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1994-Jun-No:13

[Tema 2]

[Índice]

El sistema que se muestra en la figura corresponde a dos discos paralelos horizontales con un orificio central. Sean REXT y RINT los radios exterior (de los discos) e interior (de los agujeros centrales), respectivamente, donde REXT >> RINT. Un líquido entra por los agujeros centrales, fluye en dirección radial por el espacio comprendido entre ambos discos y sale finalmente a la atmósfera. Simplifíquense las ecuaciones de continuidad y movimiento que se dan a continuación indicando en el espacio en blanco los fundamentos para tales suposiciones. Escriba también las condiciones límite que emplearía para integrar dichas ecuaciones. Respuesta (+8)

1 w wU 1 w w  ( Urv r )  ( Uv T )  ( Uv z ) r wT w t r wr wz 1 Ecuación de Movimiento: 1

Ecuación de Continuidad: § wv r

U ¨¨

© wt 1

 vr

wv r vT wv r vT2 wv ·    vz r ¸ wr wz ¸¹ r wT r 2



wv v wv T v r v T wv · § wv T  vr T  T   vz T ¸ T t r r r w w w wz ¹ © 2 1

U¨

wv z v T wv z wv z · § wv z  vr   vz wr wz ¸¹ r wT © wt 2 1

U¨



0

ª w §1 w w 2v wp 1 w 2v 2 wv P« ¨  rv r ·¸  2 2r  2 T  2r wr wz r wT ¹ r wT «¬ wr © r wr 3 4 

º »  U gr »¼ 5

ª w §1 w w 2v 1 wp 1 w 2v 2 wv P« ¨  rvT ·¸  2 2T  2 r  2T r wT r wT wz ¹ r wT ¬« wr © r wr 4 2 4 2

ª1 w wp P« wz «¬ r wr 2

§ wv z ¨ r wr ©

2 2 · 1 w vz w vz º   »  U gz ¸ wz 2 »¼ ¹ r 2 wT 2

º »  U gT ¼» 5

[1] Régimen estacionario. [2] Análisis del perfil de velocidad: vz = vș = 0, vr(r,z)  0 [3] Según la ecuación de continuidad: rvr  f(r) [4] Simetría cilíndrica: ˜/˜ș = 0 [5] Plano rș en horizontal. Condiciones límite: 1) Hay que conocer la presión en un punto del fluido. 2) Según la ecuación de continuidad rvr = f(z). Hacen falta dos condiciones en z: z G Ÿ vr 0 z

Fenómenos de Transporte

G Ÿ

vr

0

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

1994-Sep-No:9

[Tema 2]

Considérese un líquido que fluye radialmente entre dos envolturas cilíndricas de un material poroso. Admitiendo régimen laminar e isotérmico, simplifíquense las ecuaciones de continuidad y movimiento que se presentan a continuación y que representarían dicho proceso. En el cuadro en blanco se presentará una relación numerada de las condiciones utilizadas en la simplificación, anotando debajo de cada término que se desprecie el número de condición utilizado para su eliminación. (NOTA: admítase que la diferencia de presiones entre los cilindros interior y exterior no cambia con la altura z). Respuesta (+5)

[Índice]

R2 R1

Ec. Continuidad:

1 w wU 1 w w  ( Urv r )  ( Uv T )  ( Uv z ) wt r wr wz r wT 1 2 2

Ec. Movimiento: § wv v wv r vT2 wv wv   vz r U ¨¨ r  v r r  T wr wz r wT r © wt 2 2 2 1

· ¸¸ ¹

0



wv v wv T v r v T wv · § wv T  vr T  T   vz T ¸ wr wz ¹ r wT r © wt 1 2

U¨

wv z v T wv z wv · § wv z  vr   vz z ¸ w w w wz ¹ T t r r ©

U¨

1





2 2 w v T w 2v r §1 w · 1 w vr    rv  ¨ r ¸ wz 2 © r wr ¹ r 2 wT 2 r 2 w T 4 2 2 3

º »  U gr »¼ 5

ª w §1 w w 2v 1 wp 1 w 2v 2 wv P« ¨  rvT ¸·  2 2T  2 r  2T r wT r wT wz ¹ r wT «¬ wr © r wr 2 2 4 2 4

ª1 w wp P« wz ¬« r wr

2

[1] Régimen estacionario. [2] Análisis del perfil de velocidad: v z

ªw wp P« wr «¬ wr

2 2 § wv z · 1 w v z w v z º  »  U gz ¨ r wr ¸  2 wz 2 ¼» © ¹ r wT 2

º »  U gT »¼ 5

2 vT

0, v r (r ) z 0 (admitiendo que la diferencia de presiones no

cambie en z: ˜/˜z = 0 y vr no será función de z). [3] Según la ecuación de continuidad: ˜(rvr)/˜r = 0 [4] Simetría cilíndrica: ˜/˜ș = 0 [5] Cilindro vertical. ¿Qué condiciones límite utilizaría para integrar las ecuaciones resultantes? Respuesta (+3) 1) Se debe conocer la presión en un punto del fluido. 2) Según la ecuación de continuidad el perfil de velocidad es de la forma: vz = constante/r. Bastará con conocer la velocidad en un punto del fluido, o el caudal.

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

1995-Jun-No:10

[Tema 2]

[Índice]

Considérese el líquido comprendido entre dos esferas concéntricas. Simplificar las ecuaciones de continuidad y movimiento que se muestran a continuación, en coordenadas esféricas, para flujo en régimen estacionario, cuando la esfera interior (R1) permanece en reposo y la exterior (R2) gira entorno a un eje vertical con velocidad constante W (en la dirección de la coordenada I ). Escribir en el recuadro en blanco una relación numerada de las razones para dichas simplificaciones, anotando bajo cada término simplificado una de las razones por las cuales se desecha. Finalmente recuadre los términos restantes. (Respuesta: +10)

1 w 1 1 w w wU ( Ur 2v r )  ( Uv T senT )  ( Uv I )  2 r senT wT r senT wI wt r wr 1 2 2

W

0

§ wv vI wv r vT2  vI2 · wv r v T wv r r ¨ ¸  vr    componente r : U ¨ wt ¸ w w w T T I sen r r r r © ¹ 1 2 2 2 2

T

wp  wr

wW r I W TT  W II · § 1 w 2 w 1 1 ¨ 2  (r W rr )  W r T senT   ¸  U gr r sen T wT r senT wI r © r wr ¹ 3

§ wv vI wvT v r vT vI2 cot T wv v wv T componente T : U ¨ T  v r T  T    ¨ wt r r r r r sen T T I w w w © 1 2

· ¸ ¸ ¹



FLUIDO

I

R1 R2

1 wp r wT

wW TI W r T cot T § 1 w 2 · 1 1 w (r W r T )  ¨ 2 W TT senT    W II ¸  U gT  r senT wT r senT wI r r © r wr ¹ 3

w v I v T wv I v I wv I v I v r v T v I § wv I · componente I : U ¨  vr     cot T ¸ wr r wT r sen T wI r r © wt ¹ 1 2



wW II W r I 2 cot T § 1 w 2 · 1 wW TI 1 W TI ¸  U gI (r W r I )  ¨ 2    r wT r senT wI r r © r wr ¹ 3 5

[1] Régimen estacionario. [2] Análisis del perfil de velocidad: v r

vI no es función de I ).

1 wp r senT wI 4

0, vI (r ,T ) z 0 (La ecuación de continuidad demuestra que

vT

[3] Análisis de esfuerzos cortantes: W r I (r ,T ), W TI (r ,T ) , y los demás son nulos.

[4] Simetría: w / wI 0 [5] I es el ángulo en un plano horizontal: gI

0.

¿Qué condiciones límite emplearía para la integración de las ecuaciones resultantes? (Respuesta: +4) r

R1 o vI

r

R2

o vI

0

WR2 senT

T

T

0 o vI

S o vI

0

0

Se debe conocer el valor de la presión en un punto del líquido.

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

1995-Sep-No:6

[Tema 2]

Por el interior de una conducción vertical de sección rectangular (A x B) circula en sentido ascendente, y en régimen laminar, un determinado caudal de agua. Simplificar las ecuaciones de continuidad y movimiento que se muestran a continuación, en coordenadas rectangulares, para flujo en régimen estacionario. Escribir en el recuadro en blanco una relación numerada de las razones para dichas simplificaciones, anotando bajo cada término simplificado una de las razones por las cuales se desecha. Finalmente, recuadrar los términos restantes. (Respuesta: +10)

[Índice]

FLUJO z

x

wU w w w  ( Uv x )  ( Uv y )  ( Uv z ) wt w x wy wz 1 2 2

B

y A

0

§ wv wv x wv x wv x · componente x : U ¨ x  v x  vy  vz ¸ wz ¹ x y © wt 2 2 1 2 wv y wv y wv y · § wv y componente y : U ¨  vx  vy  vz ¸ x y wz ¹ © wt 2 2 2 1 § wv wv z wv z wv ·  vy  vz z ¸ componente z : U ¨ z  v x w t x y wz ¹ © 2 2 3 1

 

wp § wW xx wW yx wW zx · ¨   ¸  U gx wx © w x wy wz ¹ 4 4 4 5

wp § wW xy wW yy wW zy ¨   wy © wx wy wz

4 4 4 wp § wW xz wW yz wW zz  ¨   wz © wx wy wz

· ¸  U gy ¹ 5

· ¸  U gz ¹

4

[1] Régimen estacionario. [2] Análisis del perfil de velocidad: v x

vy

0, v z ( x , y )

[3] Según la ecuación de continuidad vz no es función de z.

[4] Análisis de esfuerzos cortantes según [2]: W zx ( x , y ), W zy ( x , y ) , y el resto son nulos. [5] Plano horizontal en xy. Indicar a continuación las condiciones límite necesarias para la integración de las ecuaciones obtenidas. (3 Puntos) 1) Conocer la presión en un punto. 2) x

3) y

rA / 2 o vz rB / 2 o v z

Fenómenos de Transporte

0 0

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

1996-Jun-No:6

[Tema 2]

[Índice]

Un disco plano, delgado, gira en un plano horizontal en el seno de un líquido contenido en un tanque de grandes dimensiones. Admitiendo régimen estacionario, y considerando una zona del líquido muy próxima al disco y situada en un punto intermedio entre el centro y el radio exterior, para evitar efectos de bordes, contestar a las siguientes preguntas. ZONA A CONSIDERAR

a) Simplificar las ecuaciones de continuidad y movimiento que se muestran a continuación, en coordenadas cilíndricas, para flujo en régimen estacionario. Escribir en el recuadro en blanco una relación numerada de las razones para dichas simplificaciones, anotando bajo cada término simplificado una de las razones por las cuales se desecha. Finalmente, encerrar en un círculo los términos restantes. (8 puntos)

wU 1 w 1 w w  ( Urv r )  ( Uv T )  ( Uv z ) wt r wr wz r wT 1 2 3

0

§ wv wv r vT wv r vT2 wv · componente r : U ¨¨ r  v r    v z r ¸¸ r r wT wr wz ¹ © wt 1 2 3 § wv wv v componente T : U ¨¨ T  v r T  T t r r w w © 1 2 wv z v T § wv  componente z : U ¨ z  v r w wr r t © 3 2 1

[1] Régimen estacionario. [2] Simetría cilíndrica: ˜/˜ș = 0 [3] Análisis del perfil de velocidad: v z

· ¸¸ ¹

· ¸  U gr ¹ 7

1 wp § 1 w 2 1 wW TT wW T z   (r W r T )  r wT ¨© r 2 wr r wT wz 2 2 wp § 1 w 1 wW T z wW zz ·     U gz (rW rz )  wz ¨© r wr wz ¸¹ r wT 5 2

wvT v r vT wv   vz T r wT wz 3

wv z wv ·  vz z ¸ wT wz ¹ 3

1 wW r T W TT wW rz wp § 1 w (rW rr )  ¨   r wT r wr © r wr wz 4 2 



· ¸  U gT ¹ 7

0, vT (r , z ) z 0, v r (r , z ) z 0

[4] Salvo que la velocidad de giro sea tan elevada como para crear un vórtice en la superficie del líquido, este término será despreciable. [5] Análisis de esfuerzos cortantes: (ver apéndice) [6] Fluido incompresible. [7] Plano horizontal: gT

W rr W TT W zz

gr

0

2 ª wv º  P «2 r  (’.v ) » 3 ¬ wr ¼ 6

ª § 1 wvT v r · 2 º  P «2 ¨  ¸  3 (’.v ) » w T r r ¹ ¬ © ¼ 6 2

2 ª wv º  P «2 z  (’.v ) » ¬ wz 3 ¼ 6 2

Fenómenos de Transporte

W rT

WT r

ª w § vT  P «r ¨ ¬ wr © r

· 1 wv r º ¸ » ¹ r wT ¼ 2

W zT

WT z

1 wv z º ª wv P « T  w wT »¼ z r ¬ 2

W zr

W rz

wv º ª wv P « z  r » wz ¼ ¬ wr 2

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

1996-Sep-No:2

[Tema 2]

Un líquido desciende, en estado estacionario, por el espacio comprendido entre dos planos paralelos inclinados un ángulo ґ respecto a la horizontal. Simplificar las ecuaciones de continuidad y movimiento que se muestran a continuación para flujo en régimen estacionario. Escribir en el recuadro una relación numerada de las razones para dichas simplificaciones, anotando bajo cada término simplificado una de las razones por las cuales se desecha. Finalmente, encerrar en un círculo los términos restantes. (10 Puntos).

[Índice]

x

z

D

A

Ec. Continuidad:

wU w w w  ( Uv x )  ( Uv y )  ( Uv z ) wt wx wy wz 1 2 Ec. Movimiento

0

§ wv wv x wv x wv x · wp § wW xx wW yx wW zx ·  vy  vz ¨   componente x : U ¨ x  v x ¸  U gx ¸  wx wy wz ¹ wx © wx wy wz ¹ © wt 2 5 1 3 wv y wv y wv y · § wv y wp § wW xy wW yy wW zy · componente y : U ¨  vx  vy  vz ¨   ¸  ¸  U gy wx wy wz ¹ wy © w x wy wz ¹ © wt 2 5 1 4 6 § wv z wv z wv z wv z · wp § wW xz wW yz wW zz · componente z : U ¨  vx  vy  vz ¨   ¸  U gz ¸  wx wy wz ¹ wz © wx wy wz ¹ © wt 2 5 1

[1] Régimen estacionario. [2] vy=vz=0 , vx0 [3] Por la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles (ȡ=cte):

w 0 wy [5] W xz (z ) z 0 , todos los demás esfuerzos cortantes son nulos.

wv x wx

0

[4] Nada varía en dirección “y” (puntos equivalentes):

[6] La coordenada y es en dirección horizontal.

Indique las condiciones límite que utilizaría para su integración (4 Puntos). 1) Se debe conocer la presión en un punto. 2) z = +A/2 ĺ vx = 0 3) z = -A/2 ĺ W zx 0

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

1997-Sep-No:6

[Tema 2]

[Índice]

Un tanque cilíndrico horizontal, parcialmente lleno de agua, gira a gran velocidad (w) de tal forma que el agua se distribuye sobre su superficie interior, formando un cilindro hueco concéntrico al tanque de espesor (R2-R1) prácticamente constante. Admitiendo régimen estacionario, simplifique las ecuaciones de continuidad y movimiento que se muestran a continuación tachando los términos a eliminar y cerrando en un cuadro aquellos a considerar. Enumere en el recuadro en blanco las razones consideradas. [+6] 1 w wU 1 w w  ( Urv r )  ( Uv T )  ( Uv z ) r wT wt r wr wz

2 2 § wv r wv r vT wv r vT2 wv · U ¨¨  vr    vz r ¸ r wT r wr wz ¸¹ © wt 1 2 2

1

0 

wp wr

ª w §1 w w 2v 1 w 2v 2 wv P « ¨  rv r ·¸  2 2r  2 T  2r r wT wz ¹ r wT «¬ wr © r wr 3 2 2

wv v wv v v wv · § wv U ¨ T  vr T  T T  r T  vz T ¸ t r r r w w w T wz ¹ © 1 2 3 2 2 ªw P « ¬« wr

1 wp  r wT

w 2v 1 w 2v 2 wv §1 w  rvT ·¸  2 2T  2 r  2T ¨ r wT wz © r wr ¹ r wT 2 3 2

wv z v T wv z wv · wp § wv z  vr   vz z ¸  r wT wr wz ¹ wz © wt 2 1 2

U¨

ª1 w P « «¬ r wr 2

§ wv z ¨ r wr ©

º »  U gr »¼ R2 R1

º »  U gT ¼»

w

2 2 · 1 w vz w vz º   »  U gz ¸ wz 2 »¼ ¹ r 2 wT 2 2

[1] Régimen estacionario. [2] vr = vz = 0 , vș  0, vș  f(z) [3] Según la ec. de continuidad vș no es función de ș. [4] En dirección z no hay flujo ni cambio de nivel. ¿Qué condiciones límite utilizaría para su integración? [2P] T , z

r r r

R1 Ÿ

R2 Ÿ R1 Ÿ

Fenómenos de Transporte

p vT

dvT dr

pATM wR2 0

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2000-Jun-No:3

[Tema 2]

[Índice]

Un fluido, de densidad y viscosidad constantes, desciende en régimen estacionario por el espacio anular comprendido entre dos paredes cónicas concéntricas, tal como se representa en la figura. Simplifique las ecuaciones de continuidad y movimiento que se muestran a continuación, tachando los términos a eliminar y cerrando en un rectángulo los que se deban considerar al integrar la ecuación. Enumere en el recuadro en blanco las razones consideradas (6 Puntos). 1 w wU 1 w w  ( Urv r )  ( Uv T )  ( Uv z ) wt r wr wz r wT 2 1

0

r z

§ wv wv r v T wv r v T2 wv r ·¸ wp    vz  componente r : U ¨ r  v r ¨ wt ¸ wr wz ¹ wr r r wT © 2 1 1 wW rT W TT wW rz · §1 w (rW rr )  ¨   ¸  U gr r wT wz ¹ r © r wr 4 6 § wv T · v v w w w v v v v r T T T T T ¸  1 wp  vr    vz componente T : U ¨ ¨ wt ¸ w w w T r r r z r4 wT ©1 ¹ 2 1 wW TT wW Tz · § 1 w 2 (r W rT )  ¨ 2  ¸  U gT w wT wz ¹ r r ©r 6 5 4 5 w v z v T wv z wv z · wp § wv z  vr   vz ¸  componente z : U ¨¨ wr wz ¸¹ r wT wz © wt 2 1 1 wW Tz wW zz · §1 w (rW rz )   ¨¨  ¸  U gz r wT wz ¸¹ © r wr 4

1) Régimen estacionario. 2) vT=0 , vr(r,z) , vz(r,z) 3) Fluido de densidad constante 4) Simetría cilíndrica: ˜/˜ș=0 5) Análisis de esfuerzos cortantes: (ver abajo) 6) gr=gT=0, gz=g Es improbable que la presión varíe en dirección r (plano horizontal perpendicular al flujo).

W rr W TT W zz

Fenómenos de Transporte

2 ª wv º  P «2 r  (’.v )» w 3 r ¬ ¼ 3 ª § 1 wv T º v · 2  P «2¨¨  r ¸¸  (’.v )» T w 3 r r ¹ ¬ © ¼ 2 3 2 ª wv º  P «2 z  (’.v )» w 3 z ¬ ¼ 3

W rT

W Tr

W zT

W Tz

W zr

W rz

ª w § v T · 1 wv r º ¸¸  ¨¨  P «r » ¬ w r © r ¹ r wT ¼ 4 2 ª wv 1 wv z º P « T  r wT »¼ ¬ wz 2 4 wv r º ª wv P « z  wz »¼ ¬ wr

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2000-Sep-No:1

[Tema 2]

[Índice]

Para medir la viscosidad de un fluido, se ha diseñado un viscosímetro similar al de plato y cono, pero que utiliza un disco plano en vez de un cono. Las dimensiones características del sistema son R el radio del disco y G la separación entre el disco y el fondo del plato (R>>G . Sitúe el centro de coordenadas en el centro del plato. Considere despreciables las componentes de la velocidad en dirección vertical y radial.

1

2

3

2

1

2

2

2

6

2

1

3

6

2

3

6

4

3

2

3

1

2

2

4

2

3

6

6

Admitiendo régimen estacionario y comportamiento newtoniano, simplifique las ecuaciones de continuidad y movimiento que se muestran sobre estas líneas, tachando los términos a eliminar y cerrando en un recuadro aquellos a considerar. Enumere a continuación las razones consideradas. [5 Puntos] [4] gz/ 0 , gT = gr = 0 [5] Fluido incompresible [6] IJșr y IJșzr / 0, los demás nulos.

[1] Régimen estacionario. [2] uT(r,z)/ 0 , uz = ur = 0 [3] Simetría cilíndrica: ˜/˜T=0

Indique como calcularía la viscosidad del fluido a partir del par de fuerzas (T) medido por el aparato. [6 Puntos] 1º) Obtener una expresión para uT(r,z) integrando las ecuaciones de movimiento. 2º) Obtener una expresión para el esfuerzo cortante a partir de la ley de Fourier y el perfil de velocidad: W Tz

P

wv T wz

3º) Calcular el par de fuerzas a partir del esfuerzo cortante sobre la superficie del disco: T

³0 ³0

2S R

W Tz

z G

r 2 dT dr

De la expresión integrada se despeja la viscosidad.

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2001-Jun-No:7

[Tema 2]

[Índice]

En la figura se presenta el esquema del pistón de un motor alternativo, que se desplaza con un movimiento vertical de vaivén en el interior de un cilindro. Para reducir la fricción entre ambos, la pared del cilindro está recubierta con una fina película de aceite, que hace de separación entre el cilindro y el pistón. Simplifique las ecuaciones de continuidad y movimiento que se muestran a continuación, aplicadas al aceite que se desplaza entre el pistón y el cilindro, tachando los términos a eliminar y cerrando en un recuadro aquellos a considerar. Enumere en el recuadro en blanco las razones consideradas. [5 Puntos] wU 1 w 1 w w  ( Urv r )  ( Uv T )  ( Uv z ) 0 wt r wr wz r wT 1 2 3 § wv r wv r v T wv r v T2 wv r ·¸ wp  vr  componente r : U ¨   vz  ¨ wt ¸ w w w wr r r r z T © ¹ 5 2 1 wW rT W TT wW rz · §1 w (rW rr )  ¨   ¸  U gr w wT wz ¹ r r r r © 6 7 § wv T · v v w w w v v v v 1 wp T T  vr  T  r T  vz T ¸  componente T : U ¨ ¨ wt ¸ w w w T wT r r r z r © ¹ 3 2 1 wW TT wW Tz · § 1 w 2 (r W rT )  ¨ 2  ¸  U gT wz ¹ r wT © r wr 7 6

wv z v T wv z wv z · wp § wv ¸¸    vz componente z : U ¨¨ z  v r r wT 4 wr wz ¹ wz © wt §1 w 1 wW Tz wW zz · ¸  U gz  (rW rz )   ¨¨ r wT wz ¸¹ © r wr 6

(1) El aceite es un fluido incompresible: ȡ = constante (2) Análisis del perfil de velocidad: vr = vș = 0, vz(t,r) (3) Simetría cilíndrica: ˜/˜ș = 0. (4) Según la ecuación de continuidad vz no depende de z. (5) La presión no varía en dirección radial, al ser una distancia pequeña y perpendicular al flujo. Además, de no ser así, sería el único término no nulo de la ecuación. (6) Sólo existe IJrz y sólo depende de r y de t (7) Disposición vertical: gr = gș = 0 Indique a continuación las condiciones límite que utilizaría para integrar estas ecuaciones [2 Puntos] (1) En el plano de contacto con el cilindro vz = 0. (2) En el plano de contacto con el pistón vz = vz,PISTÓN(t) (3) Conocer la presión en un punto.

Siendo RP y LP las dimensiones del pistón y RC y LC las dimensiones del cilindro, escriba la expresión que utilizaría para calcular la fuerza de rozamiento que debe vencer el pistón. [2 Puntos] FR (t )

2SRP LP W rz (t ) r

Fenómenos de Transporte

RP

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2002-Sep-No:1

[Tema 2]

Sobre el centro de un disco fijo incide un fluido líquido con un flujo másico w procedente de una tubería de sección circular S1. El líquido fluye sobre su superficie en dirección radial formando una película sobre el disco. Admítase régimen laminar, estado estacionario y propiedades físicas constantes. Despréciense los efectos de borde.

w

Encuadrar los términos de cada ecuación que no se anulan y tachar los que sí se anulan (4 puntos).

1

[Índice]

r

z

2

2 1 4 1

2

3

2

4

2

1

4

2

3

4 4

Escribir las condiciones límite que se aplican a cada una de las ecuaciones que resulten después de la simplificación (6 puntos). [1] Régimen estacionario [2] vĬ=0 , vr(r,z) , vz(r,z) (Nota: vz >D), simplificar las ecuaciones de variación que se muestran a continuación, indicando en el recuadro una relación numerada de las razones por las que se anulan los términos, y anotando bajo cada término tachado el número correspondiente. Encuadrar finalmente los términos que no se anulan (5 Puntos).

1

2

2

1

2

3

4

2

1

3

2

2

1

2

4

5

6

(1) Régimen estacionario. (2) Análisis: vr = vș = 0, vz(r) (3) p(z) (corresponde a la presión hidrostática).

5

(4) gr = gș = 0 (plano horizontal) (5) Ec. Continuidad: vz  f(z) (6) Simetría cilíndrica: ˜/˜ș=0

Indicar las condiciones límite necesarias para integrar estas ecuaciones (2 Puntos) r = D/2 ĺ vz = V r=’ ĺ vz = 0 Hay que conocer la presión para un valor de z. Indique cómo calcularía, a partir del perfil de velocidad obtenido, la fuerza de rozamiento que ejerce el fluido sobre la varilla (3 Puntos). Como el esfuerzo cortante es constante sobre la superficie de la varilla, se puede obtener simplemente multiplicando su valor por la superficie de contacto: dv z SDL FR W rz r D S  P 2 dr r D 2

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2004-Tarea-No:2c

[Tema 2]

Un líquido viscoso cae sobre la superficie de un cono formando una película cuyo espesor (į) decrece a medida que el fluido desciende. Admítase régimen estacionario e isotérmico. Se pretende estudiar el perfil de velocidad en la película de fluido en una zona alejada del vértice superior, para poder despreciar los efectos de borde.

Fluido

G

r T

c. Simplificar las ecuaciones de continuidad y movimiento, tachando los términos que no existan y recuadrando los que sí.

( r , T, I )

E

Ecuación de continuidad:

wU 1 w 1 w 1 w  2 (Ur 2v r )  (Uv T senT)  (Uv I ) wt r w r r senT wT r senT wI

[Índice]

0

Ecuación de movimiento:

§ wv v I wv r v T2  v I2 · wv r v T wv r wp componente r : U ¨ r  v r    ¸¸  ¨ wt sen w wT T wI wr r r r r © ¹ § 1 w 2 1 w 1 wWr I WTT  WII · (r Wrr )  ¨ 2   Wr T sen T  ¸  U gr r sen T wT r sen T wI r © r wr ¹

§ wv v I wv T v r v T v I2 cot T · wv T v T wv T 1 wp     componente T : U ¨ T  v r ¸¸  ¨ wt w wT T wI wT sen r r r r r r © ¹ § 1 w 2 1 1 wWTI Wr T cot T · w (r W r T )  ¨ 2   W II ¸  U gT  WTT sen T  r sen T wT r sen T wI r r © r wr ¹ wv I v T wv I v I wv I v I v r v T v I § wv I · 1 wp componente I : U ¨ cot T ¸   vr     r wT r sen T wI r r r sen T wI wr © wt ¹ § 1 w 2 · 1 wWTI 1 wWII W r I 2 cot T (r W r I )  ¨ 2    W TI ¸  U gI r wT r sen T wI r r © r wr ¹

Nota: El problema comienza en 2004-Tarea-No:2a y continúa en 2004-Tarea-No:2d (correspondiente al Tema 2).

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2005-Jun-No:1

[Tema 2]

En la figura se muestra un cilindro horizontal que gira sumergido en un fluido viscoso. El nivel del líquido alcanza el eje del cilindro. Se pretende estudiar el movimiento del fluido en la delgada capa formada por el fluido arrastrado sobre la superficie del cilindro.

[Índice] Zona de interés

Admitiendo régimen laminar, y despreciando los efectos de borde, simplifique las ecuaciones de variación que se muestran a continuación indicando en el recuadro una relación numerada de las razones por las que se anulan los términos, y anotando bajo cada término tachado el número correspondiente. Encuadre finalmente los términos que no se anulan. Nota: téngase en cuenta la disminución del espesor de la película de fluido al ascender por el cilindro. (Respuesta: +5)

wU 1 w 1 w w  ( U rv r )  ( U vT )  ( Uv z ) r wT wt r wr wz 2 1

0

U ¨¨



§ wv r

© wt 1

§ wvT

U ¨¨

© wt 1

 vr  vr

wv r vT wv r vT2 wv r ·    vz ¸ wr wz ¸¹ r wT r 2

w vT v T wv T v r vT wv ·    vz T ¸ wr wz ¸¹ r wT r 2

wv z v T wv z wv z · § wv z  vr   vz wr wz ¸¹ r wT © wt 1 2

U¨

1. Régimen estacionario. 2. Análisis del perfil de velocidad: v z

3. Simetría axial: w wz



wp § 1 w 1 wW rT W TT wW rz    (rW rr )  wr ¨© r wr wz r wT r 7 6 

· ¸  U gr ¹

1 wp § 1 w 2 1 wW TT wW T z ¨ 2  (r W r T )  wz r wT r wT © r wr 6 7

wp § 1 w 1 wW T z w W zz ¨  (r W rz )  wz © r wr wz r wT 3 6

· ¸  U gT ¹

· ¸  U gz ¹ 4

0, v r (T, r ), v T (T, r )

0

4. Eje horizontal: 5. Fluido incompresible. 6. Análisis de esfuerzos cortantes (ver Apéndice): W rz , W zz , W z T

0 ,

y

W rr , W TT , W r T son funciones de r y T.

7. Si el espesor de la capa es pequeño las variaciones de presión serán despreciables.

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2005-Sep-No:1

[Tema 2]

En la figura se muestra la formación de una gota, en una punta cónica, de un fluido viscoso. Se pretende estudiar el movimiento del fluido en la delgada capa formada por el fluido que circula sobre la superficie cónica.

r

[Índice]

T

Admitiendo régimen laminar, y despreciando los efectos de borde, simplifique las ecuaciones de variación que se muestran a continuación indicando en el recuadro una relación numerada de las razones por las que se anulan los términos, y anotando bajo cada término tachado el número correspondiente. Encuadre finalmente los términos que no se anulan. Nota: téngase en cuenta que el espesor de la película de fluido es variable a lo largo de la superficie. (Respuesta: +5)

Zona de interés

1 1 wU 1 w w w ( U r 2v r )  ( U vT senT )  ( U vI ) 0  2 r senT wT r senT wI wt r wr 1 2 § wv vI wv r vT2  vI2 · wv r v T wv r wp ¸     componente r : U ¨ r  v r ¨ wt ¸ wr wr r wT r sen T wI r 1© 2 2¹ 3 wW r I W TT  W II · § 1 w 2 w 1 1 ¨ 2  (r W rr )  W r T sen T   ¸  U gr r sen T wT r senT wI r © r wr ¹ 4

§ wv vI wvT v r vT vI2 cot T · v wv T wv 1 wp ¸  componente T : U ¨ T  v r T  T    ¨ wt ¸ T T I r r r r r r sen w w w ¹ 3 wT © 1 2 2 wW TI W r T cot T § 1 w 2 · 1 1 w (r W r T )  W TT senT  W II ¸  U gT ¨ 2    r senT wT r sen T wI r r © r wr ¹ 4

v I wv I v I v r v T v I w v I v T wv I § wv I · wp 1 componente I : U ¨  vr     cot T ¸  r wT r sen T wI r r r senT wI wr © wt ¹ 1 2 6 wW II W r I 2 cot T · § 1 w 2 1 wW TI 1 W TI ¸  U gI ¨ 2    (r W r I )  r wT r senT wI r r © r wr ¹ 4 4 6 7

1. Régimen estacionario 2. v r (r , T), v T (r , T), v I

0

3. Si es espesor de la película es pequeño, las variaciones de presión con r y ș se pueden despreciar.

4. Análisis de esfuerzos cortantes (ver Apéndice): W rr ,W TT ,W II ,W rT

f (r ,T )

W TI , W I r

0

5. Fluido incompresible (ȡ=constante) 6. Simetría: w / wI 0

7. La coordenada I recorre un plano horizontal: gI

Fenómenos de Transporte

0

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2006-Jun-No:4b

[Tema 2]

[Índice]

El sistema que se muestra en la figura corresponde a dos discos paralelos horizontales. Al centro del disco superior se ha conectado una tubería, mientras que el disco inferior gira, por la acción de un motor, con velocidad angular ȍ constante.

z

2į

r

ȍ ȍ

El movimiento giratorio del disco inferior provoca el desplazamiento radial del líquido, contenido entre los dos discos, que es remplazado por el nuevo líquido que entra por la tubería conectada al disco superior. Admítase régimen estacionario, flujo laminar, proceso isotérmico y propiedades físicas constantes. (b) Condiciones límite para integrar las ecuaciones, a partir de valores conocidos de la presión (pexterior) y el caudal (Q) en la salida del sistema, r = Rdisco (3 Puntos). Ecuación de Continuidad:

wU 1 w 1 w w  (Urv r )  (Uv T )  (Uv z ) r wT wt r wr wz 3 1 2

Ecuación de Movimiento:

§ wv wv r v T wv r v T2 wv · U ¨ r  vr    vz r ¸ ¨ wt wr wz ¸¹ r wT r © 1 3 2 wv T v T wv T v r v T wv § wv U ¨ T  vr    vz T wr wz r wT r © 1wt 2 3 wv z v T wv z wv · § wv U ¨ z  vr   vz z ¸ wr wz ¹ r wT © 1wt 2 2 2

z

G

z

G

r

Rdisco , z

o o

G

vr

0

vr

0

o

vT vT p



0

ª w §1 w w 2v º 1 w 2v 2 wv wp  P« ¨  rv r ·¸  2 2r  2 T  2r »  Ugr wr wz »¼ r wT ¹ r wT «¬ wr © r wr 5 3 3 4 2 ª w §1 w 1 wp 2 wv r w 2v T º · · 1 w vT  2  »  UgT ¸  r wT  P « wr ¨ r wr  rv T ¸  2 wz 2 ¼» r wT ¹ r wT2 ¹ ¬« © 4 3 3 3 

ª1 w wp  P« wz «¬ r wr

§ wv z ¨ r wr © 2

2 2 · 1 w vz w vz º   »  Ugz ¸ wz 2 »¼ ¹ r 2 wT2 2 2

:r 0

pexterior

Además se precisa una condición para vr y vș en r, que se obtiene a partir del valor del caudal, Q. Intew f (z ) grando la ecuación de continuidad: (rv r ) 0 Ÿ v r r wr El caudal: Q

³ ³ G

2S

G 0

v r r d T dr

2S

³

G

G

f (z )dz

Nota: El problema comienza en P_2006_Jun_04a y continúa en P_2006_Jun_04c (correspondiente al Tema 2).

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2006-Par1-No:5

[Tema 2]

[Índice]

Un disco de grandes dimensiones se desplaza verticalmente con una velocidad vDISCO sobre el fondo de un depósito en el que se encuentra contenido un líquido. Admitiendo que el diámetro del disco es mucho mayor que la distancia entre el disco y el fondo del depósito, simplificar las ecuaciones de variación que se muestran a continuación para estudiar el movimiento del fluido que escapa, desplazado por el disco.

v DISCO

Indique en el recuadro una relación numerada de las razones por las que se anulan los términos, y anote bajo cada término tachado el número correspondiente. Recuadre finalmente los términos que no se anulan (5 Puntos).

zDISCO

z

r zona de interés wU 1 w 1 w w ( U rv r )  ( U vT )  ( Uv z )  wt r wr wz r wT 3 2

0

U ¨¨



§ wv r © wt

 vr

wv r vT wv r vT2 wv ·    vz r ¸ wr wz ¸¹ r wT r 2 2

§ wvT wv wv v wvT v r vT  vr T  T   vz T ¨ wt wr wz r wT r © 2 2 2 2 2

U¨

wv z vT w v z wv z · § wv z  vr   vz wr wz ¸¹ r wT © wt 2

U¨



· ¸¸ ¹

1 wW rT W TT wW rz wp § 1 w (rW rr )  ¨   wr © r wr wz r wT r 4 

· ¸  U gr ¹ 1

1 wp § 1 w 2 1 wW TT wW T z (r W r T )  ¨ 2  wz r wT © r wr r wT 4 4 5 4

wp § 1 w 1 wW T z wW zz ¨  (r W rz )  wz © r wr wz r wT 4

· ¸  U gz ¹

· ¸  U gT ¹ 1

1. Disposición horizontal: gz = g, gș = gr = 0 2. Análisis de la velocidad: vș =0, vr (r,z), vz(r,z) G G 3. Fluido incompresible: ȡ = cte, ’.v 0





4. Análisis de esfuerzos cortantes (ver Apéndice): W rr (r , z ), W TT (r , z ), W zz (r , z ), W rz (r , z ) , los demás nulos. 5. Simetría cilíndrica: ˜/˜ș = 0

Indique a continuación qué condiciones límite utilizaría para integrar estas ecuaciones. (Respuesta: +2) wv r 0 , vr wr 0 o v z 0, v r 0 o

r

0

z

zDISCO o

z

vz

0

v DISCO , v r

0

Además se debe conocer la presión en un punto (en el borde del disco la presión vendrá dada por la carga hidrostática en el depósito), y el caudal de fluido que abandona el sistema debe coincidir con el volumen desplazado por el disco.

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid

2006-Sep-No:1ab

[Tema 6]

[Índice]

La reacción 2E o M  N es una reacción heterogénea catalítica y fuertemente exotérmica, los productos de reacción son isómeros del reactivo. La cinética de la reacción viene dada por la siguiente expresión: Tc 

k ·cE2

B T

, k Ae G Tc , donde G es la velocidad de reacción en moles por unidad de tiempo y superficie. Se utiliza un tubo circular de radio R con la pared interior recubierta F S por una delgada lámina de catalizador donde se producirá dicha reacción. El exterior del tubo está rodeado por un fluido que mantiene constante su temperatura en la fase global, Tc, que es la misma que la temperatura de entrada de la alimentación F (kmol/h). La alimentación está formada por una disolución de E en agua, con una concentración cEF. El proceso transcurre en régimen estacionario y se puede admitir que las propiedades físicas son constantes.

(a) Si el tubo opera en régimen isotérmico, simplificar las siguientes ecuaciones tachando los términos que son nulos o despreciables, señalándolos con un número e indicando las razones para su eliminación: (4 Puntos). Ecuación de Continuidad: Ecuación de Movimiento:

wU 1 w 1 w w (Urv r )  (Uv T )  (Uv z )  wt r wr wz r wT 2 1 2

0

2 § wv ª w §1 w wv r v T wv r v T2 wv · 2 w v T w 2v r º wp · 1 w vr rv r ¸  2 U ¨ r  vr    vz r ¸   P« ¨    »  Ugr ¨ wt r wT r wr wz ¸¹ wr r 2 wT wz 2 ¼» ¹ r wT2 ¬« wr © r wr © 1,2 2 2 ª w §1 w w v T v T wv T v r v T wv T · w 2v º 1 wp 2 wv § wv T · 1 w vT U¨  vr    vz   P« ¨  rv T ¸  2 2  2 r  2T »  UgT ¸ wr wz ¹ r wT r r wT wz ¼» r wT ¹ r wT © wt ¬« wr © r wr 3 3 ª 1 w § wv z · 1 w 2 v z w 2 v z º wv z v T wv z wv · wp § wv U ¨ z  vr   vz z ¸  P«  »  Ug z ¨r ¸ 2 2 wr wz ¹ wz r wT wz 2 »¼ © wt «¬ r wr © wr ¹ r wT 2 4 1,2

1- Régimen estacionario. 2- vT = vr = 0 , vz(r)  0,según la ecuación de continuidad.

3- Simetría en T.

4- Existen gr y gT. gT

G g

gr

(b) ¿Establecer las condiciones límite de las ecuaciones diferenciales resultantes del apartado (a), (1,5 Puntos). - Conocer la presión en un punto, z=0 , r = 0, T = 0 : P = PF - Una condición para la ec. de continuidad (un valor en z). Puede ser la velocidad a la entrada (z = 0 ĺ vz = vzF), o el flujo, o la presión a la salida. -r=0:

wv z wr

0

- r = R ĺ vz = 0

Nota: El problema continúa en 2006-Sep-No:1c (correspondiente al Tema 4).

Fenómenos de Transporte

Depto. Ingeniería Química. Universidad de Valladolid