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• jose ochoa

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INTRODUCCIÓN El estudio de los sistemas dinámicos es de importancia ya que estos están relacionados con el mundo real. Por medio de ecuaciones diferenciales es posible describir el comportamiento de una gran cantidad de fenómenos físicos: vehículos espaciales, sistemas de guía de proyectiles, sistemas robóticos, entre otros. Cabe destacar la aplicación que las matemáticas tienen y la facilidad que produce su aplicación, como se plantea en la solución del problema, asumiendo la investigación y la habilidad de buscar la solución de forma coherente y bien sustentada con el fin de aplicar la solución de problemas.

2 RESUMEN DEL ANÁLISIS REALIZADO



Mediante el análisis del sistema y aplicación de modelo matemático del sistema lineal mediante una ecuación diferencial así como también el modelo matemático del sistema lineal en el espacio de estados mediante variables, realizamos la representación matemática en el tiempo del sistema. El desarrollo del ejercicio nos permitió el domino y conocimiento de los diferentes componentes del sistemas y su comportamiento cada uno dentro del sistema.

3 LISTADO DE CONCEPTOS CONOCIDOS  Espacio de estados: En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden.  Modelamiento Matemático: En ciencias aplicadas, un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.  Diagrama de Bloques: Es la representación gráfica del funcionamiento interno de un sistema, que se hace mediante bloques y sus relaciones, y que, además, definen la organización de todo el proceso interno, sus entradas y sus salidas  MATLAB: Sistema de identificación de la caja de herramientas, proporciona funciones de MATLAB, Simulink bloques, y una aplicación para la construcción de modelos matemáticos de sistemas dinámicos a partir de datos de entrada - salida medidos. Te permite crear y utilizar modelos de sistemas dinámicos no está modeladas fácilmente a partir de primeros principios o especificaciones. Puede utilizar los datos de dominio de tiempo y el dominio de la frecuencia de entrada-salida para identificar modelos de espacio de estado, funciones de transferencia de tiempo discreto, o de tiempo continuo y modelos de procesos.  Sistema: Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para alcanzar un objetivo específico.  Sistema de control: Es un conjunto de dispositivos encargados de implementar ciertas estrategias con el fin de lograr un resultado esperado.  Sistema multivariable: Es un sistema que se caracteriza por poseer un gran número de entradas y de salidas.  Sistema no lineal: Es cualquier sistema físico que no pueda ser representado mediante ecuaciones diferenciales o de diferencias de primer orden.  Constante de tiempo: Es el valor de tiempo propio de un sistema, el cual representa la rapidez con la cual este puede responder ante cambios en su entrada.  Ecuaciones diferenciales: Son ecuaciones que contienen las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Estas ecuaciones son utilizadas para representar sistemas en tiempo continuo.  Matriz: Es una colección de elementos arreglados en forma rectangular o cuadrada.

4  LISTADO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS  Diagrama de estado: Es una representación gráfica que se construye a partir de las ecuaciones diferenciales de un sistema, con el fin de determinar las variables y las ecuaciones de estado de este.  Observabilidad: Es una condición que expresa el hecho de que las variables de un sistema afectan a alguna de las salidas del mismo.  Estabilidad: Es una noción que describe si un sistema es capaz de seguir un comando de entrada, o en general, si dicho sistema es útil.  Linealización: Es el proceso mediante el cual, los sistemas no lineales, se llevan a un punto de operación en el cual las características de este sean más o menos lineales, con el fin de encontrar un modelo de representación más sencillo.

5 RESULTADO DE LAS CONSULTAS REALIZADAS PARA DAR SOLUCIÓN A LAS TAREAS DE LA ETAPA  DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada la corriente aplicada ii(t) y como variable de salida el voltaje en el condensador eo(t)=Vc(t)

El condensador posee una capacitancia C=1F. La resistencia es no lineal por lo que su corriente iR(t) depende de la raíz cuadrada del voltaje, esto es: √𝑒𝑜 (𝑡) 𝑖𝑅 (𝑡) = 𝑅 Donde R=01* (√V)/A (√Voltios/Amperios).  ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN  LLUVIA DE IDEAS La máquina describe un circuito RC y por medio de ecuaciones diferenciales es posible hallar el modelo matemático y se empieza por definir las variables que posee el circuito: 𝑖𝑖 (𝑡)= Corriente de entrada del circuito en el dominio del tiempo. 𝑖𝑅 (𝑡)= Corriente en la resistencia en el dominio del tiempo. 𝑖𝑐 (𝑡)= Corriente en el capacitor en el dominio del tiempo. Según la ley de Ohm, los voltajes en paralelo son iguales, entonces: 𝑽𝑶 = 𝒆𝒐 (𝒕) = 𝒗𝒄 (𝒕) Se verifica el comportamiento de la corriente en los elementos del circuito para proceder a encontrar la ecuación diferencial. La corriente en el capacitor en el tiempo está definida como el valor del capacitor por la rata de cambio del voltaje en el capacitor: 𝛿𝑒 𝑖𝑐 = 𝐶 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝛿𝑡

6 La corriente en la resistencia la define el ejercicio propuesto: 𝑖𝑅 (𝑡) =

√𝑒𝑜 (𝑡) 𝑅

Con las variables definidas se utiliza la ley de nodos: “la suma de las corrientes de entrada es igual a las suma de las corrientes de salida.” 𝒊𝒊 (𝒕) = 𝒊𝒄 (𝒕) + 𝒊𝑹 (𝒕) Con las ecuaciones definidas se reemplazan en la ecuación de la corriente de entrada para encontrar la ecuación diferencial de orden 1 y del resultado se procede a encontrar las variables de estado y aplicando la teoría de espacios de estados se obtendrá el sistema.

Teóricas: 1. Exprese el modelo matemático del sistema lineal mediante una ecuación diferencial. 𝑉𝑂 = 𝑒𝑜 (𝑡) = 𝑣𝑐 (𝑡) 𝑖𝑐 = 𝐶 Aplicando ley de nodos:

𝛿𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝛿𝑡 𝑖𝑖 (𝑡) − 𝑖𝑅 (𝑡) = 𝑖𝑐 (𝑡) 𝒊𝒊 (𝒕) = 𝒊𝒄 (𝒕) + 𝒊𝑹 (𝒕)

Entonces la corriente de entrada es: 𝑖𝑖 (𝑡) = 𝐶

𝛿𝑒 √𝑒𝑜 (𝑡) + 𝛿𝑡 𝑅

𝑅 ∗ 𝑖𝑖 (𝑡) = 𝑅 ∗ 𝐶

𝛿𝑒 + √𝑒𝑜 (𝑡) 𝛿𝑡

Se despeja R de la raíz:

Y se deja la derivada sin constantes: 𝛿𝑒 √𝑒𝑜 (𝑡) 𝑖𝑖 (𝑡) + = 𝛿𝑡 𝑅∗𝐶 𝐶 Reemplazando el valor de R en la ecuación: 𝜹𝒆 √𝒆𝒐 (𝒕) 𝒊𝒊 (𝒕) + = 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝟏) 𝜹𝒕 𝟎. 𝟏 ∗ 𝑪 𝑪

7 2. Exprese el modelo matemático del sistema lineal en el espacio de estados mediante variables de estados. 𝑥(𝑡) = 𝑒𝑜 (𝑡); 𝑢(𝑡) = 𝑖𝑖 (𝑡); 𝑦(𝑡) = 𝑒𝑜 (𝑡) Se reemplazan los valores en la ecuación diferencial, √𝑥(𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑥̇ (𝑡) + = 0.1 ∗ 𝐶 𝐶 Despejando 𝑥̇ (𝑡), 𝑥̇ (𝑡) = −

√𝑥(𝑡) 𝑢(𝑡) + 0.1 ∗ 𝐶 𝐶

Espacio de estados no lineal, 𝑥̇ (𝑡) =

𝑥(𝑡) 0.1 ∗ 𝐶 ∗ √𝑥(𝑡)

+

𝑢(𝑡) 𝐶

Con C=1, 𝑥̇ (𝑡) =

𝑥(𝑡) 0.1 ∗ √𝑥(𝑡)

+ 𝑢(𝑡)

Entonces, 𝒙(𝒕) = 𝒚(𝒕) 3. Cuando la entrada del sistema es constante 𝒊𝒊 (𝒕) = 𝑰𝒊 = 𝟏𝟎𝑨, el sistema se estabiliza en un punto de operación 𝒆𝒐 (𝒕) = 𝑬𝒐 = 𝟏𝑽. Exprese el modelo matemático linealizado mediante una ecuación diferencial.   

𝑖𝑖 (𝑡) = 𝐼𝑖 = 10𝐴 𝑒𝑜 (𝑡) = 𝐸𝑜 = 1𝑉 𝐶 = 1𝐹

Se utiliza la ecuación de la ecuación diferencial y se aplica la ley de Ohm donde se obtiene que: 𝑉𝑖(𝑡) = 𝑣𝑜 (𝑡) 𝛿𝑒 𝑖𝑖 (𝑡) √1 + = 𝛿𝑡 0.1 ∗ 1 1 𝜹𝒆 + 𝟏𝟎 = 𝒊𝒊 (𝒕) 𝜹𝒕

(𝟐)

4. Exprese el modelo matemático linealizado en el espacio de estados mediante variables de estados. Se utiliza la ecuación 2: 𝜹𝒆 + 𝟏𝟎 = 𝒊𝒊 (𝒕) 𝜹𝒕 𝑥(𝑡) = 𝑒𝑜 (𝑡);

𝑢(𝑡) = 𝑖𝑖 (𝑡);

𝑦(𝑡) = 𝑒𝑜 (𝑡)

8 𝜹𝒆

Se despeja 𝜹𝒕 , 𝛿𝑒 = −10 + 𝑖𝑖 (𝑡) 𝛿𝑡 Reemplazando, 𝑥̇ (𝑡) = −10 + 𝑢(𝑡) 𝒙(𝒕) = 𝒚(𝒕) 5. Determine la controlabilidad y la observabilidad del sistema lineal. 𝑥̇ (𝑡) = −10 + 𝑢(𝑡) Constantes, 𝐴 = −10

𝐵=1

𝐶=1

𝐷=0

𝑥̇ = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) La matriz de controlabilidad está dada por: 𝐶 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵 … 𝐴𝑛−1 𝐵]1𝑥𝑛 Debido a que es una matriz de primer orden la matriz queda, 𝐶=𝐵=1 Matriz de observalidad, 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴2 𝑂= . . . [𝐶𝐴𝑛−1 ] Dado que se trata de un sistema de primero orden queda que, 𝑂=𝐶=1 y que el rango es igual a 1, esto significa que es observable.

9 CONCLUSIONES 

El desarrollo del trabajo colaborativo nos mostró de una forma analítica como resolver circuitos basándonos en modelamiento matemático y otras herramientas de análisis matemático como las ecuaciones diferenciales lo que nos permiten diferenciar y resolver los distintos problemas que se plantean como los sistemas de control dentro del curso de sistemas dinámicos.

10 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Anexos/anexo _ve.pdf  https://www.youtube.com/watch?v=1zcPjcbLPh8  https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_estados  https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico  https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_bloques  https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_control  http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Anexos/anexo _ve.pdf  https://www.youtube.com/watch?v=1zcPjcbLPh8