantalla del tubo de televisión?

236

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

Resp. (a) 30.0 keV, (b) 4.8 × 10−15 J, (c) 1.03 × 108 m/s.

7.23. Calcule el trabajo que debe efectuarse para cargar un cascarón esférico de radio R hasta una carga total Q. Solución: La figura muestra el cascarón esférico en un momento en que una cantidad infinitesimal de carga dq se está trayendo a su superficie. En el instante mostrado en la figura, el cascarón tiene una carga q ya presente en su superficie. El cascarón, por lo tanto, está al potencial

.

El elemento de carga dq se trae desde el infinito. El trabajo requerido dW para traer un elemento adicional de carga dq al cascarón con potencial V es

El trabajo requerido para acumular una carga total Q es

⇒ 7.24. Tres cargas puntuales están en el eje x, q1 en el origen, q2 en x = 3.0 m y q3 en x = −3.0 m. Calcular el potencial eléctrico en el punto x = 0, y = 3.0 m si (a) q1 = q2 = q3 = 2.0 μC, (b) q1 = q2 = 2.0 μC y q3 = −2.0 μC, (c) q1 = q3 = 2.0 μC y q2 = −2.0 μC.

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

237

Resp. (a) 1.45 × 104 V, (b) 6.00 × 103 V, (c) 6.00 × 103 V.

7.25. Un contador Geiger-Müller es un detector de radiación que se compone de un cilindro hueco (el cátodo) de radio interior ra y un alambre cilíndrico coaxial (el ánodo) de radio rb. La carga por unidad de longitud del ánodo es λ, en tanto que la carga por unidad de longitud del cátodo es − λ. (a) Demuestre que la magnitud de la diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro sensible del detector es

(b) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico sobre esa región está dada por

donde r es la distancia desde el centro del ánodo al punto donde se va a calcular el campo. Superficie Gaussiana Anodo

Cátodo

Solución: (a) Primero utilizaremos la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico en la región sensible del detector. Para esto construimos una superficie gaussiana cilíndrica de longitud h y del radio r, con rb < r < ra, coaxial con el alambre, y cerrado en cada extremo por las tapas planas normales al eje, según lo mostrado en la figura. Por la ley de Gauss

tapa izquierda

superficie curva

tapa derecha

Por simetría, el campo eléctrico entre los cilindros es perpendicular a la superficie gaussiana curva y su magnitud es constante por todas partes en esa superficie. Para las tapas del extremo de la superficie gaussiana

. Por lo tanto,

238

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

superficie curva

en donde qin =λ h la carga encerrada por la superficie gaussiana (que reside en la superficie externa del alambre), y 2πrh es el área de la parte curva de la superficie gaussiana. Por lo tanto,

⇒

⇒

(1)

Ya que está en la dirección radial, la diferencia potencial entre el alambre central y el cilindro coaxial puede ser encontrado por

⇒

(2)

(b) De la ecuación precedente,

Sustituyendo esta expresión para λ en la ecuación (1) encontramos

⇒ 7.26. Calcule la energía que se requiere para hacer el arreglo de cargas que se muestra en el diagrama, considerando que a = 0.2 m, b = 0.4 m, y q = 6 µC. Tenga en cuenta que esa energía se almacenará en forma de energía potencial del conjunto de cargas.

+q

b

-2q a

2q

3q

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico 7.27. Un dipolo se localiza a lo largo del eje y como se muestra en la figura. (a) En el punto P, el cual está alejado del dipolo (r >> a), el potencial eléctrico es

donde p = 2qa. Calcule las componentes radial Er y perpendicular Eθ del campo eléctrico asociado. Advierta que Eθ = −(1/r)( ∂V/ ∂θ). ¿Estos resultados parecen razonables para θ = 90º y 0°?, ¿para r = 0? Solución:

Figura 1. (a) Componentes de (b) Componentes de

en coordenadas polares. en coordenadas rectangulares.

(a) Las componentes radial Er y tangencial Eθ de en P son, respectivamente,

⇒

⇒

Para θ =90°:

y

239

240

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

Para θ = 0°:

y

Figura 2. (a) Cuando θ = 90°, Eθ = E y Er = 0. (b) Cuando θ = 0°, Er = E y Eθ = 0.

Como se muestra en la figura 2, los resultados para θ = 90° y para θ = 0° son según lo esperado. Sin embargo, para r = 0, Er = ∞ y Eθ = ∞; estos resultados no son razonables. (b) Para expresar V en coordenadas rectangulares (más bien que en coordenadas polares) debemos primero sustituir r y cos θ (vea la figura 1) en la ecuación (1) por

y Con estas substituciones la ecuación (1) se convierte en

⇒ de modo que las componentes x e y de

en P son

⇒

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

241

⇒

7.28. Consideremos una bola de densidad volumétrica de carga uniforme de radio R y carga total Q. El centro de la bola está en el origen. Utilizar el componente radial Er para calcular el potencial suponiendo que V = 0 en infinito, en (a) cualquier punto exterior a la carga, r > R, y en (b) cualquier punto del interior a la carga, r < R. (c) ¿Cuál es el potencial en el origen? (d) Dibujar a V en función de r.

Resp. (a) V = Q/4πε0r, (b) V = (Q/8πε0R)(3 – r2/R2), (c) V = 3Q/8πε0R.

7.29. Una esfera sólida de radio R tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q. Derive una expresión para su energía potencial eléctrica total (Sugerencia:

242

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

imagine que la esfera se construye añadiendo capas sucesivas de cascarones concéntricos de carga dq = (4 π r2 dr)ρ y use dU = V dq.) Solución: La energía potencial eléctrica de la esfera cargada es el trabajo hecho al ir añadiendo capas sucesivas de cascarones concéntricos de carga dq traídas del infinito. Imagínese que montamos la esfera acumulando una sucesión de capas de cascarones esféricos finos de un grueso infinitesimal dr a una distancia radial r. En cada etapa del proceso, recolectamos una cantidad pequeña de carga dq y la ponemos en una capa delgada de r a r + dr. Continuamos el proceso hasta que llegamos el radio final R. Si q es la carga de la esfera cuando se ha aumentado hasta el radio r, el trabajo hecho en traer dq de carga es

(1) La carga de la esfera del radio r es (2) y el diferencial de carga dq es dq = ρ dV = ρ (4πr2dr)

(3)

donde dV = A dr = 4πr2 dr es el volumen del cascarón de área superficial A = 4πr2 y grueso dr. Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) obtenemos

La energía total requerida para montar la esfera es el integral de dU de r = 0 a r = R, o

o, si deseamos expresar el resultado en términos de la carga total Q de la esfera, donde

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

243

⇒

⇒ PROBLEMAS ADICIONALES 7.30. Calcule el potencial que genera un disco de radio R y densidad superficial de carga σ constante, en un punto ubicado sobre su eje, hallando primero el potencial que produce un anillo de radio r en el punto, y luego integrando este resultado para obtener el potencial que produce el disco.

7.31. La diferencia de potencial eléctrico entre puntos de descarga durante una tormenta eléctrica en particular es de 1.23 × 109 V. ¿Cuál es la magnitud del cambio en la energía potencial eléctrica de un electrón que se mueva entre estos puntos? Dé su respuesta en (a) Joules, y (b) electrón-voltios (1 eV = 1.60 × 10−19 J).

7.32. Tres cargas de +122 mC cada una, están colocadas en las esquinas de un triángulo equilátero de 1.72 m de lado. Si se abastece energía a razón de 831 W, ¿cuántos días se necesitarán para mover a una de las cargas al punto medio de la línea que une a las otras dos?

Resp. 2.17 días.

7.33. Dos placas conductoras paralelas y grandes están separadas por 12.0 cm y portan cargas iguales pero opuestas sobre las superficies que están “encaradas”. Un

244

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

electrón situado a medio camino entre las dos placas experimenta una fuerza de 3.90 × 10–15 N. (a) Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón. (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas?

7.34. Al moverse desde A hasta B a lo largo de una línea de un campo eléctrico, este realiza un trabajo de 3.94 × 10−19 J sobre un electrón en el campo ilustrado en la figura. ¿Cuáles son las diferencias en el potencial eléctrico (a) VB – VA (b) VC – VA y (c) VC − VB?

Líneas del campo eléctrico

A

B

Equipotenciales

C

7.35. Dos placas metálicas paralelas y grandes están separadas por 1.48 cm. y contienen cargas iguales pero opuestas sobre sus superficies enfrentadas. La placa negativa hace tierra y se considera que su potencial es cero. Si el potencial en medio de las placas es de + 5.52 V, ¿cuál es el campo eléctrico en esta región?

7.36. En un tubo de rayos catódicos el potencial acelerador de los electrones es 60 kV. Determine la energía cinética máxima de los electrones. Busque información y describa el efecto que se produce cuando estos electrones acelerados impactan sobre una pantalla de wolframio.

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

245

7.37. Un campo eléctrico uniforme de valor 2.0 kN/C está en la dirección x. Se deja en libertad una carga puntual Q = 3.0 μC inicialmente en reposo en el origen. (a) ¿Cuál es la energía cinética de la carga cuando esté en x = 4.0 m? (b) ¿Cuál es la variación en la energía potencial de la carga desde x = 0 hasta x = 4.0 m? (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial V(4.0 m) – V(0)? Calcular el potencial V(x) si se toma a V(x) como (d) cero para x = 0, (e) 4.0 kV para x = 0, y (f) cero para x = 1.

Resp. (a) 2.4 × 10−2 J, (b) –8.0 kV.

7.38. Dos placas conductoras paralelas poseen densidades de carga iguales y opuestas de modo que el campo eléctrico entre ellas es uniforme. La diferencia de potencial entre las placas es de 500 V y están separadas 10.0 cm. Se deja en libertad un electrón desde el reposo en la placa negativa. (a) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico entre las placas? ¿Cuál placa está a un potencial más elevado? (b) Hallar el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando el electrón se mueve desde la placa negativa hasta la placa positiva. Expresar el resultado en eV y en J. (c) ¿Cuál es la variación en la energía potencial del electrón cuando se mueve desde la placa negativa hasta la positiva? ¿Cuál es la energía cinética cuando llega a la placa positiva?

246

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

7.39. Una carga positiva de valor 2.0 μC está en el origen. (a) ¿Cuál es potencial eléctrico en un punto a 4.0 m del origen respecto el valor V = 0 en el infinito? (b) ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente externo para llevar la carga de 3.0 μC desde el infinito hasta r = 4.0 m, considerando que se mantiene fija a la carga de 2.0 μC en el origen? (c) ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente externo para llevar la carga de 2.0 μC desde el infinito hasta el origen, considerando que la carga de 3.0 μC se coloca primeramente en r = 4.0 m y se mantiene fija?

7.40. Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450 V en su superficie. A una distancia radial de 20.0 cm de esta superficie, el potencial es 150 V. ¿Cuál es el radio de la esfera y cuál es la carga de ésta?

7.41. Considérense dos esferas conductoras separadas por una gran distancia, 1 y 2, teniendo, la segunda, el doble del diámetro que el de la primera. La esfera más pequeña tiene inicialmente una carga positiva q y la más grande está inicialmente sin carga. Se conectan ahora las esferas con un alambre delgado y largo. (a)¿Cómo se relacionan los potenciales finales V1 y V2 de las esferas? (b) Halle las cargas finales q1 y q2 sobre las esferas en términos de q.

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

247

7.42. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno el electrón se mueve en una órbita circular de radio a0 alrededor del protón. (a) Hallar una expresión de la energía cinética del electrón en función de r. Demostrar que a una distancia cualquiera r la energía cinética es la mitad del valor de la energía potencial. (b) Calcular las energías cinética, potencial, y mecánica en eV para a 0 = 0.529 × 10−10 m, conocido como el radio de Bohr. La energía que debe suministrarse al átomo para extraer al electrón se llama energía de ionización.

7.43. Una barra aislada tiene una densidad lineal de carga de λ = 40 µC/m y una densidad lineal de masa de µ = 0.1 kg/m se suelta desde el reposo en un campo eléctrico uniforme E = 100 V/m directamente perpendicular a la barra. Determinar la rapidez de la barra después de que viaja una distancia de 2 m.

248

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

7.44. Los puntos A, B, y C están en los vértices de un triángulo equilátero de 3.0 m de lado. Cargas iguales positivas de 2.0 μC están en A y B. (a) ¿Cuál es el potencial en el punto C? (b) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5.0 μC desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas? (c) Responder las partes (a) y (b) se la carga situada en B se sustituye por una carga de –2.0 μC.

7.45. Un dipolo está formado por las cargas –q en z = −a, y +q en z = +a. (a) Demostrar que el potencial en un punto fuera del eje a una distancia grande r desde el origen viene dado aproximadamente por.

Capítulo 7. Diferencia de potencial y potencial eléctrico

Resp. V =

249

p cosθ pz = . 2 2πε 0 r 2πε 0 r 3

7.46. Una carga puntual de 3.0 μC se encuentra en el origen. (a) Determinar el potencial V sobre el eje x en x = 3.00 m y en x = 3.01 m. (b) ¿Crece o decrece el potencial cuando x crece? Calcular –ΔV/Δx, desde x = 3.00 m hasta x = 3.01 m. (c) Determinar el campo eléctrico en x = 3.00 m, y comparar su valor con el de –ΔV/Δx hallado en la parte (b). (d) Determinar el potencial en el punto x = 3.00 m, y = 0.01 m y comparar el resultado con el potencial sobre el eje x en x = 3.00 m. Discutir el significado de este resultado.

Resp. (a) V (x = 3.00 m) = 9.00 × 103 V, V (x = 3.01 m) = 8.97 × 103 V, (b) El potencial disminuye cuando x aumenta, –ΔV/Δx = 3.00 × 103 V/m, (c) E = 3.00 × 103 V/m, (d) V (x = 3.00 m, y = 0.01 m) = 9.00 × 103 V, V tiene prácticamente el mismo valor en los dos puntos porque se encuentran aproximadamente sobre una superficie equipotencial.

250

Diferencia de potencial y potencial eléctrico

APLICACIONES Código de barras. El código de barras es un método de identificación automática de un grupo de datos. La primera patente para un código de barras (US Patent # 2,612,994) fue emitida a los inventores Joseph Woodland y Bernard Silver el 7 de octubre de 1952. Sin embargo para su implementación se necesitó la aparición de mejores escáneres y computadores, utilizándose por primera vez de manera funcional en junio de 1974.