• Author / Uploaded
• Jean Pierre Mendoza

• Categories
• Variable aleatoria
• Distribución de veneno
• Distribución de probabilidad
• Diferencia
• Probabilidad

Citation preview

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: VARIABLE ALEATORIA, MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR. FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DE DENSIDAD: DISCRETAS Y CONTINUAS. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA MGTR. JANET JOSCO MENDOZA

PROPÓSITO DE LA CLASE

Al término de la clase el estudiante debe ser capaz de: • Identificar el tipo de variable aleatoria que se presente en la realización de experimentos.

• Construir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta (tabla y gráfico). • Calcular la media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta.

VARIABLE ALEATORIA

Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas (D) o continuas (C): a) Número de autos que una persona espera vender durante una semana

(

)

b) Peso de un grupo de pacientes diabéticos

(

)

c) Número de hijos de los regidores de la Municipalidad Provincial de Huancayo

(

)

d) Tiempo que demora en cocinar un pastel

(

)

e) Cantidad de estudiantes ausentes a la clase de Estadística y Probabilidad

(

)

f)

(

)

Distancia que recorre un vehículo durante un minuto

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

P  X  x   nCx. p x .q n  x

Determine si las siguientes tablas representan una distribución de probabilidad. Argumente su respuesta.

A

B

X

0

1

2

3

X

0

1

2

3

P(X)

0.2

0.5

0.4

0.3

P(X)

0.2

0.3

0.05

0.45

Construya la distribución de probabilidades del experimento consistente en el lanzamiento de 4 monedas. • Construya el espacio muestral asociado a este experimento. • La variable aleatoria en este caso está definida como X = Número de caras. Determine el rango de valores para la variable aleatoria. • Responda: ¿Es discreta o continua la variable aleatoria X? • Represente gráficamente. • Calcule la media, varianza y desviación estándar.

Espacio muestral: Ω ={CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS, SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS} Variable aleatoria: X = Nº de caras CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS, SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS

4

3

Rango de valores:

3

2

3

2

2

1

3

X = 0; 1; 2; 3; 4

Tipo de variable: Aleatoria discreta, porque toma 5 valores diferentes (0; 1; 2; 3; 4)

2

2

1

2

1

1

0

Distribución de probabilidad:

X = Nº de caras

P(X=x)

0 1 2 3 4

1/16 = 0,0625 4/16 = 0,25 6/16 = 0,375 4/16 = 0,25 1/16 = 0,0625 1

Representación gráfica: 0.4

0.375

0.35

0.35

0.3 0.25

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

0.3 0.25

0.25 0.2 0.15 0.1

0.375

0.4

0.25 0.2 0.15 0.1

0.0625

0.0625

0.05

0.25

0.25

0.0625

0.0625

0.05 0

0 0

1

2

NÚMERO DE CARAS

3

4

0

1

2

NÚMERO DE CARAS

3

4

En este caso el área bajo el histograma es igual a 1

Media

    x.P  x    2 caras

Varianza



X = Nº de caras

P(x)

x.P(x)

(x-µ)2

(x-µ)2 .P(x)

0

0,0625

0

4

0,25

1

0,25

0,25

1

0,25

2

0,375

0,75

0

0

3

0,25

0,75

1

0,25

4

0,0625

0,25

4

0,25

1

2



    x    . P  x   1 cara2 2

2

Desviación estándar





    x    . P  x   1 cara 2

Interpretación: Si lanzamos cuatro monedas, es mas probable de obtener en promedio dos caras con una variación de uno.

1

¿Qué aprendí? Media, desviación estándar y varianza de una distribución de probabilidad

¿Cómo aprendí? •Observando, Calculando e interpretando.

¿Para qué aprendí? •Para poder interpretar PROBABILIDADES EN TABLAS de variables discretas

¿Donde aplico lo que aprendí? • En los trabajos de investigación y trabajo de campo y en las empresas en control de calidad

RECORDANDO Sea: X= número de neumáticos de un automóvil seleccionado al azar, que tenga baja la presión. a). ¿Cuál de las siguientes tres distribuciones P(x) es una distribución de probabilidad para X, y por qué no se permiten las otras dos? X

0

1

2

3

4

P(x)

0,3

0,2

0,1

0,05

0,05

P(x)

0,4

0,1

0,1

0,1

0,3

P(x)

0,4

0,1

0,2

0,1

0,3

b). Para la distribución de probabilidades del ítem (a), Calcule:

P(2  X  4); P(X  2) y P  X  0 

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL, POISSON, GEOMÉTRICA HIPERGEOMÉTRICA. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA MGTR. JANET JOSCO MENDOZA

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

PROPÓSITO DE CLASE

 Explica y diferencia las principales distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas.  Aplica e interpreta las distribuciones de probabilidades para variables aleatorias discretas en el desarrollo de prácticas y ejercicios..

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

https://www.youtube.com/watch?v=0oBfdHHudTg

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una distribución de probabilidad binomial resulta de un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos: 1. El procedimiento tiene un número fijo de ensayos. 2. Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo individual no afecta las probabilidades de los demás ensayos). 3. Todos los resultados de cada ensayo deben estar clasificados en dos categorías (generalmente llamadas éxito y fracaso). 4. La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos.

Distribución Binomial P  x  n C x  p q

x nx

Se denotan las dos categorías posibles de todos los resultados: E y F (éxito y fracaso) n : Denota el número fijo de ensayos. x : Denota un número específico de éxitos en “n” ensayos, de manera que “x” puede ser cualquier número entero entre 0 y “n” inclusive. p : Denota la probabilidad de éxito en uno de “n” ensayos. q: Denota la probabilidad de fracaso en uno de “n” ensayos. P(x) : Denota la probabilidad de lograr exactamente “x” éxitos en los “n” ensayos.

Media

Varianza

  np

  npq

;

2

Ejemplo 1:

En la Caja Huancayo se reportó que el 20% de préstamos a sus clientes habían vencido en el mes de abril. Si se toma una muestra aleatoria de 8 clientes, de los cuales se les notifico sobre su vencimiento. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 clientes realicen sus pagos de vencimiento después de la notificación?

Solucionario: Pagos de vencimientos de préstamos

Éxito Probabilidad de éxito (p)

0,20

Probabilidad de fracaso (q)

0,80

Número de ensayos (n)

8

Número de éxitos en los “n” ensayos (x)

3

P  x  n C x  p q

x n x

Reemplazando y efectuando los cálculos se tiene:

P  x  3   8 C3 (0,20)3 (0,80)8 3 P  x  3   8 C3 (0,20)3 (0,80)5 P  x  3   0,1468

Interpretación: La probabilidad de los 8 clientes notificados por vencimientos de pagó por la Caja Huancayo, 3 de ellos realicen sus pagos es de 14,68%

Ejemplo 2:

La probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblajes es de 0,05. Si el conjunto de unidades terminales constituyen un conjunto de ensayos independientes. a) ¿Cual es la probabilidad de que entre 10 unidades, dos se encuentres defectuosas?

Solucionario: Éxito

Unidades de ensamblaje defectuosas

Probabilidad de éxito (p)

0,05

Probabilidad de fracaso (q)

0,95

Número de ensayos (n)

10

Número de éxitos en los “n” ensayos (x)

2

Reemplazando y efectuando los cálculos se tiene:

P  x  n C x  p q

x n x

Interpretación: La probabilidad de que entre 10 unidades de ensamblaje, dos se encuentren defectuosas es de 7,46%

b) ¿Cual es la probabilidad de que entre 10 unidades, ninguno se encuentres defectuosas? Éxito

Unidades de ensamblaje defectuosas

Probabilidad de éxito (p)

0,05

Probabilidad de fracaso (q)

0,95

Número de ensayos (n)

10

Número de éxitos en los “n” ensayos (x)

P  x  n C x  p q

x n x

0 (ninguno)

Reemplazando y efectuando los cálculos se tiene:

Interpretación: La probabilidad de que entre 10 unidades de ensamblaje, ninguno se encuentren defectuosas es de 59,83%

DISTRIBUCIÓN POISSON

https://www.youtube.com/watch?v=8uS6-XTjenA

DISTRIBUCIÓN POISSON Una distribución de probabilidad Poisson resulta de un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos: 1. El experimento consiste en contar el número “x” de veces que ocurre un evento en un intervalo. Esto es en una unidad de tiempo, área o volumen. 2. La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo, área o volumen es la misma para todas las unidades. 3. El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área o volumen es independiente del número de los que ocurren en otras unidades. 4. El número medio (o esperado) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega  (“lambda”)

Distribución de Poisson  .e P x   x! X



; e  2,7183

 : Denota el número medio de eventos que ocurren en una x: e: x!: P(x) :

unidad dada de tiempo, área o volumen. Denota un número específico de eventos que ocurren durante una unidad dada de tiempo, área o volumen. Denota la constante matemática “épsilon” Denota el factorial de “x” Denota la probabilidad de que ocurran “x” eventos en una unidad dada de tiempo, área o volumen.

Media ; Varianza

 

;   2

Ejemplo 5:

En un centro telefónico de atención a clientes se reciben en promedio 6 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora seleccionada aleatoriamente se reciban exactamente 2 llamadas?

Solucionario:

Media ()

6 llamadas por hora

Número de eventos esperados (x)

2 llamadas en una hora

 X .e Px   x!

; e  2,7183

Reemplazando y efectuando los cálculos se tiene:

62.e6 P X  2  2! P  X  2   0,0446

Interpretación: La probabilidad de que en una hora, exactamente se reciban 2 llamadas por hora es de 4,46 %

Ejemplo 6:

En el centro comercial Plaza Vea, en la sección de electrodomésticos, un promedio de 12 personas por hora le hacen preguntas al encargado de está sección. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 personas se acerquen al encargado a hacer preguntas en un periodo de 10 minutos?

Solucionario:

Media ()

12 personas en una hora

2 personas en 10 minutos

Número de eventos esperados (x)

3 personas en 10 minutos

3 personas en 10 minutos

12 personas  60 minutos   n  2 personas n  10 minutos 

 X .e P x   x!

Reemplazando y efectuando los cálculos se tiene:

23.e2 P  X  3  3! P  X  3   0,1804

Interpretación: La probabilidad de que 3 personas realicen preguntas en un periodo de 10 minutos de 18,04%

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Y HIPERGEOMÉTRICA

https://www.youtube.com/watch?v=9OZDeSlz_WQ

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Una distribución de probabilidad geométrica es una sucesión de pruebas, queremos saber el número de la prueba que ocurre el primer éxito: X; resulta de un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos: 1. Existe solamente dos posibles resultados en cada ensayo: éxito y fracaso. 2. La probabilidad de éxito representada por p, permanece constantes en todos los intentos. 3. De lo anterior se determina que existe la probabilidad de fracaso que esta representada por q = 1 - p 4. Todos los “n” repetidos intentos son independientes. Es decir “n” no es fijo.

Distribución Geométrica P  x   pq

x 1

Se denotan las dos categorías posibles de todos los resultados: E y F (éxito y fracaso) x : Denota el número de prueba que ocurre en el primer éxito. p : Denota la probabilidad de éxito en un ensayo. q : Denota la probabilidad de fracaso en un ensayo. P(x) : Denota la probabilidad de lograr exactamente “x” fracasos antes del primer éxito.

Media

Varianza

1 p  p

1 p   2 p 2

Ejemplo 1:

Si la probabilidad de que un tirador experto tire al blanco es de 95%. ¿Cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en el decimoquinto disparo?

Solucionario: Falle el tirador en su primer decimoquinto disparo

Éxito Probabilidad de éxito (p)

0,05

Probabilidad de fracaso (q)

0,95

Número de fracasos antes de obtener el primer éxito (x)

P  x   pq

x 1

15

Reemplazando y calculando se tienen:

P  x  15   (0,05)(0,95)151 P  x  15   0,0244

Interpretación: La probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo es del 2,44 %

Ejemplo 2:

En un proceso de manufacturación se sabe que la probabilidad de obtener una pieza defectuosa es del 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que la octava pieza inspeccionada sea la primera defectuosa?

Solucionario: Piezas defectuosa en la octava inspección

Éxito Probabilidad de éxito (p)

0,02

Probabilidad de fracaso (q)

0,98

Número de fracasos antes de obtener el primer éxito (x)

P  x   pq

x 1

8

Reemplazando y calculando se tienen:

P  x  8   (0,02)(0,98)8 1 P  x  8   0,0174

Interpretación: La probabilidad de que la octava pieza inspeccionada sea la primera defectuosa es de 1,74 %

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Una distribución de probabilidad Hipergeométrica resulta de un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos: 1. El procedimiento tiene un número finito de ensayos. 2. Los ensayos deben ser dependientes. (El resultado de cualquier ensayo individual si afecta las probabilidades de los demás ensayos). 3. Todos los resultados deben estar clasificados en dos categorías (generalmente llamado éxito y fracaso) 4. La probabilidad de un éxito no permanece igual en todos los ensayos.

C   Px   r

x

N r C n  x

NC n



; Si: x  0,1,2,3,...,n

Se denotan las dos categorías posibles de todos los resultados: E y F (éxito y fracaso) r : Denota el número fijo de éxito en la población. x : Denota un número específico de éxitos en las muestras de tamaño “n”, de manera que “x” puede ser cualquier número entero entre 0 y “n” inclusive. N : Denota el número de elementos de la población. n : Denota el número de elementos de la muestra. P(x) : Denota la probabilidad de lograr exactamente “x” éxitos al extraer la muestra de tamaño “n”. Media

  np r   ; q  1 p   p N  

Varianza ;

N n

  2  npq     N 1 

Ejemplo 5:

Una compañía de bienes raíces nacional pretende comprar 60 locales en la India de los cuales el 20% están infectados de termita. Si extraemos con propósito de control de plaga una muestra del 10% de los locales. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 locales extraídos tengan plaga?

Solucionario: Éxito

Locales que tengan la plaga

Número de elementos de la población (N)

60

Número de elementos de la muestra (n)

10%(60) = 6

Éxito en la población (r)

20%(60) = 12

Éxito en la muestra (x)

C   Px   r

x

N r C n  x

NC n

2



Reemplazando y calculando se tienen:

C   P x  2  12 2

6012 C 62

60 C 6

P  X  2   0,2565

Interpretación: La probabilidad de que 2 locales tenga plaga, de los 6 seleccionados es de 25,65 %



Ejemplo 6:

Se pone a la venta un conjunto de 75 artículos, de los cuales 10 están defectuosos. Si se toma una muestra (sin orden y sin reemplazo) de 5 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezca ningún artículo defectuoso?

Solucionario: Éxito

Artículo defectuoso

Número de elementos de la población (N)

75

Número de elementos de la muestra (n)

5

Éxito en la población (r)

10

Éxito en la muestra (x)

C   Px   r

x

N r C n  x

NC n

0 (ninguno)



Reemplazando y calculando se tienen: 10 C 0 7510 C 5 0

  Px  0 

75 C 5

P  X  0   0,4786

Interpretación: La probabilidad de que no aparezca ningún artículo defectuoso es del 47,86 %



¿Qué aprendí?

¿Para qué aprendí?

A calcular e interpretar distribuciones de probabilidades de variables discretas.

Para poder resolver problemas relacionados a mi carrera profesional.

¿Cómo aprendí?

¿Qué me falta aprender?

Identificando Calculando Interpretando

¿Cómo se puede calcular e interpretar distribución de variables continuas ?