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• Karen Montaño

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Institución Educativa Técnica Comercial – LITECOM Conceptos y Aplicaciones de Estadística – Grado 10º

Asignatura: Estadística Tema: Estadística Descriptiva

Tiempo de trabajo Aprox. 20h Periodos I

Competencia:

Relación con otras áreas:

Recoge y organiza la información en tablas de frecuencias, analiza

física, Sociales,

y determina las diferentes medidas centrales, de posición como

Contabilidad.

factor en la toma de decisiones. Sesión 1 Objetivo: Analizar un conjunto de datos a partir de las tablas de frecuencia y la representación gráfica en una situación determinada. Profundización La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población. •

Estadística descriptiva. Realiza el estudio sobre la población completa, observando una característica de la misma y calculando unos parámetros que den información global de toda la población.

•

Estadística inferencial. Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la población.

Conceptos básicos. Ya hemos hablado de ellos en los ejemplos anteriores, en cualquier estudio estadístico aparecerán los conceptos: individuo, cada uno de los elementos, personas u objetos que se van a estudiar; población, que es el conjunto formado por todos los elementos a los que les vamos a hacer el estudio; muestra, el subconjunto de la población que elegimos para hacer un estudio más reducido. Cada una de las características que se estudian se llama variable estadística. Aunque este es el concepto que vamos a utilizar, también reciben el nombre de carácter estadístico. Dependiendo de la característica podemos distinguir varios tipos de variables: •

Variable cualitativa. Es aquella característica que no podemos expresar con números y hay que expresarla con palabras. Por ejemplo, el lugar de residencia.

•

Variable cuantitativa. Es cualquier característica que se puede expresar con números. Por ejemplo, el número de hermanos o la estatura. Dentro de esta variable cuantitativa podemos distinguir dos tipos:

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Samuel García agredo Grado 10-3 LITECOM

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Variable cuantitativa discreta. Es aquella variable que puede tomar únicamente un número finito de valores. Por ejemplo, el número de hermanos.

•

Variable cuantitativa continúa. Es aquella variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo real. Por ejemplo, la estatura.

Frecuencia absoluta. Es el número de veces que aparece cualquier valor de la variable. Se representa por 𝑓𝑖. En algunos libros de texto la encontraremos representada por 𝑛𝑖. Frecuencia absoluta acumulada. Es la suma de la frecuencia absoluta de un valor de la variable con todos los anteriores. Se representa por 𝐹𝑖. Frecuencia relativa. Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de datos (𝑛). Se representa por ℎ𝑖. Al multiplicarla por 100 obtenemos el porcentaje de individuos que presentan esta característica. Frecuencia relativa acumulada. Es la suma de la frecuencia relativa de un valor de la variable con todos los anteriores. También se puede definir como el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos. Se representa por 𝐻𝑖. Como puedes observar no se han tenido en cuenta las variables cualitativas. Esto se debe a que al no trabajar con números no se pueden hacer operaciones. Únicamente tendría sentido en la tabla construir las columnas de frecuencias absolutas y relativas, pero no las acumuladas.

En ese orden, para elaborar una tabla de distribución de frecuencias se debe tener en cuenta la siguiente simbología. • • •

𝑵: tamaño poblacional 𝒏: Tamaño de la muestra 𝑿𝒊: característica cuantitativa observada en cada unidad investigada.

•

𝒇𝒊: Frecuencia absoluta. Número de veces que repite cada valor de la variable.

•

𝒉𝒊: Frecuencia relativa. Se divide cada frecuencia absoluta por el tamaño de la muestra o el tamaño poblacional. 𝑭𝒊: Frecuencia absoluta acumulada

• • •

𝑯𝒊: Frecuencia relativa acumulada 𝒎: Número de valores que toma la variable, número de marcas de clase o número de intervalos

•

𝒙𝒊: Variable discreta o marca de clase

•

𝑳𝒔 − 𝑳𝒊: Los intervalos en que se divide la variable continua. Siendo 𝐿𝑠 el limite superior y 𝐿𝑖 el límite inferior.

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Ejemplos La fábrica de gaseosas La Sed, proyecta lanzar al mercado un nuevo sabor. Se realiza un Test de aceptación de dicho sabor en una muestra de 30 niños, utilizando una escala de 10 puntos, para medir el grado de aceptación. Los puntos obtenidos en los 30 niños fueron los siguientes: 2, 6, 8, 7, 4, 5, 10, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 8, 7, 6, 8, 6, 5, 4, 7, 8, 5, 7, 6, 7, 2, 7, 2, 7. La muestra estuvo compuesta por igual número de niños de ambos sexos 6 a 12 años de edad pertenecientes a una concentración escolar del barrio el Edén de la ciudad de Rompe frio. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

¿Cuál es la población? ¿Cuál es la muestra? ¿La variable es cuantitativa o cualitativa? ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es la variable? ¿Construir una distribución de frecuencias? ¿Cuál es el valor de m?

Consideremos una población de 300 cajas (𝑛 = 300) y seleccionemos una muestra aleatoria de 30 cajas (𝑛 = 30), o sea el 10%; a fin de investigar el peso de cada caja, se da un numero de entero para efecto del ejercicio (el peso es una variable continua). Para elaborar la tabla de frecuencias se debe tener en cuenta los siguientes pasos: a. Determine el valor máximo y mínimo de la tabla. 𝑥𝑀𝑎𝑥; 𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 92 ; 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 47

48 56 60 67 47 70

70 63 72 76 74 67

92 70 69 61 71 79

85 68 82 55 65 88

52 58 76 57 72 67

b. Calcular el rango o recorrido 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑥𝑀𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑅 = 92 − 47 𝑅 = 45 rango inicial (𝑟𝑖) c.

Se hace necesario determinar el número de intervalos que se utiliza para agrupar los datos. 𝑚 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒. Una de las expresiones de obtener 𝑚 es aplicando la regla de Sturges con la que se obtiene una aproximación aceptable sobre el número de intervalos necesarios para agruparlos. 𝑚 = 1 + 3.3 log𝑛.

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En la práctica 𝑚 se determina atendiendo varios factores, tales como: finalidad de estudio, grado de variabilidad de los datos, necesidad de efectuar comparaciones. En todo caso se sugiere que el valor de 𝑚 no sea menor que 5, ni mayor de 16 5 ≤ 𝑚 ≤ 16 𝑚 = 1 + 3.3 ∗ log𝑛 regla de Sturges; donde 𝑛 es el tamaño de la muestra. 𝑚 = 1 + 3.3 ∗ log30 𝑚 = 1 + 3.3 ∗ (1.4771) 𝑚 = 1 + 4.4785 𝑚 = 5.4785 𝑚=6 se aproxima al siguiente entero. d. Una vez determinado el número de intervalos se debe calcular sobre el valor de amplitud para cada intervalo. 𝐶 = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜⁄𝑚 𝐶= 𝐶 = 7.5 𝐶=8

se aproxima al siguiente entero.

e. Después de calcular 𝑅, 𝑚 𝑦 𝐶. Se realiza un ajuste al rango, debido a las aproximaciones en 𝐶 𝑦 𝑚. Si 𝐶 = 8 𝑦 𝑚 = 6, entonces ¿Cuál es el nuevo valor de 𝑅? 𝐶=

𝑅;

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 = 𝐶 ∙ 𝑚

𝑚

𝑅=8∙6 𝑅 = 48

Nuevo rango o rango final. (𝑟𝑓)

Como tenemos variación del rango inicial al rango final, determinamos ese cambio. 𝑑𝑟: 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎 𝑦 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 𝑑𝑟 = 48 − 45 𝑑𝑟 = 3 El cambio entre los dos rangos se divide entre dos con el objetivo de sumarle a 𝑥𝑚𝑎𝑥 y restarle a 𝑥𝑚𝑖𝑛. 𝑑𝑟

=

= 1.5

por lo tanto,

2

𝑥𝑚𝑎𝑥 + 1.5 = 92 + 1.5 = 93.5 𝑥𝑚𝑖𝑛 − 1.5 = 47 − 1.5 = 45. 5 f.

La marca de clase (𝑥𝑖) es el punto medio del intervalo 𝑥𝑖 = 𝐿𝑠+𝐿𝑖 2

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g. Una vez obtenida toda la información se procede a organizar la tabla.

Intervalos

Frecuencia

Frecuencia Acumulada

𝑚 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠

𝑓𝑖

𝐹𝐴

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa Acumulada

Marca de Clase

Marca X frecuencia

𝑓𝑖⁄𝑛

𝐹𝑅

𝑥𝑖

𝑓𝑖 ∙ 𝑥𝑖

Actividad 01 Aprendizaje: Organiza la información teniendo en cuenta el tipo de variable (cuantitativas y cualitativas) en tablas de frecuencia y lo representa gráficamente.

Acción: Cada estudiante debe de identificar el tipo de variable y utilizar los procedimientos respectivos para su organización y representación gráfica. Señala la respuesta correcta en cada caso. 1. Al preparar una distribución de frecuencias para variable continua: a. b. c. d.

Se pierde siempre algún dato debido a la condensación de la información. Se conserva la identidad de cada dato. Se conservan siempre los datos detallados en la distribución. Se pierde la información, de cada valor observado.

2. En una industria es necesario realizar un estudio respecto al peso de engranajes de gran tamaño. Los siguientes datos corresponden al peso, en kilogramos de 30 de estas piezas, que poseen las mismas dimensiones, pero distinta aleación.

58 40 42 50 42 36 42 52 38 50

46 42 52 40 55

45 50 52 45 38

42 45 52 55 50

45 45 38 40 42

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a. ¿Cuántos engranajes pesan entre 46 y 55 Kg? R// hay 9 engranajes b. ¿Qué porcentaje representa a aquellos engranajes cuyo peso es inferior a 51Kg? R// es 76.67 % c. ¿Cuál es la frecuencia relativa para aquel intervalo cuya marca de clase (𝑥𝑖) es 48? d. ¿Qué porcentaje representan a aquellas piezas que pesan más de 50Kg? R// es el 23.33% e. e. Representar gráficamente Xi 36 38 40 42 45 46 50 52 55 58

ni 1 3 3 6 5 1 4 4 2 1

Ni 1 4 7 13 18 19 23 27 29 30

fi 3.3% 10% 10% 20% 16.6% 3.3% 13.3% 13.3% 6.6% 3.3%

Fi 3.3% 13.3% 23.3% 43.3% 59.9% 63.2% 76.5% 89.8% 96.4% 99.7%

ENGRANAJES DE LA FABRICA 7

6

numero de veces

6

5

5

4

4

3

4

3

3 2

2

1

1

1

1 0

36

38

40

42

45

46

50

52

55

58

peso de los engranajes

3. Los siguientes datos corresponden al sueldo (en miles de pesos) de 40 trabajadores de una empresa:

119 125 126 128 132 135

142 142 142 140 140 138

144 144 145 145 146 146

156 154 153 152 150 150

157 158 161 163 164 165

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135 138 147 149 173 135 136 147 148 176

f.

Construir la tabla de frecuencias con sus elementos.

Xi 119 125 126 128 132 135 136 138 140 142 144 145 146 147 148 149 150 152 153 154 156 157 158 161 163 164 165 173 176

ni 1 1 1 1 1 3 1 2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ni 1 2 3 4 5 8 9 11 13 16 18 20 22 24 25 26 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

fi 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 7.5% 2.5% 5% 5% 7.5% 5% 5% 5% 5% 2.5% 2.5% 5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5% 2.5%

Fi 2.5% 5% 7.5% 10% 12.5% 15% 22.5% 25% 30% 35% 42.% 47.2% 52.2% 57.5% 62.5% 65% 67.5% 72.5% 75% 77.5% 80% 82.5% 85% 87.5% 90% 92.5% 95% 97.5% 100%

g. ¿En qué clase se encuentra el mayor número de trabajadores? Se encuentran en la clase de 142 y 135 mil pesos

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h. ¿Qué porcentaje de trabajadores gana entre $139.000 y $168.000? Se encuentran un 30% de los trabajadores i. ¿Cuántos trabajadores ganan por lo menos $159.000? Que ganen exactamente 159.000 pesos no hay nadie, pero 6 trabajadores ganan por lo menos 159.000 pesos, ósea ganan más que eso j. ¿Cuántos trabajadores ganan como máximo $148.000? 1 solo trabajador gana máximo 148.000 pesos k. Representar gráficamente.

sueldos de trabajadores numero de veces que se repite

3,5

3

3

3 2,5

2 2

2 2 2 2

2

2

1,5

1 1 1 1 1

1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0,5 0

119 126 132 136 140 144 146 148 150 153 156 158 163 165 176

sueldos

3. En un conjunto habitacional se pretende hacer un estudio del número de personas que consumen productos enlatados. Los datos que han sido obtenidos de 50 bloques del conjunto habitacionales.

63 64 128 124 137

69 132 90 103 134

83 115 75 133 129

85 120 137 138 96

93 127 131 133 99

73 130 73 110 72

81 105 62 60 104

94 114 100 91 97

104 123 100 87 84

125 121 117 136 98

a. Construir una tabla de frecuencia, con intervalos de amplitud 10.

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Xi [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120) [120, 130) [130, 140)

xi 13 15 17 19 22 23 25 27

fi 5 4 5 8 6 4 8 10

Fa 5 9 14 22 28 32 40 50

fi/n 0,1 0,08 0,1 0,16 0,12 0,08 0,16 0,2

FR 0,1 0,18 0,28 0,44 0,56 0,64 0,8 1

b. ¿Cuántas personas consumen entre 100 y 129 productos enlatados? R// 18 personas consumen entre 100 y 129 productos enlatados c. ¿Qué porcentaje representa a las personas que consumen menos de 90 productos enlatados? R// 0,28 es el porcentaje d. ¿Qué cantidad de personas consumen más de 80 productos enlatados? R// 133 personas consumen más que 80 productos e. Representar gráficamente.

productos enlatados 12

bynero de personas

10 10

8

8

8

6 6

5

5

4

4

4

2 0 [60, 70)

[70, 80)

[80, 90)

[90, 100)

[100, 110)

cantidad de productos

Se debe presentar la actividad 1.

[110, 120)

[120, 130)

[130, 140)