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Tema II: Din´ amica en el espacio de fases 1.

Las ecuaciones de Hamilton

Para sistemas aut´onomos en los que H no depende de t, es una constante del movimiento por lo que H(p, q) = α (1.1) Esta ecuaci´on determina una curva en el plano p, q denominado plano de fase El valor de q y p en cada instante (un punto en el plano de fase) define completamente el estado del sistema. Conforme transcurre el tiempo, dicho punto dibuja una curva en el espacio de fases denominada curva de fase. El movimiento del punto a lo largo de la curva de fase se denomina flujo de fase. Puesto que el valor de α depende de las condiciones iniciales, para cada conjunto de condiciones iniciales habr´a una curva de fase diferente. Debido a las propiedades de unicidad de las ecuaciones del movimiento ∂H ∂p ∂H p˙ = − ∂q q˙ =

(1.2)

podemos asegurar que las curvas de fase no se cortan. El conjunto de curvas de fase describe bastante bien el comportamiento del sistema y se denomina Diagrama de fases

2.

Espacio de fases para sistemas conservativos

Un caso particular de sistemas aut´onomos son los sistemas conservativos potenciales en los que el Hamiltoniano es precisamente la energ´ıa. p2 + V (q) = E H(p, q) = 2m 1

(2.3)

2

Cap´ıtulo 2

En este caso, el valor de la constante E es suficiente para definir las curvas de fase que suelen denominarse curvas de nivel Puede establecerse una correlaci´on entre la funci´on potencial y las curvas de nivel como veremos en los ejemplos siguientes

2..1

Espacio de fases del Oscilador arm´ onico

Las curvas del espacio de fases son s 2ml2

p=±

µ ¶ 1 2 E − mx 2

que son elipses. En las figuras siguiente se ha representado la capa de energ´ıa y las curvas de nivel

Capa de energia del oscilador

Diagrama de fases del oscilador p

16 12 8 4 0

q –4 –4

2..2

0 –2

0 p

2

q

4 4

Espacio de fases del p´ endulo

Corresponde al potencial V = −mgl cos φ Las curvas en el espacio de fases son p p = ± 2ml2 (E + mgl cos φ)

(2.4)

(2.5)

donde p˙ = −mgl sin φ p φ˙ = ml2

(2.6) (2.7)

Din´amica en el espacio de fases

3

• Puntos de retroceso Son los puntos en los que p = 0 =⇒ cos φ = −

E mgl

de forma que solo existen si E < mgl. En tal caso φ adquiere un valor m´aximo y uno m´ınimo correspondientes a: ¶ µ E φ± = ± arcos − mgl por lo que se trata de un estado oscilatorio ligado φ− < φ < φ + conocido como libraci´ on Por el contrario, si E > mgl, φ no tiene m´aximos ni m´ınimos, el potencial es peri´odico pero los estados son no ligados y el movimiento se denomina de rotaci´ on • M´ aximos y m´ınimos del potencial Puesto que p˙ = −

∂V ∂q

los m´aximos y m´ınimos de V como funci´on de q coincidir´an con los m´aximos y m´ınimos de p como funci´on de t. p V tiene m´ınimos cuando φ = 2kπ, en cuyo caso p = ± 2ml2 (E + mgl) que siempre est´a siempre definido y es un m´aximo para el signo + y un m´ınimo para el signo −. Porpel contrario, los m´aximos de V corresponden a φ = (2k + 1)π. En tal caso p = ± 2ml2 (E − mgl) que es un m´ınimo para el signo + (o un m´aximo para el signo -) pero s´olo est´a definido si E > mgl.

Potencial del Pendulo

q

4

Cap´ıtulo 2

El caso en que E = mgl divide el plano de fases en dos partes; los estados de rotaci´on y los de libraci´on. La curva correspondiente se llama separatriz y su ecuaci´on es: r g φ 2 p = ±2ml cos l 2

Capa de energia del Pendulo

Diagrama de fases del Pendulo

p –6 –4 –2

5 0 –4

0 2 –2 p

0

4 2

6 4

q

q

Din´amica en el espacio de fases

2..3

5

Espacio de fases del Doble valle

Potencial del doble valle

q

Capa de energia del doble valle

Diagrama de fases del Doble valle p

0.2 0 –0.2 1.5

–0.6 –0.4 –0.2

1

0.5 q

0 –0.5

–1 –1.5

0 0.2 0.4 0.6

p

q

6

3. 3..1

Cap´ıtulo 2

Espacio de fases para sistemas no conservativos El oscilador amortiguado

Oscilador infraamortiguado ω0 > γ En tal caso ω es real y la soluci´on se puede escribir en t´erminos de las condiciones iniciales en la forma siguiente: ·µ ¶ ¸ v0 + γx0 x = sin ωt + x0 cos ωt e−γt ω · ¸ (ω 2 + γ 2 )x0 + γv0 p = m v0 cos ωt − sin ωt e−γt (3.8) ω de manera que la oscilaci´on se mantiene aunque con una amplitud cada vez menor

Espacio de fases del oscilador infraamortiguado

Oscilador sobreamortiguado ω0 < γ En tal caso la soluci´on se puede escribir en t´erminos de las condiciones iniciales en la forma siguiente: ·µ

¶ ¸ v0 + γx0 x = sinh δt + x0 cosh ωt e−γt δ ¸ · (−δ 2 + γ 2 )x0 + γv0 sinh δt e−γt p = m v0 cosh δt − δ

(3.9)

Din´amica en el espacio de fases

7

Espacio de fases del oscilador sobreamortiguado

Oscilador cr´ıtico: ω0 = γ En este caso ω = 0. x = [(v0 + γx0 ) t + x0 ] e−γt p = m [v0 − γ (v0 + γx0 ) t] e−γt

(3.10)

El comportamiento del sistema es pues parecido al caso infraamortiguado. El sistema decae rapidamente sin tener tiempo de oscilar

4.

An´ alisis de estabilidad para sistemas con un grado de libertad

Puntos fijos Sea el sistema aut´onomo q˙ = f (q, p) p˙ = g(q, p)

(4.1)

Los puntos del espacio de fases en que el flujo es estcionario se denominan puntos fijos. Un punto fijo (q0 , p0 ) verificar´a: f (q0 , p0 ) = 0 g(q0 , p0 ) = 0

(4.2)

Veamos ahora como determinar la estabilidad de los estados mec´anicos definidos por estos puntos, es decir, que es lo que ocurre cuando perturbamos alrededor de un punto fijo δ q˙ = fq (q0 , p0 )δq + fp (q0 , p0 )δp + .. δ p˙ = gq (q0 , p0 )δq + gp (q0 , p0 )δp + ..

(4.3)

8

4..1

Cap´ıtulo 2

La matriz de estabilidad

es decir

d dt

µ

δq δp

¶

µ =

fq (q0 , p0 ) fp (q0 , p0 ) gq (q0 , p0 ) gp (q0 , p0 )

¶µ

δq δp

¶ (4.4)

La matriz µ M=

fq (q0 , p0 ) fp (q0 , p0 ) gq (q0 , p0 ) gp (q0 , p0 )

¶

se denomina matriz de estabilidad Si denominamos ~ = (δq, δp) E

(4.5)

~ dE ~ = ME dt

(4.6)

la ecuaci´on (2.4) puede escribirse

que es un sistema lineal de ecuaciones de primer orden cuya soluci´on general es de la forma ~ = c1 D ~ 1 eλ1 t + c2 D ~ 2 eλ2 t E (4.7) ~ i son los autovectores y λi los autovalores de la matriz M. donde D ~1 y D ~ 2 constituyen una base local del plano de fases. Est´a claro Los vectores D que si λi son imaginarios puros, la perturbaci´on permanece acotada y unicamente gira alrededor del punto fijo. Por el contrario si λ tiene componentes reales, las soluciones crecer´an o decrecer´an exponencialmente.

Din´amica en el espacio de fases

4..2

9

Clasificaci´ on de puntos fijos

Supongamos que el polinomio caracter´ıstico es: λ2 − aλ + b = 0 entonces √ ∆ a λ= ± , ∆ = a2 − 4b 2 2 y los puntos se clasificar´an seg´ un los signos de a, b y ∆. • 1) Nodo estable a < 0, ∆ > 0 λ1 y λ2 son reales negativos. λ1 < λ2 < 0. La perturbaci´on decae en todas las direcciones por lo que el flujo converge hacia el punto fijo.

2

• 2) Nodo inestable a < 0, 0 < b < a4 , 0 < ∆ λ2 > 0. El flujo total crece exponencialmente en todas direcciones.

10

Cap´ıtulo 2

• 3) Punto hiperb´ olico o de silla b < 0 Ambos reales pero uno positivo y otro negativo. λ1 < 0 < λ2 . Las ´orbitas se ~ 1 pero se alejan en D ~2 acercan en la direcci´on D

• 4) Espiral estable a < 0, ∆ < 0 Son complejos conjugados con parte real negativa λ1 = −α + iβ, λ2 = −α − iβ. El flujo gira acerc´andose al punto fijo.

Din´amica en el espacio de fases

11

• 5) Espiral Inestable a > 0, ∆ < 0 Son √ complejos conjugados con parte real positiva λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ con β = −∆/2. El flujo gira alej´andose del punto fijo.

• 6) Punto el´ıptico o centro a = 0,√b > 0 √ Son puramente imaginarios λ1 = +i b, λ2 = −i b. El flujo gira alrededor del punto fijo.

12

Cap´ıtulo 2

• 7) Puntos degenerados ∆ = 0 Son iguales y reales λ1 = λ2 = a2 . En este caso la soluci´on es:

³ ´ a ~ ~ ~ ~ E = c1 D1 + c2 (D2 + D1 t) e 2 t

~ 2 = 0, D ~ 1 arbitrario • 7.1) D Las l´ıneas de flujo son l´ıneas rectas

7.1.a) Estrella Estable a < 0 Cuando a < 0, las l´ıneas convergen hacia el punto a lo largo de rectas de ~ 1. pendiente D

7.1.b) Estrella Inestable a > 0 Cuando a > 0, las l´ıneas divergen del punto a lo largo de rectas de pendiente ~ 1. D

Din´amica en el espacio de fases

~ 2 6= 0 • 7.2) D Las l´ıneas de flujo se curvan. 7.2.a) Nodo impropio Estable a < 0 Cuando a < 0, las l´ıneas convergen hacia el punto.

7.2.b) Nodo impropio Inestable a > 0 Cuando a > 0, las l´ıneas divergen del punto.

13

14

Cap´ıtulo 2

El siguiente esquema sirve para clasificar los puntos. centros

nodos impropios y estrellas estables

espirales estables

nodos estables

nodos impropios y estrellas inestables

espirales inestables

nodos inestables

sillas

Din´amica en el espacio de fases

5.

15

Ejemplos

1) Problema de Volterra x=conejos,y=zorros x˙ = x − xy y˙ = −y + xy •

Puntos Fijos x1 = (0, 0),

•

Estabilidad en x1 La matriz es:

µ M=

x2 = (1, 1)

1 0 0 −1

¶

Su diagonalizaci´on es: λ2 − 1 = 0 =⇒ λ1 = −1, λ2 = 1 luego es un silla Las direcciones principales son: x = λi x,

−y = λi y

de manera que ~ 1 = (0, 1) D ~ 2 = (1, 0) D •

Estabilidad en x2 La matriz es:

µ M=

0 −1 1 0

¶

Su diagonalizaci´on es: λ2 + 1 = 0 =⇒ λ = ±i luego es un centro Cuando δx > 0 =⇒ δ y˙ > 0. La curva gira en sentido antihorario.

16

Cap´ıtulo 2

zorros

conejos

Din´amica en el espacio de fases

17

2) x˙ = −x − 5y y˙ = x + 3y •

Puntos Fijos x0 = (0, 0)

•

Estabilidad en x0 La matriz es:

µ M=

−1 −5 1 3

¶

Su diagonalizaci´on es: λ2 − 2λ + 2 = 0 =⇒ λ = 1 ± i luego es un espiral inestable antihoraria

18

Cap´ıtulo 2

3) x˙ = 3x + 2y y˙ = −2x − 2y •

Puntos Fijos x0 = (0, 0)

•

Estabilidad en x0 La matriz es:

µ M=

3 2 −2 −2

¶

Su diagonalizaci´on es: λ2 − λ − 2 = 0 =⇒ λ1 = −1, luego es un punto de silla • Las direcciones principales son: 3x + 2y = λi x de manera que ~ 1 = (1, −2) D ~ 2 = (1, −1/2) D

λ2 = 2

Din´amica en el espacio de fases

19

4) x˙ = x − 2y y˙ = 3x − 4y •

Puntos Fijos x0 = (0, 0)

•

Estabilidad en x0 La matriz es:

µ M=

1 −2 3 −4

¶

Su diagonalizaci´on es: λ2 + 3λ + 2 = 0 =⇒ λ1 = −2,

λ2 = −1

luego es un nodo estable. Entran paralelas a D1 y acaban paralelas a D2 . El valor m´aximo de x lo alcanzan en la recta x − 2y = 0 • Las direcciones principales son: x − 2y = λi x de manera que ~ 1 = (1, 3/2) D ~ 2 = (1, 1) D ~ 1 para t −→ −∞ y a D ~ 2 para t −→ ∞ y giran en Las ´orbitas ser´an paralelas a D sentido antihorario

20

Cap´ıtulo 2

5) x˙ = x − y y˙ = 1 − xy •

Puntos Fijos x = y,

1 = xy

x1 = (−1, −1), •

Estabilidad en x1 La matriz es:

µ M=

x2 = (1, 1)

1 −1 1 1

¶

Su diagonalizaci´on es: λ2 − 2λ + 2 = 0 =⇒ λ = 1 ± i luego es una espiral inestable •

Estabilidad en x2 La matriz es:

µ M=

1 −1 −1 −1

¶

Su diagonalizaci´on es: √ λ2 − 2 = 0 =⇒ λ1 = − 2, luego es un punto de silla. Las direcciones principales son: x − y = λi x −x − y = λi y luego y = (1 − λi )x de manera que √ ~ 1 = (1, 1 + 2) D √ ~ 2 = (1, 1 − 2) D

λ2 =

√

2

Din´amica en el espacio de fases La gr´afica ser´a:

21

22

Cap´ıtulo 2

6) Oscilador amortiguado x˙ = y y˙ = −ω02 x − 2γy •

Puntos Fijos x0 = (0, 0)

•

Estabilidad en x0 La matriz es:

µ M=

0 1 2 −ω0 −2γ

¶

Su diagonalizaci´on es: 2

λ + 2γλ +

ω02

q q 2 2 = 0 =⇒ λ1 = −γ − γ − ω0 , λ2 = −γ + γ 2 − ω02

a) γ < ω0 . λ1 y λ2 son complejos conjugados. Es una espiral estable b) γ > ω0 . λ1 y λ2 son reales negativos. Es un nodo estable con direcciones principales ~ 1 = (1, λ1 ) D ~ 2 = (1, λ2 ) D

(5.8) (5.9)

~ 1 y salen paralelas a D ~ 2. Las ´orbitas entran paralelas a D c) γ = ω0 . λ1 = λ2 = −γ son reales negativos. Es un nodo estable impropio con direcci´on principal y = −γx.

Din´amica en el espacio de fases

23

7) x˙ = x(1 + x − 2y) y˙ = (x − 1)y •

Puntos Fijos x1 = (0, 0),

•

x2 = (−1, 0),

Estabilidad en x1 La matriz es:

µ M=

1 0 0 −1

x3 = (1, 1)

¶

Su diagonalizaci´on es: λ2 − 1 = 0 =⇒ λ = ±1 luego es una silla con direcciones principales x = 0 para

λ = −1,

y = 0 para

λ=1

luego las l´ıneas entran paraleas al eje y y salen paralelas al eje x. •

Estabilidad en x2 La matriz es:

µ M=

−1 2 0 −2

¶

Su diagonalizaci´on es: (λ + 1)(λ + 2) = 0 =⇒ λ1 = −1,

λ2 = −2

luego es un nodo estable horario. Las direcciones principales son: y = 0 para

λ = −1,

y=−

x 2

para

λ = −2

luego las l´ıneas entran paralelas al eje y = − x2 , giran en y = paralelas al eje x.

x 2

y caen en x2

24 •

Cap´ıtulo 2 Estabilidad en x3 La matriz es:

µ M=

1 −2 1 0

¶

Su diagonalizaci´on es: √ 1±i 7 λ − λ + 2 = 0 =⇒ λ = 2 2

luego es una espiral inestable antihoraria. Las direcciones principales son: y = 0 para

λ = −1,

y=−

x 2

para

λ = −2

luego las l´ıneas entran paralelas al eje y = − x2 , giran en y = paralelas al eje x.

x 2

y caen en x2

Din´amica en el espacio de fases

25

8) x˙ = x(4 − x − y) y˙ = (x − 2)y •

Puntos Fijos x1 = (0, 0),

•

x2 = (2, 2),

Estabilidad en x1 La matriz es:

µ M=

4 0 0 −2

x3 = (4, 0)

¶

Su diagonalizaci´on es: (λ − 4)(λ + 2) = 0 =⇒ λ1 = −2,

λ2 = 4

luego es una silla con direcciones principales x = 0 para

λ1 = −2,

y = 0 para

λ2 = 4

luego las l´ıneas entran paralelas al eje y y salen paralelas al eje x. •

Estabilidad en x2 La matriz es:

µ M=

0 −2 2 0

¶

Su diagonalizaci´on es: √ λ2 + 2λ + 4 = 0 =⇒ λ − 10 ± i 3 luego es una espiral estable . •

Estabilidad en x3 La matriz es:

µ M=

−4 −4 0 2

¶

Su diagonalizaci´on es: −(4 + λ)(2 − λ) = 0 =⇒ λ1 = −4,

λ2 = 2

26

Cap´ıtulo 2

luego es una espiral inestable antihoraria. Las direcciones principales son: y = 0 para

λ1 = −4,

y=−

x 2

para

λ2 = 2

luego las l´ıneas entran paralelas al eje y = − x2 , giran en y = paralelas al eje x.

x 2

y caen en x2

Din´amica en el espacio de fases

6.

27

Ciclos l´ımite

Veamos por ejemplo el siguiente sistema x˙ = x + y − x(x2 + y 2 ) y˙ = −x + y − y(x2 + y 2 )

(6.10)

Desde el punto de vista del analisis lineal hay una espiral inestable en el origen. Sin embargo, el sistema puede ser resuelto exactamente si pasamos a polares. En tal caso: xx˙ + y y˙ = x2 + y 2 − (x2 + y 2 )2 y x˙ − xy˙ = x2 + y 2 es decir rr˙ = r2 (1 − r2 ) ϕ˙ = −1 or r

1 1 + ae−2t ϕ˙ = −1 r =

(6.11)

de manera que las ´orbitas convergen a un c´ırculo de radio 1 tanto si r0 es mayor que 1 como si es menor (ver figura)

1

0.5

–1

–0.5

0.5 –0.5

–1

1

1.5

2

28

Cap´ıtulo 2

7.

Blow up x˙ = −y + x(x2 + y 2 ) y˙ = x + y(x2 + y 2 ) Pasando a polares: rr˙ = xx˙ + y y˙ = (x2 + y 2 )2 = r4 r2 ϕ˙ = xy˙ − y x˙ = x2 + y 2 = r2

luego r˙ = r3 ϕ˙ = 1 cuya soluci´on es

r02 1 − 2r02 t ϕ = t + t0

r2 =

Din´amica en el espacio de fases

8.

29

atractores

Los c´ıclos l´ımite, los nodos estables y las espirales estables son atractores. En m´as de dos dimensiones el espacio de fases puede presentar atractores con comportamientos peculiares que se denominan atractores extra˜ nos

8..1

El atractor de Lorenz