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• Gerardo Alonso

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MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 3. DEFORMACIONES 3.1 GENERALIDADES Toda obra de ingeniería civil se puede analizar desde dos puntos de vista: a) Mediante el criterio de resistencia, en el cual se busca que los esfuerzos actuantes sean menores que los esfuerzos resistentes del material. Con este criterio se define el factor de seguridad como el cociente entre el esfuerzo resistente y el esfuerzo actuante. Las normativas y las diversas metodologías de diseño determinan los valores de los factores de seguridad para cada tipo de análisis. b) Mediante el criterio de deformación. Se busca que las deformaciones que sufra una estructura no sean excesivas, pues si esto ocurre, la estructura podría verse afectada en su funcionamiento. Deformación es el cambio de la forma de un medio continuo, de una configuración de referencia y una configuración deformada. Esto se debe al cambio de configuración relativa que existe entre las diferentes partículas que lo forman. Cuando a un cuerpo real se le somete a la acción de un sistema de fuerzas cualesquiera, por ejemplo el de la figura siguiente, puede sufrir un cambio de forma, un cambio de volumen o un cambio de lugar.

Si la intensidad de las fuerzas aumenta puede ocurrir la ruptura total del cuerpo y por lo tanto el desequilibrio del sistema de las fuerzas que actúan en él. Se puede observar que la deformación ocasionada en un cuerpo por un sistema de fuerzas en equilibrio depende de las características del sistema de fuerzas y del cuerpo mismo. La deformación en cualquier medio continuo se puede describir como recuperable, condición que se define como elástica o, en su defecto, puede ser permanente o plástica. El rango elástico de la deformación se presenta previo a la existencia de las deformaciones no recuperables. En muchos casos, como por ejemplo metales y cerámicos, las deformaciones elásticas son muy pequeñas, razón por la cual se describen como infinitesimales; sin embargo existen algunos materiales como los elastómeros (hules) que 1

se caracterizan por presentar grandes deformaciones elásticas, las cuales se describen como finitas. Las deformaciones plásticas presentan, normalmente, mayores magnitudes que las encontradas en el rango elástico; no obstante, existen casos (materiales frágiles) en los que el rango plástico de la deformación puede ser despreciable o de magnitud comparable al elástico, por ejemplo en cerámicos y metales muy endurecidos. Por su parte, los metales suaves y muchos de los polímeros se caracterizan por alcanzar grandes deformaciones no recuperables antes de la fractura. Resulta evidente que la descripción de la deformación dependerá de las magnitudes que ésta alcance, ya que las condiciones de desplazamiento infinitesimal permitirán la simplificación de las expresiones, sin embargo, para el caso de deformaciones finitas, se incurrirá en graves errores si se tratan así. Ahora bien, para describir la deformación de cualquier medio continuo se debe partir del análisis de su movimiento sin atender, por el momento, a las causas que lo producen. Los cuerpos se pueden clasificar en cuanto a su deformabilidad en: a) Cuerpo rígido: es aquél que no sufre deformación alguna antes de ocurrir la falla del cuerpo. b) Cuerpo deformable: es aquél que acepta deformaciones grandes inclusive antes de ocurrir la falla del cuerpo. El análisis de cuerpo rígido trata los efectos exteriores de las fuerzas sobre el cuerpo, al mismo tiempo estudia el cambio de lugar de éste, lo cual es tema de otra materia. El análisis de cuerpo deformable trata los efectos internos de las fuerzas al actuar sobre el cuerpo, este tema es el que estudia la mecánica de los medios continuos. 3.2 TENSORES GRADIENTE DE DEFORMACIÓN Consideremos que dos partículas muy próximas del medio continuo P y Q que en configuración de referencia están unidas por el vector diferencia dX pasan ahora en configuración deformada a ser las partículas que se ubican en las posiciones p y q, y el vector diferencial que las une es ahora dx. Se muestran esquemáticamente ambos vectores diferenciales: En configuración deformada para un tiempo t = t, el vector diferencial dx se puede expresar como función de sus componentes como 𝑑𝐱 = 𝑑𝑥% 𝐞'% Donde la ecuación del movimiento 𝐱 = φ(𝐗, 𝑡) , para un vector diferencial resulta ser 𝑑𝐱 = φ(𝑑𝐗, 𝑡). Si diferenciamos respecto a las componentes de su posición de referencia obtenemos 𝑑𝐱 =

𝜕𝑥% 𝜕𝑥% 𝑑𝑋1 𝐞'% = 𝐞' 𝑑𝑋 𝜕𝑋0 𝜕X0 % 1 2

Deformación de un medio continuo

En esta ecuación, a la expresión: 𝑑𝐱 =

𝜕𝑥% 𝑑𝑋 𝜕𝑋0 1

Se le llama ecuación fundamental de la deformación. Establece la relación entre la dirección y magnitud del vector definido por los puntos materiales P y Q (ó p y q) en el instante inicial t=0 y de referencia t=t. De manera similar, el vector diferencia dX se puede expresar como función de sus componentes como 𝑑𝐗 = 𝑑𝑋% 𝐞'% Multiplicándola por el vector unitario 𝐞'1 encontramos que 𝑑𝐗 ∙ 𝐞'1 = 𝑑X4 𝐞'% ∙ 𝐞'1 = 𝑑X4 δ%1 = 𝑑𝑋1 Aprovechando la propiedad conmutativa del producto escalar de dos vectores, podemos igualar la ecuación anterior a 𝑑𝑋1 = 𝐞'1 ∙ 𝑑𝐗 67

Substituyéndola en la ecuación 𝑑𝐱 = 698 𝐞'% 𝑑𝑋1 , se tiene :

𝑑𝐱 =

𝜕𝑥% 𝐞' ;𝐞' ∙ 𝑑𝐗< 𝜕𝑋1 % 1

Si utilizamos la igualdad 𝐚(𝐛 ∙ 𝐜) = (𝐚⨂𝐛) ∙ 𝐜 3

La ecuación puede escribirse como 𝑑𝐱 =

𝜕𝑥% ;𝐞' ⨂ 𝐞'1 < ∙ 𝑑𝐗 𝜕𝑋1 %

Si se define el tensor material gradiente de la deformación F como 𝐅=

𝜕𝑥% 𝐞' ⨂ 𝐞'1 𝜕𝑋1 %

Que también se puede expresar como D= 𝛁

𝜕 𝐞' 𝜕𝑋% %

Donde 𝐞'% ⨂ 𝐞'1 es la base tensorial, las componentes del tensor material gradiente de deformación se obtienen por

D Que se expresa en forma compacta: 𝐅 = 𝐱⨂ 𝛁 La matriz de componentes de F con respecto al sistema coordenado de vectores base ei es

67

Los términos 698 Se denominan gradientes materiales de deformación porque describen el :

movimiento relativo de las partículas con respecto a las partículas circundantes en un entorno diferencial. Observación: A pesar de su importancia en el análisis de deformaciones, el tensor F no es una medida de la deformación, dado que toda medida de deformación debe permanecer sin cambios en el movimiento de un cuerpo rígido. 67

La ecuación 𝑑𝐱 = 698 ;𝐞'% ⨂ 𝐞'1 < ∙ 𝑑𝐗 se puede escribir como :

𝑑𝐱 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐗 o en notación indicial como 𝑑𝑥% = 𝐹%1 ∙ 𝑑𝑋1 4

Si despejamos de la ecuación para dx el diferencial dX, podemos escribir 𝑑𝐗 = 𝐅 FG ∙ 𝑑𝐱 Donde F-1 se denomina tensor espacial gradiente de la deformación, cuyas componentes son:

Y en forma compacta: 𝐅 FG = 𝐗⨂ 𝛁 Y podemos escribir 𝑑𝑋% = 𝐹%1FG ∙ 𝑑𝑥1 En notación matricial las componentes de este tensor se ordenan en una matriz de la forma:

Ambos tensores gradientes de la deformación son bastante útiles, ya que permiten relacional las configuraciones de referencia y deformada. 3.4 TENSORES GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTO Como quedó definido en el estudio de desplazamiento, el desplazamiento se expresa por u = x- X Al despejar las componentes y expresarlas en notación indicial tenemos x i = Xi + u i que podemos substituir en la ecuación para las componentes del tensor material gradiente 67 de deformación 𝐹%1 = 698 , de modo que tendremos :

𝐹%1 =

𝜕 𝜕𝑢% (𝑋% + 𝑢% ) = 𝛿%1 + 𝜕𝑋1 𝜕𝑋1

Si definimos las componentes 𝐽%1 = 5

𝜕𝑢% 𝜕𝑋1

Entonces el tensor material gradiente de desplazamiento se expresa como 𝐉 = 𝐽%1 𝐞'% ⨂ 𝐞'1 De esta manera, el tensor material gradiente de deformación se puede expresar en notación tensorial por F=I+J Por otro lado, si despejamos las coordenadas materiales de la ecuación de desplazamiento u = x- X , y las expresamos en notación indicial, tenemos: Xi = x i – u i que substituyendo en 𝐹%1FG =

𝜕𝑋% 𝜕𝑥1

Se obtiene 𝐹%1FG =

𝜕 𝜕𝑢% (𝑥% − 𝑢% ) = 𝛿%1 − 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1

Si definimos ahora las componentes 𝑗%1 =

𝜕𝑢% 𝜕𝑥1

Entonces el tensor espacial gradiente de desplazamiento se expresa como 𝐣 = 𝑗%1 𝐞'% ⨂ 𝐞'1 Y el tensor espacial gradiente de deformación se puede expresar en notación tensorial por F-1 = I - j Ambos son bastante útiles para obtener los tensores de deformaciones infinitesimales. 3.5 MOVIMIENTO DE SÓLIDO RÍGIDO La ecuación del movimiento 𝐱 = 𝜑(𝐗, 𝑡) da la posición x de las partículas del medio continuo para cada instante de tiempo. Durante un movimiento de sólido rígido el medio de mueve sin cambiar su forma original. Para todas las partículas del medio continuo, como P y Q, el vector 𝑑𝐱G = 𝑑𝐗G en todos los instantes del tiempo t. Lo mismo sucede con el vector 𝑑𝐱 Q = 𝑑𝐗 Q que une las partículas P y S. Tampoco debe haber cambio entre el ángulo que forman dos vectores cualesquiera que unen distintas partículas del medio continuo. Es decir, el ángulo 𝛽 = 𝛼 para cualquier instante de tiempo.

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Existen dos tipos de movimiento de sólido rígido: la traslación y la rotación. Durante el movimiento de traslación todas las partículas del medio continuo presentan el mismo desplazamiento en cada instante de tiempo. Por tanto este movimiento se describe por x = X + c (t) Donde el vector c es independiente de la posición y solo depende del tiempo. Por otro lado, la rotación es aquella en la que el medio continuo rota alrededor de un eje cualquiera que pasa por el origen O. El movimiento de rotación se describe entonces por x = Q (t) · X Donde Q es una matriz de rotación que depende del tiempo t. Es en general no simétrica pero tiene la propiedad de ser ortogonal. Un movimiento de sólido rígido puede estar compuesto por ambos tipos, lo que da lugar a la expresión general del movimiento del sólido rígido:

La importancia de esta ecuación radica en conocer cuando una medida de deformación es confiable. Sabemos que cuando un medio continuo sufre un movimiento de sólido rígido, la posición relativa de sus partículas no cambia. Es decir, no existe deformación entre la configuración inicial y la configuración deformada. Sabemos que el tensor material gradiente de deformación F mide una deformación entre las partículas del medio continuo (como vimos en la segunda figura de este tema). Si calculamos el tensor material gradiente de la deformación de un sólido rígido sustituyendo la ecuación x = Q (t) · X + c (t) en 7

67

𝐹%1 = 698 , obtenemos :

F = Q (t) Lo que quiere decir que en un movimiento de sólido rígido existe una deformación igual a Q (t), lo cual no es correcto pues siendo sólido rígido la deformación es nula, entonces no podemos usar el tensor material gradiente de deformación para medir las deformaciones que se presentan. La ecuación inversa del movimiento de sólido rígido se obtiene a partir de x = Q (t) · X + c (t) despejando X: X = QT (t) · x - QT(t) c (t) Se puede demostrar también que el tensor espacial gradiente de deformación F-1 no cumple con la definición de movimiento de sólido rígudo al sustituir la ecuación anterior en 𝐹%1FG =

𝜕𝑋% 𝜕𝑥1

Sin embargo, como veremos a continuación, los tensores gradientes de deformación son de gran utilidad para encontrar expresiones que permitan medir deformaciones correctamente. 3.6 ESTIRAMIENTOS Y ALARGAMIENTO UNITARIOS Consideremos el diferencial dX que va del punto P al punto Q en configuración de referencia, además un vector unitario 𝑡̅ con la misma dirección y una longitud dS entre ambos puntos. También consideremos el diferencial dx que va de p a q en configuración deformada, con una longitud ds y un vector unitario t.

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El estiramiento l de P a Q se define como el cociente

Mientras que el alargamiento unitario e de P a Q se define por

En ingeniería, el alargamiento unitario es mejor conocido como deformación. Despejando, podemos expresar el estiramiento como

De donde resulta una función del alargamiento unitario. 3.7 DEFORMACIÓN UNIDIMENSIONAL Considérese una deformación que transforma la barra entre los puntos P y Q en configuración de referencia con longitud inicial L, en una barra deformada con longitud l = L + DL en configuración deformada.

La medida de deformación ingenieril eING presentada en los libros de mecánica de sólidos y resistencia de materiales, también conocida como deformación de Cauchy, es

Esta medida es lineal y por lo tano adecuada para deformaciones infinitesimales. Hay qué resaltar que esta medida de la deformación es por unidad de longitud inicial L. Para el caso de que se tengan que medir grandes deformaciones, la forma adecuada de hacerlo es utilizando la deformación logarítmica eLN, también conocida como deformación natural:

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Esta consiste en sumar todos los pequeños incrementos de deformación Dl/l cuando la barra se estira continuamente desde su longitud inicial L hasta su longitud deformada l. Para el caso de deformaciones muy pequeñas podemos demostrar la similitud de resultados entre la deformación logarítmica y la deformación ingenieril. Ya que en la realidad ningún material de ingeniería se comporta verdaderamente lineal, la deformación que deberíamos usar siempre es la deformación logarítmica. Sin embargo, pasarla del espacio unidimensional al espacio tridimensional es complejo y numéricamente costoso. Por lo anterior, en la mecánica de medios continuos es común utilizar otras expresiones como medida de deformación, tal como la deformación de Green-Lagrange:

La razón por la que está dividida entre 2L2 y no simplemente entre L2, es porque debe cumplir tanto para deformaciones infinitesimales como para grandes deformaciones. Por lo anterior, si Dl es muy pequeño tenemos:

Se ha despreciado el término (Dl)2 por ser muy pequeño. De modo que la deformación Green – Lagrange y la deformación ingenieril tienen prácticamente el mismo valor cuando ∆𝑙 → 0. De ahí la necesidad de dividir entre dos. Otra medida de deformación muy socorrida en mecánica de medios continuos es la de Almansi:

A diferencia de la Green – Lagrange, se mide respecto a la configuración deformada. La figura siguiente muestra la variación con las diferentes medidas de deformación.

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3.8 TENSORES DE DEFORMACIÓN En el proceso de deformación dos partículas muy próximas que ocupan los puntos P y Q antes de la deformación se desplazan a los puntos p y q respectivamente en la configuración deformada.

Sea dS la longitud entre las partículas P y Q, entonces para la configuración de referencia tenemos

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Utilizando la ecuación del tensor espacial gradiente de la deformación 𝑑𝑋% = 𝐹%1FG ∙ 𝑑𝑥1 , la ecuación anterior puede expresarse por FG FG (𝑑𝑆)Q = (𝐹Z% 𝑑𝑥% );𝐹Z1 𝑑𝑥1