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• JaimeFlorianBartolomePallaca

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ESTADO PLANO DE DEFORMACIONES Si consideramos un elemento sometido a un estado plano de esfuerzos, los esfuerzos normales tenderán a alargar ó acortar el elemento diferencial en la dirección en que actúen, produciendo deformaciones normales unitarias (Є). El esfuerzo cortante distorsionará el elemento en el plano en que actúe, produciendo una deformación angular ( ). Entonces, un elemento diferencial en el plano puede sufrir tres deformaciones, como se muestra en la figura.

Por consiguiente el estado plano de deformaciones en un punto queda definido por dos deformaciones normales (ЄX, Єy ) y una angular xy , como se muestra en la figura. Asi mismo se desarrolla las expresiones para determinar las deformaciones normal y angular (ЄX, xy ) de una nueva orientación de ejes (x´, y´) definidos por el ángulo θ de la figura.

TRANSFORMACIÓN DE DEFORMACIONES PLANAS Ahora enfocaremos nuestra atención en encontrar las deformaciones unitarias normales y tangenciales para cualquier dirección en un elemento diferencial deformado.

Consideremos el elemento diferencial cortado en la dirección , como se muestra en la figura. En primer lugar, estableceremos los alargamientos totales en las direcciones x e y, despreciando los términos que resulten de segundo orden :

DEFORMACIONES PRINCIPALES Y CÍRCULO DE MOHR

MEDICION DE LAS DEFORMACIONES

LEY DE HOOKE GENERALIZADA

CONSTANTES DE LAME Y MODULO VOLUMETRICO Las ecuaciones en el estado de esfuerzos se puede escribir como

x = ( +2)Єx +  (Єy + Єz ) y = ( +2)Єy +  (Єx + Єz ) x = ( +2)Єz +  (Єx+ Єy ) xy = xy yz = yz xz = xz Donde  y  se denominan constantes de lame y  = G y  esta dada por la siguiente expresión.

 =

𝐸 (1+)( 1−2 )

ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA ESFUERZO CIRCUNFERENCIAL Supongamos un cilindro que contiene a un fluido con presión y que hace un diagrama de cuerpo libre tal como se muestra en la figura en la que actúa los esfuerzos circunferenciales 1 y la presión interna p no tomamos el peso del recipiente y de su contenido.

Planteando el equilibrio se tiene

1.(2bt) – 2pbr = 0 Donde t es el espesor de la pared P1 es la fuerza resultante de la presión interna y es igual a 2pbr r es el radio interior del cilindro Que luego de despejar se tiene. 𝑝𝑟

1 = . 𝑡

ESFUERZO LONGITUDINAL Los esfuerzos que actúan en el sentido longitudinal 2 y tienen una fuerza resultante igual a

2 . (2∏rt) y la fuerza resultante P2 de la presión interna es p∏r2 por tanto el equilibrio es:

2.( 2∏rt ) – 2p∏r2 = 0 Despejando se tiene 𝑝𝑟

2 = . 2𝑡

ESFUERZOS EN LA SUPERFICIE EXTERIOR Estos son 1 y 2 son principales Los esfuerzos cortantes máximos en el plano ocurren sobre planos que están girados 45º con respecto al eje z y son

max

1−2 =

1 =

2

4

𝑝𝑟 =

4𝑡

Los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano se obtiene mediante rotaciones de 45º con respecto a los ejes x,y son

max

1 =

𝑝𝑟 =

2

max

2𝑡

2 =

𝑝𝑟 =

2

4𝑡

el cortante máximo absoluto es:

max

1 =

2

𝑝𝑟 =

2𝑡

Esfuerzos en la superficie interior Los esfuerzos principales son 𝑝𝑟

𝑝𝑟

1 = . 𝑡

2 = . 2𝑡

3 = -p

Y los esfuerzos cortantes máximos obtenidos mediante rotaciones de 45º con respecto a los ejes x,y, z son: (max)x =

1−3

(max)y =

2−3

(max)z =

1−2

2

2

2

𝑝𝑟 =

4𝑡 𝑝𝑟

=

4𝑡

𝑝

+2

𝑝

+2

𝑝𝑟 =

4𝑡

PARA EL CASO DE UN CASCARON ESFÉRICO EL ESFUERZO ES:

𝑝𝑟

 = . 2𝑡

Los esfuerzos principales son 𝑝𝑟

1 = 2 = . 2𝑡

3 = 0

Los esfuerzos en la superficie interior son 𝑝𝑟

1 = 2 = . 2𝑡 max =

 +𝑝 2

3 = -p 𝑝𝑟

=

4𝑡

𝑝

+2