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PROYECTO GEOMETRIA INTERACTIVA

-GEOMETRIA DEL ESPACIO CON CABRI 3 D -LAS CÓNICAS CON GEOGEBRA.

Autor: William Rodríguez Chamache

poliedros o sólidos geométricos VERTICE CARA

ARISTA

CONVEXO

NO CONVEXO

TEOREMA DE EULER C=5 V=6 A=9

PROBLEMA 1 PROBLEMA 2



C+V=A+2

C=6 V=6 A = 10

Siendo:

C: N° de caras V: N° de vértices A: N° de aristas

POLIEDROS REGULARES Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares. Solamente existen 5 poliedros regulares: FORMA DE LA CARA

C

V

TETRAEDRO

4

4

OCTAEDRO

8

6

ICOSAEDRO

20

12

HEXAEDRO (Cubo)

6

8

DODECAEDRO

12

20

A

TETRAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

a a h

a 6 h  Altura: h = 3

2

A = 2a 3

3

d=a 2

a 2 V= 12

2

A=a 3

d  Diagonal del sólido

HEXAEDRO REGULAR (CUBO)

A = 6a2 a

D

D=a 3 V = a3

a

3

a 2 V= 3

Prisma C' A'

B'

C A

B

Bases ABC y A'B'C' Aristas laterales AA' , BB' , CC' Aristas básicas AB , BC , AC Caras laterales ABB'A', BB'C'C, ACC'A'

Prisma recto Área lateral (A L ) A BASE AL =

Perímetro Base

x

h

h: Altura del prisma

h

Área total (A T ) A T = A L + 2A Base A BASE Volumen (V) V=A

Base x

Altura

Paralelepípedo rectangular (rectoedro u ortoedro

c

D

a

A = 2(ab + ac + bc) D2 = a 2 + b 2 + c 2 V = abc

b

Cilindro Recto de Revolución Área lateral (A L )

ABASE Generatriz

A L = 2rg g

Área total (A T ) A T = A L + 2A Base A T = 2r(g + r)

r

Volumen (V) g : Generatriz r : Radio de las bases

V = r 2g

PIRÁMIDE Vértice o cúspide Arista lateral h Arista básica Base

AB x h V= 3

PIRÁMIDE REGULAR O

O : Vértice h : Altura OM: Ap = Apotema de la pirámide A L = p Base p

x

Ap

semiperímetro

A T = A L + A BASE

V=

1 A Base x h 3

h B A

C O

M D

CONO RECTO Vértice Generatriz Altura g

g h

h r

r

A L =  r.g

g

g

h O

r

A T = r . (g + r) 1 r 2 . h V= 3

Desarrollo lateral del cono g =

g

h r

g

 2r

2r g

ESFERA Círculo menor

R

Círculo mayor o máximo

2R R

A = 4R

2

3 V = 4 R 3

HUSO Y CUÑA ESFÉRICA HUSO

CUÑA

R R



AH =

R 

v R

R

R2

R3

90°

VC =

270°

CASQUETE ESFÉRICO (zona esférica de una base) SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE

h

A C = 2R.h R

R

 h h2 +r 2 VSE = 2

r

h

3

PROBLEMA 7

Si C: N° de caras; V: N° de vértices y A: N° de aristas. ¿Qué alternativa es correcta para el dodecaedro? a)C = 12; A = 12; V = 30 b)C = 12; V = 12; A = 20 c)C = 12; V = 20; A = 12 d)C = 12; V = 30; A = 20 e)C = 12; A = 30; V = 20 Dodecaedro representa 12 caras

C=12

Observamos que el dodecaedro tiene 20 vértices Luego aplicamos el teorema de Euler:

C+V=A+2

PROBLEMA 11

La arista del cubo mide 4 dm. Calcular la distancia de “B” al punto medio de EH.

C B

G F

4

A

H

D 2

4 4

2

E

2

2

2

4  (4 2)  y

2

PROBLEMA 11

10

10 2 10

10

10

AREA 

(10 2)(10) 2

PROBLEMA 16

6 6

3 3 3

6 3

PROBLEMA 17

6

6 12

Baricentro

6 3

12

4 3

2 3 6 6 12

2

2

x  (2 3)  (6)

2

PROBLEMA 30

a 6

a 3

a

a 2

a Finalmente por relaciones métricas en Triángulos rectángulo se cumple que

(a)(a 2)  ( 6 )(a 3)

PROBLEMA 20

3

2m

baricentros

2m

3 baricentros

x m 3

m

3

2m

2m

x m

m 3

2m 3 m  x 3 x 3

PROBLEMA 14

PROBLEMA 19

a a 2

a

D

A TETRAEDRO REGULAR

h  Altura: h =

a h

A = a2 3

V=

OCTAEDRO REGULAR

a 6 3 3

a 2 12

Observamos que AG es la diagonal del cubo a 3 Luego la arista del Acubo 2 será: a a = 2a 3 V=

2

3

3

(a 2) . 2 d = a 2 V 12 d  Diagonal del sólido

PROBLEMA 14

¿Cuantos poliedros regulares cuyas caras son triángulos equiláteros existen.? OCTAEDRO TETRAEDRO

ICOSAEDRO

PROBLEMA 29

a

x

a a 2

a

a 3

a 2

P