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• Yani Velasco Gordillo

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MECANICA DE MATERIALES INTRODUCCION

La mecánica de materiales es una rama de la mecánica aplicada que estudia el comportamiento de los cuerpos solidos sometidos a diversas cargas. En este campo de estudio tiene otros nombres, resistencia de materiales y mecánica de cuerpos deformables. El objetivo principal de la mecánica de materiales es determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y en sus componentes, debido a las cargas que actúan sobre ellos. Si se pueden determinar esas cantidades para todos los valores d las cargas, hasta llegar a los valores que causan la falla, tendremos una imagen y una enseñanza completa del comportamiento mecánico de esas estructuras. Al abordar esta materia de mecánica de materiales nuestro estudio se verá dividido en dos partes: primero, comprender el desarrollo lógico de los conceptos y segundo, aplicar esos conceptos a situaciones prácticas. Tal es el caso presentado en este trabajo el cual cuenta con problemas resueltos sobre el estudio de la mecánica de materiales enfocados principalmente a dos temas muy importante y representativos de esta materia los cuales son: Esfuerzos cortantes y Esfuerzos torsionantes, los cuales como ya se mencionó en el párrafo anterior se tuvo que haber tenido bases teóricas y/o desarrollos lógicos para poder comprender la importancia, la solides y lo que representan en la práctica tanto laboral estudiantil como laboral profesionista. Cada problema está representado por su concepto, su diagrama (dibujo) y su correspondiente desarrollo el cual permitirá una mayor comprensión sobre el tema y las problemáticas practicas presentadas.

MECANICA DE MATERIALES PROBLEMAS DE ESFUERZOS CORTANTES

El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión cortante. Los esfuerzos cortantes se manifiestan normalmente mediante clavos, pasadores, pernos, etc., utilizados para conectar dos, tres o varios elementos estructurales. Teniendo como bases las teorías aprendidas en clase y mediante el análisis estricto de nosotros, se presentan los siguientes ejemplos prácticos ya resueltos.

MECANICA DE MATERIALES 2.- Un perfil angular tiene t=0.5 pulg de espesor, y se fija a la superficie de una columna con dos tornillos de 5/8 pulg de diámetro (véase la figura). Sobre la cara superior del perfil angular actúa una carga uniformemente distribuida, y ejerce una presión p= 300 lb/pulg2. La cara superior del perfil angular tiene L= 6 pulg de longitud y b= 2.5 pulg de ancho. Determine la presión promedio de carga

σb

entre el perfil y los tornillos, y el esfuerzo cortante

promedio, τ prom, en los tornillos. (No tenga en cuenta la fricción entre el perfil y la columna).

Fig. 3

SOLUCION P= presión que actúa en la parte superior del soporte. P= 300 lb/pulg2 F= la fuerza resultante que actúa sobre el soporte. F= pbL = (300 lb/pulg2) (2.5 in.) (6.0 in.) = 4.50 k TENIENDO LA PRESIÓN entre el soporte y PERNOS Ab= teniendo área de un perno. Ab= dt = (0.625 in.) (0.5 in.) = 0.3125 in2

Por lo tanto:

MECANICA DE MATERIALES

σb= F/2Ab=4.50 k/2(0.3125 in.2)= 7.20 ksi

d = 0.625 in. t = 0.5 in. b = 2.5 in. L = 6.0 in. PROMEDIO DE CORTE EL ESTRÉS EN EL PERNOS As = (π/4) d2 = (π/4)(0.625 in.) = 0.3068 in.2

τ = F/2As=4.50 k/2(0.3068 in.2)= 7.33 ksi

Fig. 4

MECANICA DE MATERIALES 4.-Tres placas de acero, cada una de 16 mm de espesor, están unidas con dos remaches de 20 mm, como se muestra en la figura. a) Si la carga es p= 50 Kn ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo que actúa sobre los remaches? b) Si el esfuerzo cortante ultimo para esos remaches es 180 MPa ¿qué fuerza Pult se requiere para hacer que los remaches fallen por corte? (No tenga en cuenta la friccion entre las placas).

Fig. 6

SOLUCION

Fig. 5

Tres placas unidas por dos remaches.

a) t = 16mm

MECANICA DE MATERIALES d = 20mm

τult =180 MPa

P = 50kN

MÁXIMA TENSIÓN TENIENDO EN EL REMACHES. Ab = dt

σb = P/2Ab=P/2dt=50 kN/2(20 mm) (16 mm) = 78.1 MPa

b)

ÚLTIMA CARGA EN CORTE Esfuerzo cortante en dos remaches = P/2 Esfuerzo cortante en un remache= P/4

= (P/4)/(A)= p/4(πd2/4) = P/πd2 P =πd2τ

Pult = πd2tult = π(20 mm)2(180 MPa) = 226 kN

MECANICA DE MATERIALES 6.- En la figura siguiente se ve una conexión atornillada entre una columna vertical y una riostra diagonal. La conexión consiste en 3 tornillos de 5/8 pulg que unen dos placas extremas de ¼ pulg, soldadas a la diagonal, y un cartabón (placa esquinera, placa de unión o escuadra de ensamble) de 5/8 pulg, soldado a la columna. La carga de compresión P que soporta la riostra es de 8.0 klb. Determine las siguientes cantidades: a) el esfuerzo cortante promedio en los tornillos. b) el esfuerzo de soporte promedio entre el cartabón y los tornillos (no tenga en cuenta la fricción entre las placas).

Fig. 9

3

SOLUCION tornillos en cortante doble Fuerza P= de compresión en corsé 8.0 k. d = diámetro de 5/8 =0.625 pulgadas. t1 = espesor de la placa de refuerzo 5/8 = 0.625 pulgadas t2 =espesor de las placas de extremo 0 ¼ pulgadas= 0,25 pulgadas esfuerzo cortante promedio en los pernos.

a) Una sección transversal de un tornillo πd²/4 = 0.3068 pulg² V = fuerza cortante que actúan sobre un perno = 1/3 (p/2) = p/6

τ prom = V/A = p/ 6ª = 8.0 k/ 6(0.3068 in²) = 4350 lb/pulg² b) media de esfuerzos que lleva contra placa de nudo Ab = teniendo área de un perno = t1d = (0.625 in.)(0.625 in.) = 0.3906 in² Teniendo fuerza F actúa sobre la placa de refuerzo de un tornillo= p/3

σb= P/ 3Ab= 8.0 k / 3(0.3906 in².) = 6830 lb/pulg²

MECANICA DE MATERIALES 8.- Una viga de cajón hueco ABC de la longitud L esta soportada en un extreme A por un pasador de 20 mm de diámetro que la atraviesa, y en sus pedestales de soporte (véase la figura). El soporte de rodillo en B está a una distancia L/3 del extremo A. a) Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador, debido a una carga P = 10 kN. b) Determine el esfuerzo de soporte promedio entre el pasador y la viga de cajón, si el epesor de la pared de la viga es igual a 12 mm.

Fig.11

SOLUCION P =10kN d = 20 mm t =12mm

a) PROMEDIO esfuerzo cortante. Doble corte.

τprom = (2P)/2((π/4)d2)= 4P/πd2 = 31.8 MPa b) TENIENDO EN MEDIA TENSIÓN

σb = 2P/2(dt) = P/dt = 41.7 MPa

MECANICA DE MATERIALES 10.- La conexión que se ve en la figura consiste en cinco places de acero, cada una de 3/16 pulg de espesor unidas por un solo tornillo de ¼ pulg de diámetro. La carga total que se transfiere entre las placas es de 1200 lb distribuidas entre ellas como se muestra. a) Calcule el esfuerzo cortante máximo en el tornillo sin tener en cuenta la fricción entre placas. b) Calcule el esfuerzo máximo de carga que actúa contra el tornillo.

Fig. 13

SOLUCION D= diámetro del perno ¼ pulgada T= espesor de las placas 3/16 pulgada Sección A- A: V = 360 libras Sección B- B: V =240 libras V max = 360 lb a) Esfuerzo cortante máximo en perno

τmax= Vmax / π/4 d²= 4V max/ πd²= 7330 lb/pulg² b) F= Tensión máxima = F max= 600 lb

σb= F max/ dt= 12800 lb/pulg²

MECANICA DE MATERIALES

9.- Una placa de acero con dimensiones 2.5 X 1.2 X 0.1 m es izada con una eslinga que tiene una horquilla en cada uno de sus extremos (véase la figura). Los pasadores que atraviesan las horquillas tienen 18 mm de diámetro, y estan a 2.0 m de distancia. Cada mitad del cable forma un ángulo de 32° con la vertical. Para estas condiciones determine el esfuerzo cortante promedio esfuerzo de soporte promedio

σb

entre la placa de acero y los pasadores.

Fig. 12

SOLUCION Dimensiones de la placa: 2.5 X 1.2 X 0.1 m Volumen de la placa: V = (2.5) (1.2) (0.1) m= 0.300m3 Peso densidad del acero:

ᵧ = 77,0 kN/m3

ᵧ

Peso de la placa: W = v = 23,10 kN d = diámetro del pasador a través de la horquilla de = 18 mm t = espesor de la placa de= 0,1 m = 100 mm TRACCIÓN T FUERZA EN CABLE:

τprom en los pasadores y el

MECANICA DE MATERIALES

ΣF vertical = 0 ↑+↓T cos 32-W/2 = 0 T = W/2 cos 32° = 23.10 kN/2 cos 32° = 13.62 kN

τprom = T/2A

13.62 kN) / (2(π/4 )(18 mm)2) = 26.8 MPa

pin = (

Ab = Area de soporte. = td

σb = T/td = 13.62 kN / (100 mm) (18 mm)

= 7.57 MPa

Diagráma de cuerpo libre.

Fig.9

Diagrama de cuerpo libre.

MECANICA DE MATERIALES 7.- un tornillo especial con diámetro d = o.50 pulg atraviesa un orificio. En una placa de hacer. La cabeza hexagonal de tornillo recarga directamente contra la placa. El radio del circulo circunscrito del hexágono es r= o.40 pulg .También el espesor t de la cabeza del tornillo es o.25 pulg y la fuerza de tensión P = 1000 lb en el tornillo. a) Determine el esfuerzo promedio de carga entre la cabeza hexagonal de tornillo y la placa. B) Determine el esfuerzo cortante promedio en la cabeza del tornillo.

Fig. 10

SOLUCION DATOS: d = 0.50 pulgada r = 0.40 pulgada. t = 0.25 pulgada P = 1000 lb AREA DE UN TRIANGULO EQUILATERO a) Tensión de aplastamiento entre la cabeza del tornillo y la placa área de la superficie del perno hexagonal menor = r²√3/4 = 3 r²√3/ 2

Ab= 3 r²√3/ 2 - πd² / 4 = 3/2 (0.40 in) ² (√3) – (π/ 4) (o.50 in) ² = o.4157 in ² - 0.1963 in ² = 0.2194 in ²

σb = P / Ab = 1000 lb/ 0.2194 in ² = 4560 lb/pulg² b) Esfuerzo de corte en la cabeza del tornillo

τprom = P / As = P / πd t = 1000 lb / π (o.50 in) ( 0.25 in)= 2550 lb/pulg²

MECANICA DE MATERIALES 5.- Una base de soporte amortiguado que consiste en dos placas de acero sujetas a un elastrómetro de cloropreno (un hule artificial), se sujeta a una fuerza cortante V durante una prueba de carga estática (véase la figura). Las dimensiones de la base son a = 150 mm y b = 250 mm y el espesor del elastómero es t = 50 mm. Cuando la fuerza V = 12 kN, se ve que la placa superior se a desplazado 8.0 mm hacia un lado, con respecto a la placa inferior. ¿Cuál es el módulo de elasticidad cortante G del cloropreno?

Fig. 7

SOLUCION d = 8.0 mm t = 50 mm b = 250 mm V =12kN Ancho de pista: a = 150 mm Longitud de la pista: b= 250mm

Fig.8

d = 8.0mm

τprom = V / ab= 12 kN / (150 mm) (250 mm) = 0.32 MPa

ᵧprom = d /t = 8.0 mm / 50 mm = 0.16 G = τ / ᵧ = 0.32 MPa / 0.16 = 2.0 MPa

MECANICA DE MATERIALES 3.- Una junta entre dos losas de concreto A y B se llena en un epóxico flexible que se adhiere firmemente en el concreto. La altura de la junta es h= 0.40 pulg, su longitud es L= 40 pulg y su espesor es de 0.5 pulg. Bajo la acción de las fuerzas de corte V, las losas se desplazan en el sentido vertical una distancia d= 0.002 pulg entre sí. a) ¿Cuál es la deformación unitaria cortante promedio? b) ¿Cuál es la magnitud de las fuerzas V si el módulo de elasticidad cortante G Del epóxico es de 140 Klb / pulg²?

Fig. 5

SOLUCION DATOS h = 4.0 pulgada t = 0.5 pulgada L = 40 pulgada d = 0.002 pulgada G = 140 lb/pulg² a) las deformaciones de corte PROMEDIO

ᵧ prom = d /t = 0.004 b) fuerzas V de corte

ᵧ

V = τ (hL) = G prom (hL)= (140 lb/pulg²)(0.004)(4.0in)(40 in) V= 89.6 k

MECANICA DE MATERIALES 1.- Una conexión flexible está formada por amortiguadores de hule (8espesor t = 9 mm) adherido a placas de acero; se ve en la figura siguiente. Los amortiguadores tienen 160 mm de longitud y 80 mm de ancho. a) Determinar la deformación unitaria de corte promedio

ᵧprom

en el hule, si la fuerza es P = 16

kH, y el modulo del hule al cortante es G= 1250 kPa. b) Determinar el desplazamiento horizontal relativo δ entre la placa intermedia y las placas externas.

Fig.1

Fig.2

a) Esfuerzo de corte y deformación en las almohadillas de goma. G = 1250 kPa P = 16kN Tacos de goma: t = 9mm Longitud: L= 160 mm Ancho: b= 80 mm

τprom = (P / 2) / (bL) = 8 kN / (80 mm) (160 mm) = 625 kPa

ᵧprom = (ᵧprom) / G = 625 kPa / 1250 kPa = 0.50 b) Desplazamiento horizontal:

ᵧ

δ = prom t = (0.50)(9mm) = 4.50mm

MECANICA DE MATERIALES PROBLEMAS DE TORSION La torsión, es considerado el tipo de comportamiento más complicado. La torsión se refiere a la deformación de una barra recta al ser cargadas por momentos (o pares de torsión) que tienden a producir una rotación alrededor del eje longitudinal de la barra; por ejemplo, al girar un desarmador, la mano aplica un par de torsión T a la manija, y tuerce la barra del desarmador. El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos: Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

A continuación están resueltos 10 ejercicios que tienen que ver con torsión, en ellos se presenta su descripción detallada, su diagrama y su respectiva solución.

MECANICA DE MATERIALES 1T.- una varilla de cobre de L = 18.0 pulg de longitud se va a someter a las partes de torsión T. hasta que el ángulo de rotación entre sus extremos sea 3.0°. Si la deformación cortante admisible en el cobre es 0.0006 rad. ¿Cuál es el diámetro máximo permisible de la varilla?

Fig. 1

SOLUCION DATOS L = 18.0 in. Φ =3.0°= (3.0) (π/180) rad = 0.05236 rad

ᵧ = 0.0006 rad ᵧmax = r Φ/ L= d Φ/ 2L dmax = 2L ᵧ / Φ = (2)(18.0 in)(0.0006 rad) / 0.05236 = 0.413 in

MECANICA DE MATERIALES 10T.- Una barra de plástico de platico de d =50 mm se va a someter a los pares T (véase la figura) hasta que el ángulo de rotación entre sus extremos sea de 5.0°. Si la deformación cortante máxima en el platico es 0.012 rad, ¿cuál es la longitud permisible de la barra?

Fig. 10 SOLUCION d = 50 mm

ᶲ= 5.0° = (5.0°)(π / 180°) = 0.08727 rad ᵧ = 0.012 rad Encontrar Lmin =

ᵧmax = (rᶲ) / L= (d ϕ) / 2L Lmin = (rᶲ) /( 2 ᵧ) = (50 mm) (0.08727 rad) / (2)(0.012 rad) Lmin=182 mm.

MECANICA DE MATERIALES 2T.- un tubo circular de aluminio sometido a torsión pura por partes T tiene un radio exterior r2 igual al doble que el radio interior r1. Si la deformación unitaria cortante máxima en el tubo se mide con 400 x 10 -6 radianes, ¿Cuál es la deformación unitaria cortante en La superficie interior Si el ángulo te torsión por unidad de longitud máximo permisible es de 0.15 grados por pie y la deformación unitaria cortante máxima debe mantenerse en 400 x 10 -6 radianes por ajuste del par T, ¿Cuál es el radio Exterior mínimo requerido (r2 min)?

Fig. 2

SOLUCION

DATOS r2 = 2 r1

ᵧmax = 400 x 10 -6 radianes ϴ= 0.15°/ ft = (0.15°/ ft) (π rad /180°)(1ft / 12 in) = 218.2 x 10 -6 rad/ in CORTE EN LA SUPERFICIE DE TENSIÓN INTERNA

ᵧ1= ½ ᵧ 2= ½ (400 x 10 -6 radianes) ᵧ 1 = 200 x 10 -6 rad GRADO EXTERIOR MINIMO

ᵧ max = r2 Φ / L = r2 ϴ r2 min= 400 x 10 -6 radianes / 218.2 x 10 -6 rad/ in r2 min= 1. 83 in= 1.83 pulg

MECANICA DE MATERIALES 9T.- Un tubo circular de acero de longitud L = 0.90 m está sometido a la torsión por pares T (véase la figura). a) Si el radio interno del tubo es r1 = 40 mm y el ángulo e torsión medido entre los extremos es

ᵧ

de 0.5°, ¿Cuál es la deformación unitaria cortante 1 en la superficie interna? b) Si la deformación unitaria cortante máxima permisible es de 0.0005 radianes y el ángulo de torsión debe mantenerse en 0.5° por ajuste del par T, ¿Cuál es el radio exterior máximo permisible r2max?

Fig. 9

L =0.90 m r1 =40 mm

ᶲ= 0.5°(π /180) = 0.008727 rad

ᵧmax= 0.0005 rad a) CORTE EN LA SUPERFICIE DE TENSIÓN INTERNA

ᵧmax = ᵧ1 =

r1(ᶲ / L)= (40 mm) (0.008727 rad) / (900 mm)

ᵧ1= 0.00000388 rad. b) Radio máximo exterior.

ᵧmax = ᵧ2 =

ᵧ

r2 (ᶲ / L); r2= ( max)(L)

(r2) max = (0.0005 rad) (900 mm) / (0.008727 rad) (r2) max=51.6 mm.

MECANICA DE MATERIALES 3T.- Resuelva el problema anterior si la longitud L = 50 pulg, el radio interior r1= 1.5 pulg, el ángulo de torsión es de 0.6° y la deformación unitaria permisible cortante es de 0.0004 radianes.

SOLUCION

Fig. 3

DATOS L = 50 in r1 = 1.5 in Φ = 0.6°(π rad /180°) = 0.010472 rad = 0.0004 rad CORTE EN LA SUPERFICIE DE TENSIÓN INTERNA

ᵧ min = ᵧ 1= r1 Φ / L

= 1.5 in (0.010472 rad) / 50 in

ᵧ 1 = 314 x 10 -6 rad RADIO EXTERIOR MÁXIMO

ᵧ max = ᵧ 2 = r2 Φ / L ; r2 = ᵧ max L / Φ r2 max = (0.0004 rad)(50 in) / 0.010472 rad r2 max= 1.91 in = 1.91 pulg

MECANICA DE MATERIALES 8T.- Una barra solida de acero con sección transversal circular tiene diámetro d= 1.5 pulg, longitud L= 54 pulg, y módulo de elasticidad cortante G= 11.5 x 10 6 lb/ pulg2 . La barra está sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos. a) Si los pares tienen magnitud T=250 lb- ft, ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo en la barra? ¿Cuál es el ángulo de torsión entre los extremos? b) Si el esfuerzo cortante permisible es 6000 lb/pulg2 y el ángulo permisible de torsión es de 2.5° ¿Cuál es el par permisible máximo?

Fig.8

SOLUCION a) Esfuerzo cortante máximo y ángulo de torsión máximo. Datos: d = 1.5 pulg L= 54 pulg

τmax = (16T) / (πd3) = ((16)(250)(12)) /( (π)(1.5)) = 4530

lb/pulg2

IP= (πd4) / (32) = π(1.5)4 / 32 = 0.4970 ϕ= TL/ GIp = ((250)(12)854)) /((1.5 x 106)(0.4970)) = 0.02834rad = 1.62° b) Par de torsión máxima permisible. (πd3 τperm) /16 = (π / 16 )(1.5)3(6000) = 3980lb- pulg = 331 lb- ft. T2 = (GI p ϕ) / ( L) = ((11.5 x 106)(0.4970)(2.5°)(π rad / 180)) / ( 54) = 4618 lb- pulg 0 385 lb-ft El par permisible máximo es el menor de T1 Y T2: Tmax= 331 lb- ft.

MECANICA DE MATERIALES 4T- Un tubo circular de aluminio está sometido a torsión por pares T aplicados en los extremos. La barra tiene 20 pulg de longitud y los diámetros Inferior y exterior son de 1.2 y 1.6 respectivamente. Se determina por medición que el ángulo de torsión es de 3.63° cuando el par es de 5 800 lb-pulg. Calcule el esfuerzo máximo cortante en el tubo del módulo de elasticidad cortante G y la deformación unitaria cortante máxima en radianes.

SOLUCION

DATOS Fig. 4 L = 20 in. d1 = 1.2 in. d2 = 1.6 in. T =5800 lb-in. Φ =3.63° = 0.063355 rad IP = π/ 32 ( d24 – d14 ) = 0.43982 in4 MAXIMO ESFUERZO CORTANTE T max=

T

Tr / Ip = (5800 lb-in.) ( 0.8 in ) / 0.43982 in 4

max= 10,550 lb/pulg²

MAXIMO ESFUERZO CORTANTE

ᵧ max = T max / G ᵧ max= ( tr / ip) (ΦIp / TL) = r Φ / L = (0.8 in) (0.063355 rad) / 20 in

MODULO DE ELASTICIDAD TRASNVERSAL

Φ = TL / GIp =

G = TL / ΦIp

G = (5800 lb-in.) ( 20 in) / (0.063355 rad) (0.43982 in 4) G = 4.16 x 10 6 lb/pulg²

= (0.8 in) (0.063355 rad) / 20 in

= 0.00253 rad

MECANICA DE MATERIALES 7T.- Un eje de hélice para un yate pequeño está hecho de una barra de acero sólido de 100 mm de diámetro. El esfuerzo cortante permisible es de 50 MPa y el ángulo de torsión por unidad de longitud permisible es de 2.0° en 3m. Suponga que el módulo de elasticidad de cortante es G= 80 GPa Tmax aplicable al eje.

y determine el par máximo

Fig. SOLUCION d =100 mm G =80 GPa

τ= 50 MPa θ = 2° in 3 m = (1/3)(2°)(π/180) = 0.011636 rad / m MAX. PAR DE BASE EN EL CORTE

τ= (16 T) / (πd3) ; T1= (πd3 τ) / 16 = T1 = 9820 N .m θ = T / GIP ; T2 = GIP θ = G((πd4) / (32))( θ ) = (80 GPa) (π/32) (100 mm)4(0.011636 rad.m) T2 = 9140 N .m Tmax = 9140 N . m

MECANICA DE MATERIALES 5T.- El eje de acero de un malacate grande en un trasatlántico está sujeto a un par de 1.5 KN.m ¿Cuál es el diámetro requerido si el esfuerzo cortante permisible es de 50 MPa y el ángulo de torsión por unidad de longitud permisible es de 0.8°/ m? (suponga que el modulo de elasticidad en cortante es de 80 GPa)

Fig. 5

SOLUCION DATOS T= 1.5 KN.m G = 80 GPa T max= 50 MPa ϴ= 0.8°/ m = (0.8°)(π/180) rad/m = 0.013963 rad/m MIN. DIÁMETRO BASADO TENSION DE CORTE T= 16 t / πd3 = d3= 16t / π Td3 = 16 ( 1.5 KN.m) / π (50 MPa) = 152.789 x 10 -6 m³ d= 0. 05346

d min=53.5 mm

MIN. DIÁMETRO dependiendo de la tasa de torsión ϴ= T / GIp = 32t / G π d4 d4= 32t / π G ϴ ; d4= 32 (1.5 KN.m) / π (80 GPa) (0.013963 rad/m) = 0.00001368 m4 D= 0.0608 m

d min = 60.8 mm

Resultado= D min = 60.8 mm

MECANICA DE MATERIALES 6T.- Un barreno de acero de alta resistencia que se usa para taladrar un agujero en la tierra tiene un diámetro de 0.5 pulg (véase la figura). Las dimensiones y módulos de elasticidad en el hacer es de 40 klb/ pulg2 y el módulo de elasticidad en cortante es de 11600 klb/pulg2. ¿Cuál es la longitud mínima requerida del barreno de modo que un extremo del barreno se tuerce 30° con respecto al otro extremo si sobre pasar el esfuerzo permisible?

Fig.6

SOLUCION

G = 11,600 psi d = 0.5 in.

ᶲ= 30° = 30°(π/180)rad = 0.52360 rad τ = 40 ksi Longitud mínima. τmax = (16T)/( πd3) de la ecuación ; ᶲ= (TL / GIP)( 32TL/G πd4)

T= (16/ πd3)( G πd4ᶲ/32L) = Gdᶲ/2L Lmin = = Gdᶲ / 2 τ = (11,600 ksi) (0.5 in.) (0.52360 rad) / 2(40 ksi) Lmin = 38.0 in.