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FACULTAD DE INGENIERIA Escuela de Ingeniería Civil

MSc. Hebert Vizconde Poémape

Estado de esfuerzo plano Representación del estado de esfuerzo plano

El estado de esfuerzo en un punto puede describirse en un número infinito de maneras en la que son todas equivalentes

Sea el estado de esfuerzo para un elemento de espesor unitario mostrado en la figura. Una representación alternativa del estado de esfuerzos en el mismo punto puede darse sobre una cuña infinitesimal con un ángulo α = 22½º. Determinar: (a)¿Cuáles son los esfuerzos que actúan sobre el plano AB de la cuña para mantener al elemento en equilibrio?

AB de área de 1 m2 Área del plano AC: 1 m2 x cos α = 0.924 m2 Área del plano BC: 1 m2 x sen α = 0.383 m2

F1 F2 F3 F4

= = = =

3 2 2 1

x 0.924 x 0.924 x 0.383 x 0.383

= = = =

2.780 MN 1.850 MN 0.766 MN 0.383 MN

ΣFN ⇒ N = F1 cos α – F2 sen α – F3 cos α + F4 sen α = 2.78( 0.924) – 1.85(0.383) – 0.766(0.924) + 0.383(0.383) = 1.29 MN ΣFS ⇒ S = F1 sen α – F2 cos α – F3 sen α + F4 cos α = 2.78( 0.383) – 1.85(0.924) – 0.766(0.383) + 0.383(0.924) = 2.12 MN Las fuerzas así determinadas N y S actúan sobre el plano definido por AB, que se supuso inicialmente con una área 1m2. Sus signos positivos indican que sus direcciones supuestas se escogieron correctamente. Dividiendo esas fuerzas entre el área en que actúan, se obtienen los esfuerzos que actúan sobre el plano AB: σα = 1.29 MPa τα = 2.12 Mpa y que actúan en la dirección mostrada.

El área de la sección transversal inclinada es A/cosθ. Por tanto: El esfuerzo normal σθ y el esfuerzo cortante τθ, están dados por las dos ecuaciones siguientes: Pcosθ P σθ = = cos 2θ A A cosθ

τθ =

Psenθ P = senθ cosθ A A cosθ

σ θ −90 =

τ θ −90 =

Psenθ P = sen 2θ A A senθ P cosθ P = senθ cosθ A A senθ

Transformaciones de esfuerzos en problemas bidimensionales

σ y' =

σ x +σ y 2

−

σ x −σ y 2

cos 2θ − τ xy sen2θ

σ x' + σ y' = σ x + σ y

La manera en que varían los esfuerzos normales y cortantes se presenta en la figura, que es una grafica de σx´ y τx´y´ versus el ángulo θ. La grafica está trazada para el caso particular σy = 0.2σx y τxy = 0.8 σx. En ella vemos que los esfuerzos varían de modo continuo conforme la orientación del elemento cambia. En ciertos ángulos, el esfuerzo normal alcanza un valor máximo o mínimo; en otros, se vuelve cero. De forma similar, el esfuerzo cortante tiene valores máximo y mínimo y cero en ciertos ángulos.

Esfuerzos principales en problemas bidimensionales

σ x −σ y ∂σ x ' 2 sen2θ + 2τ xy cos 2θ = 0 =− 2 ∂θ

Esfuerzos cortantes máximos en problemas bidimensionales

Circulo de Mohr para problemas bidimensionales Las ecuaciones básicas de transformación, serán reexaminadas para interpretarlas gráficamente, con ello se persigue dos objetivos. Primero, al interpretar gráficamente esas ecuaciones se tendrá una mejor idea del problema general de la transformación del esfuerzo. En segundo lugar, con ayuda de la construcción gráfica puede obtenerse una solución más rápida de los problemas de transformación de esfuerzos.

σ x' −

σ x +σ y

τ x' y' = −

2

=

σ x −σ y 2

σ +σ y   σ x ' − x 2 

σ x −σ y 2

cos 2θ + τ xy sen2θ

sen2θ + τ xy cos 2θ

 σ −σ y  + τ 2 x ' y ' =  x 2   2

2

  + τ xy 

(σ x ' − a )2 + τ 2 x ' y ' = b 2 a = OC =

b=R=

σ x +σ y 2

(

σ x −σ y 2

)2 + τ 2 xy

Un número infinito de posibles estados de esfuerzo dependientes del ángulo θ están definidos por el círculo de esfuerzos. Por tanto, pueden hacerse las siguientes importantes observaciones relativas al estado de esfuerzo en un punto con base en el círculo de Mohr: 1. El esfuerzo normal máximo posible es σ1; el mínimo es σ2. Ningún esfuerzo cortante existe junto con cualquiera de esos esfuerzos principales. 2. El esfuerzo cortante máximo τmáx es numéricamente igual al radio del círculo, es decir (σ1 - σ2)/2. Un esfuerzo normal igual a (σ1 + σ2)/2 actúa sobre cada uno de los planos de esfuerzo cortante máximo. 3. Si σ1 = σ2, el círculo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningún esfuerzo cortante se desarrolla en absoluto en el plano x-y. 4. Si, σx + σy = 0, el centro del círculo de Mohr coincide con el origen de las coordenadas σ-τ y entonces existe el estado de cortante puro. 5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente perpendiculares cualquiera es invariable o invariante; es decir: σx + σy = σ1 + σ2 = σx’ + σy’

En el primer procedimiento se muestran claramente los planos físicos sobre los que actúan los esfuerzos transformados; en el segundo, la deducción de la transformación del esfuerzo es más sencilla, aunque la determinación de la dirección del esfuerzo transformado es algo menos conveniente. Escoger un método u otro es asunto de preferencia. Método 1:

Método 2:

1. Un elemento en esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos como se describen en la figura. Determinar los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado a un ángulo θ=60° respecto al eje X, donde el ángulo θ es positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj. Muestre estos esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado según el ángulo θ.

2. En un punto sobre la superficie de una máquina el material se encuentra en esfuerzo biaxial, según se ve en la primera parte de la figura ; la segunda parte presenta un plano inclinado aa cortado a través del mismo punto en el material, pero orientado según el ángulo θ. Determine el valor del ángulo θentre 0 y 90° tal que ningún esfuerzo normal actúe sobre el plano aa. Esboce un elemento de esfuerzo que tenga el plano aa como uno de sus lados y muestre todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento.

3. Un muro de cortante de un edificio de concreto reforzado está sometido a una carga vertical uniforme de intensidad q y una fuerza horizontal H, como se muestra en la primera parte de la figura. (La fuerza H representa a los efectos del viento y a las cargas por sismo.) Como consecuencias de estas cargas, los esfuerzos en el punto A sobre la superficie del muro tiene los valores mostrados en la segunda parte de la figura (esfuerzo de compresión de 1100 psi y esfuerzo cortante igual a 480 psi). a) Determine los esfuerzos principales y muéstrelos sobre un diagrama de un elemento orientado de manera apropiada. b) Determine los esfuerzos cortantes máximos y los esfuerzos normales asociados y muéstrelos sobre un diagrama de un elemento orientado apropiadamente.

Esfuerzos Principales

Esfuerzo cortante máximo

4. Un elemento en estado uniaxial de esfuerzos esta sometido a esfuerzos de tension, como se muestra en la figura. Con el circulo de Mohr, determine: a) Los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado según un ángulo contrario a las manecillas del reloj θ=24° respecto al eje X b) Los esfuerzos cortantes máximos y los esfuerzos normales asociados. Presente los resultados en diagramas de elemento bien orientado.

5. Un elemento en el esfuerzo plano en la superficie de una máquina

grande está sometido a esfuerzos σx=15 000 Psi, Txy=4000 Psi, como se muestra en la figura.

A

σy=5000

Psi y

Determine las siguientes cantidades usando el círculo de Mohr: a) Los esfuerzos que actúan sobre un elemento inclinado un ángulo θ=40° b) Los esfuerzos principales y c) Los esfuerzos cortantes máximos (considere sólo los esfuerzos en el plano y muestre todos los resultados sobre croquis de elementos orientados de forma apropiada).

S2(θs2= 64.3°)

500 0

D(θ=4 0°)

40 00

0

40 00

P2 (θp2=109.3°)

41.34 500 0

c

38.6 6

8 0

P1(θp1=19 .3°)

A(θ=0 °) S1 (θs1=25.7°)

10 000 15 000

Tx1y1

σx1

Bibliografía BIBLIOGRAFIA (1) “Introducción a la deformación plástica”. . Ulises H. Ladera. 12-20, págs. (2) “Mecánica de Sólidos”. Egor P. Popov”. 481-495 págs.. Dr. Ing. Norberto D. Ñique G.