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ACTIVIDAD ETAPA 2 FASE 3

CURSO SISTEMAS DINÁMICOS

PRESENTADO POR: STEVENSON VALENCIA SANCHEZ

GRUPO 201527_28

TUTOR DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CEAD-QUIBDO

NOVIEMBRE 1 DE 2015

1. INTRODUCCION

Los sistemas dinámicos en nuestro presente es unas de las ciencias de apoyo esenciales en la solución de problemas que se puedan presentar en diferentes áreas de aplicación laboral. El análisis mediante un modelo matemático es una herramienta para que el estudiante plantee soluciones a los problemas planteados. En el presente trabajo se hace la introducción a este campo de conocimiento que permite al estudiante una dista tener una opción de especialización en su formación profesional, iniciando con el modela miento matemático en función del tiempo. Para realizar el análisis de un sistema, se requiere obtener un modelo matemático que lo represente. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema.

Objetivos  

Identificara los modelos atravez de cada una de las herramientas Identificar cuál de los métodos de análisis es más eficiente.

Utilizar todas las herramientas para determinar cuál modelo se asemeja más a la realidad

FASE 3 Una vez propuestos todas las ideas y metodologías para el desarrollo del problema propuesto se debe empezar a definir todas las ecuaciones para resolver el problema.

1. A partir de la ecuación diferencial lineal encontrada en la etapa 1, o suministrada por el docente (en caso de no cumplir con el objetivo inicial), exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. Definimos

entonces

la

ecuación

lineal

hallada

en

la

etapa

1:

1 𝑅 𝑢(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑥̇ (𝑡) 𝐿 2𝐿√𝑥 Ahora expresamos el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales iguales a 0:

1 𝑅 𝑈(𝑠) = 𝑋(𝑠) + 𝑠𝑋(𝑠) 𝐿 2𝐿√𝑋 Factorizamos la función:

𝐺(𝑠) =

1 𝐿

𝑅 +𝑠 2𝐿√𝑋

1 𝑅 𝑈(𝑠) = 𝑋(𝑠) [ + 𝑠] 𝐿 2𝐿√𝑋 𝑋(𝑠) 𝐺(𝑠) = 𝑈(𝑠)  Función de transferencia

Reemplazamos los valores dados anteriormente, donde: 𝑅 = 10 𝑣 ⁄√𝐴

𝐿 = 1𝐻 𝑋 = 1𝐴 1 1 𝐺(𝑠) = 10 +𝑠 (2)(1)(√1) 1 𝐺(𝑠) = 5+𝑠

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD En la segunda etapa se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario y la estabilidad del proceso. Las tareas a realizar en esta etapa son las siguientes: 2.

A partir de la ecuación diferencial lineal encontrada en la etapa 1, o

suministrada por el docente (en caso de no cumplir con el objetivo inicial), exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. 3.

Represente el sistema lineal mediante un diagrama de bloques

4.

Encuentre la función de transferencia del sistema a partir de la reducción del

diagrama de bloques. 5.

Determine el error en estado estacionario del sistema.

6.

A partir de la ecuación característica determine la estabilidad del sistema.

Utilice MATLAB® para simular el sistema lineal y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante ei (t) = Ei = 5 V, durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, el voltaje de entrada cambia de 5 V a 6 V durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos.

SOLUCION Punto 1 A partir de la ecuación diferencial lineal encontrada en la etapa 1, exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. 𝐋

𝐝𝐢 𝐑 +( ) 𝐈(𝐭) = 𝐞𝐢(𝐭) 𝐝𝐭 𝟐√𝐈

Para convertir una ecuación diferencial a función de transferencia aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados del igual, con condiciones iguales a cero (CI=0) y nos queda así: £ {(

di R 1 +( ) I(t)} = £ {( ) ei(t)} dt L 2L√I

R 1 sI(s) − i(0) + ( ) I(s) = ( ) Ei(s) L 2L√I CI=0

Se factoriza H(s) I(s) (s +

R

1 ) = ( ) Ei(s) L 2L√I

1 1 H(s) 2L√L 2√I L L = = = = R Ei(s) s + (2L√I)s + R (2L. L√H)s + L. K (2L√H)s + R 2L√I 2L√I Como I(s) es la transformada de Laplace de la función de salida y la vamos a representarla como Y(s) y Como Ei(s) es la transformada de Laplace de la función de entrada la vamos a representar como U(s)

𝐘(𝐬) 𝐔(𝐬)

=

𝟐√𝐈 (𝟐𝐋√𝐈)𝐬+𝐈

Esta es la función de transferencia de

𝐝𝐢 𝐝𝐭

+(

𝐑 𝟐𝐋√𝐈

𝟏

) 𝐢(𝐭) = ( ) 𝐞𝐢(𝐭) 𝐋

Hallamos ahora la función de transferencia de la función diferencial: 𝐝𝐢 + 𝟓𝐢(𝐭) = 𝐞𝐢(𝐭) 𝐝𝐭 Le aplicamos transformada de Laplace y nos queda: £{

di + 5i(t)} = £{ei(t)} dt

sI(s) − i(0) + 5I(s) = Ei(s) CI=0

Factorizamos I(s) en la función y vemos que: I(s)(s + 5) = Ei(s) I(s) 1 = Ei(s) s + 5 Como I(s) es la transformada de Laplace de la función de salida y la vamos a representarla como Y(s) y Como Ei(s) es la transformada de Laplace de la función de entrada la vamos a representar como U(s) La reescribiremos así: Y(s) 1 = U(s) s + 5 Esta es la función de transferencia de 𝐡̇(𝐭) + 𝟓𝐡(𝐭) = 𝐪𝐢

Demostración y obtención de la funcion: Y(s) U(s)

Y(s) U(s)

=

=

2√I (2C√I)s+R

2√1 (2(1)√1)s+10

Sustituimos con: I=1

=

2 2s+10

=

1 s+5

;

L=1

;

R=10

Punto 2 Represente el sistema lineal mediante un diagrama de bloques. En un diagrama de bloques todas las variables del sistema se enlazan unas con otras mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Ogata (Ingeniería de control moderna 5ta edición).

Según estos argumentos observables la respuesta nos quedaría de la siguiente manera:

Diagrama de bloque para 𝐆(𝐬) = Ei(s)

I(s)

1 𝑠+5

Diagrama de bloque para 𝐆(𝐬) = Ei(s)

𝟐√𝐈 (𝟐𝐋√𝐈)𝐬+𝟏𝟎

2√𝐼 (2𝐿√𝐼)𝑠 + 10

Punto 3

𝟏 𝐬+𝟓

I(s)

Encuentre la función de transferencia del sistema a partir de la reducción del diagrama de bloques.

Ei(s)

I(s)

1 𝑠+5

Diagrama de bloque para G(s) =

1 s+5

de esta forma nos ha quedado

Punto 4 Determine el error en estado estacionario del sistema. En el siguiente diagrama de bloques el punto de suma muestra la entrada la realimentación y se deduce que su diferencia es el error en estado estacionario.

La Función de transferencia es:

G(s) =

1 s+5

La constante de error de posición estática Kp se define de esta forma: Kp = lim G(s) = s→0

Kp = 0.2

1 0 +5

El error de estado estacionario en una entrada escalón unitario es 1 1 + Kp 1 = = 0.83 = 83.33% 1 + 0.2

ess = ess

Por medio de la siguiente simulación realizada con Simulink en MATLAB se demuestra el valor de estado estacionario que se calculó anteriormente de manual. ess = 83.33%

BIBLIOGRAFIA http://152.186.37.83/ecbti01/mod/lesson/view.php?id=271&pageid=27 Sistemas y modelos. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=vxm39UyXksA http://152.186.37.83/ecbti01/mod/lesson/view.php?id=271&pageid=21