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SISTEMAS DINAMICOS

ETAPA 2 Modelar el sistema dinámico en el dominio de la frecuencia

Presentado por:

Tutora ADRIANA DEL PILAR NOGUERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

2018

2

Contenido INTRODUCCION .............................................................................................................. 3 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA: .................................................................................. 4 DESARROLLO ETAPA 1 ................................................ Error! Bookmark not defined. ANALISIS ........................................................................ Error! Bookmark not defined. PLANTEAMIENTO DE LA SOLUCION .........................................................................5 Listado de conceptos conocidos.......................................................................................... 5 Metodología empleada para la investigación ....................................................................11 MODELO MATEMATICO ............................................................................................. 11 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................ 253

3 INTRODUCCION

Para el desarrollo de esta etapa se hace necesario tener claro ciertos conceptos los cuales son de vital importancia para el desarrollo de la actividad, inicialmente lo primero que se debe tener en cuenta es encontrar el modelo matemático, por lo cual debemos hacer énfasis en las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff, por lo cual un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando estas leyes

4 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA: La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de armadura del motor aplicada 𝑣(𝑡) y como variable de salida la velocidad de rotación del motor 𝛩(𝑡):

Los parámetros físicos a tener en cuenta son: Momento de inercia del rotor 𝐽=0.01 𝐾𝑔∗𝑚2 Constante de fricción viscosa del motor 𝑏=1 𝑁∗𝑚∗𝑠 Constante de fuerza electromotriz 𝑘𝑒=0.01𝑉𝑟𝑎𝑑/𝑠 Constante torque del motor 𝑘𝑡=0.01 𝑁∗𝑚/𝐴 Resistencia eléctrica 𝑅=1 𝛺 Inductancia 𝐿=0.5 𝐻

5

PLANTEAMIENTO DE LA SOLUCION

Con el fin de dar solución al problema planteado se hace necesaria la consecución de un plan de acción que se direccione de la siguiente forma: 1- Análisis del proceso a desarrollar por el nuevo equipo en la planta de producción. 2- Análisis de elementos o materias primas que requiera el nuevo equipo para llevar a cabo su proceso dentro de la planta de producción. 3- Interacción del proceso del nuevo equipo con el proceso que realicen otros equipo s dentro de la línea de producción. 4- Consecución de ideas o mecanismos (desarrollo de los modelos matemáticos), por parte de los integrantes del grupo, encaminados a generar las condiciones de funcionamiento adecuado del equipo con el fin de establecer su funcionamiento dentro de la línea de producción. 5- Planificación de actividades a desarrollar por cada integrante del grupo encargado de desarrollar las actividades encaminadas a establecer el funcionamiento del equipo o equipos necesarios dentro de la línea de producción. 6- Despliegue de las actividades a desarrollar por cada uno de los integrantes del grupo de trabajo. 7- Síntesis y análisis de resultados, retroalimentación de los procedimientos con el fin de establecer fallas o posibles mejoras dentro de la solución planteada. 8- Entrega de la solución final que resuelva el problema planteado.

LISTADO DE CONCEPTOS CONOCIDOS

Resistencia: La resistencia eléctrica es una propiedad que tienen los materiales de oponerse al paso de la corriente. Los conductores tienen baja resistencia eléctrica, mientras que en los aisladores este valor es alto. La resistencia eléctrica se mide en Ohm (Ω).

6 Condensadores Un condensador es un componente eléctrico que almacena carga eléctrica, para liberarla posteriormente. También se suele llamar capacitor. Bobinas La bobina o inductor por su forma (espiras de alambre arrollados) almacena energía en forma de campo magnético. Sistema de control de lazo cerrado: Son los sistemas en los que la acción de control está en función de la señal de salida. Los sistemas de circuito cerrado usan la retroalimentación desde un resultado final para ajustar la acción de control en consecuencia.

Sistema de control de lazo abierto: Es aquel sistema en que solo actúa el proceso sobre la señal de entrada y da como resultado una señal de salida independiente a la señal de entrada, pero basada en la primera. Esto significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que éste pueda ajustar la acción de control. Es decir, la señal de salida no se convierte en señal de entrada para el controlador. Sistemas: Combinación de elementos que interactúan en conjunto para lograr un objetivo Señal de Entrada y Salida: En las aplicaciones típicas de ingeniería las señales de entrada y salida son variables físicas o abstractas, que cambian en el tiempo, como, por ejemplo: fuerzas, velocidades, temperaturas. Sistemas Dinámicos. Un sistema dinámico es aquel que cambia con el tiempo, el análisis de los sistemas dinámicos nos permite conocer el comportamiento de este y evolución en el tiempo. Modelo Es la representación aproximada de un sistema dinámico. Dicha representación o abstracción incluye propiedades y parámetros internos del sistema, así como una definición de entradas y salidas del mismo. Controlabilidad: es la propiedad de los sistemas de poder manipular su comportamiento a partir de sus parámetros de entrada, con estos parámetros de entrada podemos manipular la salida o algún valor deseado. Observabilidad: es la propiedad de poder conocer parámetros internos del mismo a partir de medir parámetros de salida. Estabilidad: es la propiedad del sistema de llegar a su estado estacionario cuando no hay energía externa Inestabilidad: se refiere a un estado en los sistemas en donde la energía tiende al infinito cuando no hay energía que sea introducido al mismo. Perturbación: es una señal que tiende afectar de manera adversa la salida del sistema, puede ser interna o externa.

7 Modelo Matemático: Para cualquier sistema mecánico se puede desarrollar un modelo matemático, aplicando al sistema de las leyes de newton, para lo cual se requieren tres tipos de elementos básicos: elementos de inercia, de resorte y elementos amortiguadores. Elementos de inercia: Por elementos de inercia entendemos las masas y los momentos de inercia, teniendo en cuenta que la inercia es el cambio de fuerza requerido para producir un cambio unitario en la aceleración. Elementos de un resorte: Es un elemento mecánico que puede ser deformado por una fuerza externa tal que la deformación se directamente proporcional a la fuerza o par que se le aplique. Elementos amortiguadores: Es un elemento mecánico que disipa energía en forma de calor en lugar de almacenarla. Fricción no lineal: Incluye la fricción esta tatica la fricción deslizante y la fricción de la ley cuadrática. Frecuencia: Es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido. Según el Sistema Internacional (SI), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz. Transformada de Laplace: Es una herramienta matemática utilizada para convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el dominio complejo.

Respuesta forzada y respuesta libre: El comportamiento determinado para una función de excitación se llama respuesta forzada y la que se debe a las condiciones iniciales (almacenamientos d energía iniciales) se llama respuesta libre. CONCEPTOS  Frecuencia: es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido. Según el Sistema Internacional (SI), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz.

8  Espacio de estados: En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden.  Estabilidad absoluta: la variable vuelve al punto de consigna a un valor estable después de una perturbación, sin importar el tiempo que esté oscilando hasta anularse. Es decir, los criterios correspondientes no indican lo próximo que esté el sistema de la inestabilidad.  Modelamiento Matemático: En ciencias aplicadas, un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.  Diagrama de Bloques: Es una representación gráfica utilizada para describir la manera como están interconectados e interactúan los diferentes elementos de un sistema.  Sensor: Es un dispositivo capaz de transformar una magnitud física como presión, caudal, temperatura, etc. en una señal eléctrica.  (MATLAB): Sistema de identificación de la caja de herramientas, proporciona funciones de MATLAB, Simulink bloques, y una aplicación para la construcción de modelos matemáticos de sistemas dinámicos a partir de datos de entrada salida medidos. Te permite crear y utilizar modelos de sistemas dinámicos no está modeladas fácilmente a partir de primeros principios o especificaciones. Puede utilizar los datos de dominio de tiempo y el dominio de la frecuencia de entrada-salida para identificar modelos de espacio de estado, funciones de transferencia de tiempo discreto, o de tiempo continuo y modelos de procesos.  Sistema: Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para alcanzar un objetivo específico.  Sistema de control: Es un conjunto de dispositivos encargados de implementar ciertas estrategias con el fin de lograr un resultado esperado.  Sistema multivariable: Es un sistema que se caracteriza por poseer un gran número de entradas y de salida.

9  Sistema no lineal: Es cualquier sistema físico que no pueda ser representado mediante ecuaciones diferenciales o de diferencias de primer orden.  Constante de tiempo: Es el valor de tiempo propio de un sistema, el cual representa la rapidez con la cual este puede responder ante cambios en su entrada.   

Ecuaciones diferenciales: Son ecuaciones que contienen las derivadas de una más variables dependientes, con respecto a una o más variables para representar sistemas en tiempo continuo.

 

Estabilidad: Es una noción que describe si un sistema es capaz de seguir un comando de entrada, o en general, si dicho sistema es útil.



Linealización: Es el proceso mediante el cual, los sistemas no lineales, se llevan a un punto de operación en el cual las características de este sean más o menos lineales, con el fin de encontrar un modelo de representación más sencillo.

PALABRAS CONOCIDAS: 

Sistema no lineal: Es cualquier sistema físico que no pueda ser representadomediante ecuaciones diferenciales o de diferencias de primer orden.



Constante de tiempo: Es el valor de tiempo propio de un sistema, el cualrepresenta la rapidez con la cual este puede responder ante cambios en suentrada.



Ecuaciones diferenciales: Son ecuaciones que contienen las derivadas deuna o más variables dependientes, con respecto a una o más variablesindependientes. Estas ecuaciones son utilizadas para representar sistemasen tiempo continuo.



Estabilidad: Es una noción que describe si un sistema es capaz de seguir uncomando de entrada, o en general, si dicho sistema es útil.



Linealización: Es el proceso mediante el cual, los sistemas no lineales, sellevan a un punto de operación en el cual las características de este seanmás o menos lineales, con el fin de encontrar un modelo de representaciónmás sencillo.



Matriz: Es una colección de elementos arreglados en forma rectangular ocuadrada.



Observabilidad: Es una condición que expresa el hecho de que las variablesde un sistema afectan a alguna de las salidas del mismo.



Periodo de muestreo: Es el intervalo de tiempo que existe entre cada una delas muestras tomadas de una señal continua.



Perturbación: Es cualquier tipo de señal que causa una alteración en lasseñales propias del sistema.

10 

Frecuencia: es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Para calcular lafrecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de esteteniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividenpor el tiempo transcurrido. Según el Sistema Internacional(SI), la frecuenciase mide en hercios(Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz.



Espacio de estados: Eningeniería de control, una representación deespacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descritomediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadasporecuaciones diferencialesde primer orden que se combinan en unaecuación diferencial matricialde primer orden.



Estabilidad absoluta: la variable vuelve al punto de consigna a un valorestable después de una perturbación, sin importar el tiempo que estéoscilando hasta anularse. Es decir, los criterios correspondientes no indicanlo próximo que esté el sistema de la inestabilidad.



Modelamiento Matemático: En ciencias aplicadas, un modelo matemático esuno de los tipos de modelos científicosque emplea algún tipo de formulismomatemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos,variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades uoperaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos antesituaciones difíciles de observar en la realidad.



Diagrama de Bloques: Es una representación gráfica utilizada para describirla manera como están interconectados e interactúan los diferentes elementosde un sistema.



Sensor: Es un dispositivo capaz de transformar una magnitud física comopresión, caudal, temperatura, etc. en una señal eléctrica.



MATLAB: Sistema de identificación de la caja de herramientas,proporciona funciones de MATLAB, Simulink bloques, y una aplicación parala construcción de modelos matemáticos de sistemas dinámicos a partir dedatos de entrada - salida medidos. Te permite crear y utilizar modelos desistemas dinámicos no está modeladas fácilmente a partir de primerosprincipios o especificaciones. Puede utilizar los datos de dominio de tiempoy el dominio de la frecuencia de entrada-salida para identificar modelos deespacio de estado, funciones de transferencia de tiempo discreto, o detiempo continuo y modelos de procesos.



Sistema: Es una combinación de componentes que actúan conjuntamentepara alcanzar un objetivo específico.



Sistema de control: Es un conjunto de dispositivos encargados deimplementar ciertas estrategias con el fin de lograr un resultado esperado.



11 Sistema multivariable: Es un sistema que se caracteriza por poseer un grannúmero de entradas y de salidas.

Metodología empleada para la investigación

La metodología empleada en esta investigación se realizó por medio del aprendizaje basado en Problema, el cual se centra en el estudiante promoviendo que el aprendizaje sea significativo, desarrollando una serie de habilidades y competencias indispensables en el entorno profesional actual. El grupo colaborativo se ocupará en la búsqueda de la solución a un problema planteado desencadenando el aprendizaje auto dirigido.

En esta fase el grupo deberá definir la metodología de para la investigación de acuerdo a lo alcanzado en la fase anterior. Una vez se tenga clara la metodología, el grupo deberá definir y expresar de manera concreta lo que quiere resolver, producir o demostrar en la respectiva etapa del problema. Luego el grupo procederá a localizar, organizar, analizar e interpretar la información de diversas fuentes. La metodología es:  Obtener el modulo matemático adecuado para su análisis.  Simulación en software  Montaje y comprobación del modelo.

MODELO MATEMATICO

12 Desarrollo Punto 1

1. Exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. Basándonos el los insumos dados por la tutora, se tienen las siguientes ecuaciones: 𝑑𝑖

𝑑𝜃



R ∗ i + 𝐿 𝑑𝑡 + 𝑘 𝑑𝑡 = 𝑉



𝐽

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡

𝑑𝜃

= k ∗ i − B 𝑑𝑡

Usando la transformada de Laplace para ambas tenemos:  

R∗I+𝑠∗𝐿∗𝐼+𝑠∗𝑘∗𝜃 = 𝑉 𝑠2 ∗ 𝐽 ∗ 𝜃 = k ∗ I − s ∗ B ∗ 𝜃

Despejando la corriente I en la primera ecuación tenemos: 

𝐼=

𝑉−𝑠∗𝑘∗𝜃 𝑅+𝑠∗𝐿

Reemplazando la corriente en la segunda ecuación y factorizando theta: 

𝜃(𝑠 2 ∗ 𝐽 + 𝑠𝐵) = k ∗ (

𝑉−𝑠∗𝑘∗𝜃 𝑅+𝑠∗𝐿

)

Expandiendo términos, factorizando y simplificando denominadores: 

𝜃((𝑠 2 ∗ 𝐽 + 𝑠𝐵)(𝑅 + 𝑠 ∗ 𝐿) + 𝑘 2 𝑠) = k ∗ V

Despejando la razón theta sobre V se obtiene la siguiente función de transferencia: 

𝜃 𝑉

k

= (𝑠2 ∗𝐽+𝑠𝐵)(𝑅+𝑠∗𝐿)+𝑠𝑘 2

Como se requiere en términos de omega, la velocidad angular del motor, se reduce el sistema factorizando una S y cancelando, ya que la velocidad es la derivada de la posición, se obtiene a la siguiente ecuación: 𝜔 𝑘 = 𝑉 (𝑠 ∗ 𝐽 + 𝐵)(𝑠 ∗ 𝐿 + 𝑅) + 𝑘 2 Multiplicando y expandiendo el denominador se obtiene la siguiente función ya con valores del sistema:

13 𝜔 0.01 = 2 𝑉 𝑠 0.005 + 𝑠0.51 + 1.0001 Dividendo todo por 0.005 para dejar el termino de mayor orden aislado se simplifica a:

𝜔 2 = 2 𝑉 𝑠 + 𝑠102 + 200.02 1. EXPRESE EL MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA MEDIANTE UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA. Electricamente hablando nuestra ecuacion queda asi: 𝑉(𝑡) = 𝑅 ∗ 𝐼(𝑡) + 𝐿

𝐷𝑙(𝑡) 𝐷𝜃 + 𝐾𝑤 𝐷𝑡 𝐷𝑡

Mecanicamente hablando nuestra ecuacion queda asi:



𝐽

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡

𝑑𝜃

= 𝑘 ∗ 𝑖 − 𝐵 𝑑𝑡

Cambiandolas a transformada laplace nos genera lo siguiente: 

𝑉 = 𝑅∗𝐼+𝑠∗𝐿∗𝐼+𝑠∗𝑘∗𝜃



𝑠2 ∗ 𝐽 ∗ 𝜃 = 𝑘 ∗ 𝐼 − 𝑠 ∗ 𝐵 ∗ 𝜃

Remplazamos las ecuaciones

I=

V(S) − KSθ R + LS

V(S) − KSθ Kt ( ) = JS 2 θ + BSθ R + LS

Conclusion: Nuestra f unción de transferencia viene a ser igual a la variable de salida sobre la de entrada osea que estas vienen a ser sincronas.

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𝐾𝑡(𝑉(𝑆) − 𝐾𝑤𝑆𝜃) = (𝐽𝑆 2 𝜃 + 𝐵𝑆𝜃)(𝑅 + 𝐿𝑆) Factorizamos la expresion: 𝐾𝑡. 𝑉(𝑠) = (𝐽𝑆 2 𝜃 + 𝐵𝑆𝜃)(𝑅 + 𝐿𝑆) + 𝐾𝑡. 𝐾𝑤𝑆𝜃

Generando asi nuestra funcion de transferencia: 𝜽 𝑲𝒕 = 𝟐 𝑽(𝒔) [(𝑱𝑺 + 𝑩𝑺)(𝑹 + 𝑳𝑺) + 𝑲𝒕. 𝑲𝒘𝑺] Ahora remplazamos en omega y dividimos todo en 0.0005 para dar el termino de mayor orden. 𝑤 𝑉

0.01

𝑤

= 𝑠2 0.005+𝑠0.51+1.0001 / 0.005

𝑉

=

2 𝑠2 +𝑠102+200.02

1. Exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝜃 + 𝐾𝑤. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜃 2 𝑑𝜃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑀𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑜 𝐾𝑡 ∗ 𝐼(𝑡) = 𝐽 2 + 𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑉(𝑡) = 𝑅 ∗ 𝐼(𝑡) + 𝐿



Mediante la teoría de transformación Laplace obtenemos 𝑉(𝑠) = 𝑅. 𝐼 + 𝐿𝑆𝐼 + 𝐾𝑤𝑆𝜃 𝐾𝑡. 𝐼 = 𝐽𝑆 2 𝜃 + 𝐵𝑆𝜃



Se reemplaza la ecuación de sistema eléctrico en el sistema mecánico. 𝐼=

𝑉(𝑆) − 𝐾𝑤𝑆𝜃 𝑅 + 𝐿𝑆

15 𝑉(𝑆) − 𝐾𝑤𝑆𝜃 𝐾𝑡 ( ) = 𝐽𝑆 2 𝜃 + 𝐵𝑆𝜃 𝑅 + 𝐿𝑆 La función de transferencia es igual a la variable de salida sobre la de entrada. 𝐾𝑡(𝑉(𝑆) − 𝐾𝑤𝑆𝜃) = (𝐽𝑆 2 𝜃 + 𝐵𝑆𝜃)(𝑅 + 𝐿𝑆) 𝐾𝑡. 𝑉(𝑠) = (𝐽𝑆 2 𝜃 + 𝐵𝑆𝜃)(𝑅 + 𝐿𝑆) + 𝐾𝑡. 𝐾𝑤𝑆𝜃 𝑉(𝑠) =

𝜃[(𝐽𝑆 2 + 𝐵𝑆)(𝑅 + 𝐿𝑆) + 𝐾𝑡. 𝐾𝑤𝑆] 𝐾𝑡

𝜃 𝐾𝑡 = 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑉(𝑠) [(𝐽𝑆 2 + 𝐵𝑆)(𝑅 + 𝐿𝑆) + 𝐾𝑡. 𝐾𝑤𝑆] Reemplazamos en funcion de omega con valores y dividimos 0.005 0.01 𝜔 𝑠 2 0.005 + 𝑠0.51 + 1.0001 2 = = 2 𝑉 0.005 𝑠 + 𝑠102 + 200.02 Desarrollo Punto 2

2. Represente el sistema lineal mediante un diagrama de bloques. 𝜔 2 = 2 𝑉 𝑠 + 𝑠102 + 200.02 A partir de la ecuación se construye el diagrama despejando omega y construyendo la ecuación.

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KT

KB

1 𝑆 2 + 𝐵𝑆

M

𝑆2

1 + 𝐵𝑆

KT + M V(s )

𝐾𝑏

1 𝑅 + 𝐿𝑆 I(s)

M T(s )

T(t)

𝐽𝑆 2

1 + 𝐵𝑆 ∅(𝑠)

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Desarrollo Punto 3

3. Encuentre la función de transferencia del sistema a partir de la reducción del diagrama de bloques.

Se procede a simplificar el diagrama con el algebra de bloques: G1 =

𝐺2 =

1/𝑠 1 = 1 + 102/𝑠 𝑠 + 102

1/(𝑠 2 + 102𝑠) 1 = 2 2 1 + 200.02/(𝑠 + 102𝑠) 𝑠 + 102𝑠 + 200.02

Por ultimo se multiplica la ganancia 2 y se obtiene la función de transferencia finalmente. 2 𝐺= 2 𝑠 + 102𝑠 + 200.02

𝟏/(𝒔𝟐 + 𝟏𝟎𝟐𝒔) 𝟏 𝑮= = 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟐/(𝒔 + 𝟏𝟎𝟐𝒔) 𝒔 + 𝟏𝟎𝟐𝒔 + 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟐

18 AHORA MULTIPLICAMOS LA EXPRESION POR 2 𝑮=

𝒔𝟐

𝟏 + 𝟏𝟎𝟐𝒔 + 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟐

FUNCION DE TRANSFERENCIA VOLTAJE

SALIDA

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠 1/𝑠 1 G1 = = 1 + 102/𝑠 𝑠 + 102 G1 =

1/(𝑠 2 + 102𝑠) 2 = 2 2 1 + 200.02/(𝑠 + 102𝑠) 𝑠 + 102𝑠 + 200.02

Desarrollo Punto 4

4. Determine el error en estado estacionario del sistema.

Teniendo en cuenta la formula para el error en estado estacionario: 𝑅 𝑠→0 1 + 𝐺 ∗ 𝐻

𝑒𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚 Teniendo la constante Kp:

𝐾𝑝 = 𝑙𝑖𝑚 𝐺𝐻 𝑠→0

2 𝑠→0 𝑠 2 + 102𝑠 + 200.02

𝐾𝑝 = 𝑙𝑖𝑚 Tomando el límite:

19 𝐾𝑝 = 2/200.02 = 0.0099 Para el error en porcentaje se utiliza entonces: 𝑒𝑠𝑠 = 𝑒𝑠𝑠 =

100 1 + 𝐾𝑝

100 = 99.019% 1.0099

4. DETERMINE EL ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO DEL SISTEMA.

Teniendo en cuenta la formula para el error en estado estacionario:

En la ecuacion

𝑅

𝑒𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚 1+𝐺∗𝐻 𝑠→0

Usamos la constante kp para definir nuestra funcion de transferencia 2 100 = 0.0099 + 1 = = 99% 𝑠→0 𝑠 2 + 102𝑠 + 200.02 1.0099

𝐾𝑝 = 𝑙𝑖𝑚

Entonces según la operación el estacionariao corresponde al 99% 𝑅 𝑦 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘𝑝 𝑠→0 1 + 𝐺 ∗ 𝐻 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚

2 100 = 0.0099 + 1 = = 99% 𝑠→0 𝑠 2 + 102𝑠 + 200.02 1.0099

𝐾𝑝 = 𝑙𝑖𝑚 

El porcentaje determinado en el estado estacionario es del 99%

Desarrollo Punto 5

20 5. A partir de la ecuación característica determine la estabilidad del sistema. Teniendo la función de transferencia: G=

2 𝑠 2 + 102𝑠 + 200.02

Se procede a hallar los polos de la función, es decir las raíces del denominador 𝑠 2 + 102𝑠 + 200.02 = 0 −102 ± √1022 − 4 ∗ 200.02 𝑥= 2 𝑥=

−102 ± 97.99 2

𝑥 = −99.99

&

− 2.005

Por lo tanto, tiene un polo en -99.99 y el otro en -2.005, es estable ya que tiene polos en la izquierda del plano de Laplace. Práctica Matlab:

5. A PARTIR DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DETERMINE LA ESTABILIDAD DEL SISTEMA.

21 En la funcion de transferencia G=

𝑠2

2 + 102𝑠 + 200.02

Ahora buscamos los polos de la función. 𝐬𝟐 + 𝟏𝟎𝟐𝐬 + 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟐 = 𝟎 Usamos la funcion cuadratica para resolver esta escuacion

𝑥=

PRÁCTICA:

−102 ± √1022 − 4 ∗ 200.02 2

𝑥=

−102 + 97.99 = −99.99 2

𝑥=

−102 − 97.99 = −2.005 2

22

23

1. A partir de la ecuación característica determine la estabilidad del sistema. G1 =

1/(𝑠 2 + 102𝑠) 1 + 200.02/(𝑠 2 + 102𝑠)

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐺1 𝑒𝑛 𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑠𝑖 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑠 2 + 102𝑠 + 200.02 = 0 𝑥=

−𝐵 ± √𝐵 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−102 ± √1022 − 4 ∗ 200.02 −102 ± 97.99 = =⋯ 2 2 … − 3.005 − 0.995 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑥=

24

25 CONCLUSIONES



Este taller nos permite visualizar la importancia que tienen las herramientas matemáticas en la solución de problemas que de otra manera serían muy difíciles.



Fue muy importante ya que se pudo observar como los sistemas de control aportan al desarrollo de las ciencias y contribuye a resolver problemas en todas las disciplinas que está involucrado el hombre.



Queda demostrado que se aplico el uso de las ayudas que se nos compartieron tanto en el entorno de conocimiento como el de la web conference.

26 BIBLIOGRAFIA 

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Gil, R. M. (2003). Introducción rápida a Matlab y Simulink para ciencia e ingeniería. Madrid, ES: Ediciones Díaz de Santos. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=8&docID=11059 428&tm=1481843589138

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Soria, O. E., Martín, G. J. D., & Gómez, C. L. (2004). Teoría de circuitos Cap. 6-7. Madrid, ES: McGraw-Hill España. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=200&docID=104 98623&tm=1481843758253

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http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=29&docID=10853795&t m=1481844106731

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http://hdl.handle.net/10596/10876 Coll-Aliaga, C., Ginestar-Peiró, D., & Sánchez-Juan, E. (2012). Matemáticas II para ingenieros. Valencia, ES: Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=22&docID =10692821&tm=1481843396516

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