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“AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO”

“Elasticidad de un resorte helicoidal”.

ALUMNOS: 

Agüero Goicochea, David



Cabanillas Cabanillas, Brayan



Guevara Coba,Antony



Mendoza Guevara, Paola



Montalvo Jave, Johnny

CURSO: Mecánica y resistencia de materiales

DOCENTE: Torres Álvarez, Jorge Daniel

Cajamarca – Perú 2017

ELASTICIDAD DE UN RESORTE HELICOIDAL RESUMEN En el presente informe se determinó usando el método estático y dinámico el comportamiento de un resorte, así mismo la constante elástica del resorte de manera experimental y el módulo de rigidez del material del resorte. Además, se analizó gráficamente y estadísticamente usando los métodos antes mencionados. Para ello, se tomaron los datos en el aula donde se utilizó un soporte universal de 110 cm, un resorte de 54 espiras de acero, al cual se le adicionaban las masas aplicando el método estático. Conforme, se avanzaba la práctica se tomaron los datos de deformación del resorte con cada masa adicionada. Posterior a ello se tomaron los datos cuando el resorte estaba en movimiento aplicando el método dinámico, teniendo en cuenta el tiempo en que se daban 20 oscilaciones.

Método estático k=43.09N/m G=8.8*1010 𝑁/𝑚2 Método dinámico: k=43.72N/m G=8.9*1010 𝑁/𝑚2

I.

OBJETIVOS: i. Determinar el comportamiento de un resorte. ii. Determinar experimentalmente la constante elástica del resorte. iii. Determinar el módulo de rigidez del material del resorte.

II.

FUNDAMENTO TEÓRICO: Se designa como elasticidad a la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.

Imagen N°1: Ejemplos de elasticidad. Ley de Hooke: Establece que dentro de los límites elásticos, la fuerza deformadora (F) y el valor de la deformación L que produce la fuerza, son directamente proporcionales:

F  k  L ……..

(1)

Donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante elástica del material.

Imagen Nª 2: Deformación elástica de un resorte

La deformación llamada también elongación es el estiramiento del resorte respecto de la posición de equilibrio (posición del resorte sin aplicar ninguna fuerza)

k

F L ……..

(2)

La ecuación F  k  L tiene la forma de la ecuación de la recta: y  mx  b . Si hacemos las siguientes sustituciones: y  F ; x  L , entonces, la pendiente m de la recta F vs L , representa a la constante de elástica del resorte, k. La reacción a la fuerza deformadora (fuerza externa), es la fuerza interna denominada fuerza restauradora o fuerza elástica del resorte, es el mismo modulo, pero de sentido contrario que la fuerza deformadora, esto es F = – k ΔL. Un cuerpo de masa que se encuentra bajo la acción de una fuerza restauradora realiza un movimiento oscilatorio armónico simple cuyo periodo es:

T  2

M k

…….. (3)

Esta ecuación también puede rescribirse de la siguiente manera:

T

2 k

M …….. (4)

La ecuación (4) tiene la forma de la ecuación de la recta: y  mx  b . Si hacemos las sustituciones y  T , x  M , la pendiente de la recta T vs M es:

m

2 k

…….. (5)

Cuando un resorte se estira por efecto de una fuerza de tracción, aumenta la separación entre sus espiras sucesivas, de modo que el esfuerzo que soporta 2R

2r

Tensión de corte

Imagen N° 3: Las fuerzas son tangenciales a las bases del cilindro elemental

Resortes helicoidales La imagen 4, representa un resorte helicoidal de espiras cerradas comprimidas por la acción de una fuerza axial F. El resorte está formado por un alambre de radio d, enrollado en forma de hélice de diámetro D. La pendiente de esta hélice es pequeña de tal manera que podemos considerar con bastante aproximación que cada espira está situada en un plano perpendicular al eje del resorte.

Imagen 4: (a) Resorte helicoidal sometido a carga axial, (b) Diagrama de sólido libre de la parte superior. Para determinar los esfuerzos producidos por la fuerza P, se hace un corte al resorte por una sección m-m, y se determina las fuerzas resistentes necesarias para el equilibrio de una de las porciones separadas por esta sección. Después se analiza la distribución de esfuerzos. La Figura 1.4b muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte superior del resorte. Para que el resorte esté en

equilibrio, en la sección m-m, deberá actuar una fuerza de corte Fr y un momento 𝑀 =

𝐹𝐷 2

El esfuerzo constante máximo se produce en la parte interna del resorte y viene expresado por:  max  1   2 

Sabiendo que 𝑀 = 

𝐹𝐷 2

Ft M t r  A Ip

(1.18)

y r = d/2, la ecuación 1.18 se escribe

Ft ( F D / 2)(d / 2) 8Ft D  d   t 4  1 2 3  d /4  d / 32  d  2 D 

(1.19)

En aquellos resortes en los que el valor de d es pequeño comparado con el 𝑑

valor de D, la razón 2𝐷 → 0 , entonces: 

8 Ft D d3

(1.20)

Elongación de un resorte La elongación del resorte de espiras cerradas según su eje puede determinarse con suficiente precisión, empleando la teoría de la torsión Imagen 5, representa un elemento infinitamente pequeño del alambre del resorte aislado como un “cuerpo libre “de longitud “dL”

dL  Rd

(1.21)

Donde R es el radio medio del resorte, representado por OS en la figura y 𝑑𝛼 es el ángulo central en S de dL.

(a)

Imagen5: (a) Resorte helicoidal, (b) Deformación de un resorte helicoidal

(b)

Bajo la acción del momento de torsión, M, el radio Oa de la sección transversal del alambre girará hasta ocupar Ob. El punto O de aplicación de la fuerza cortante Ft (punto c) descenderá verticalmente la distancia ce dada por

ce  cd cos 

(1.22)

Como el ángulo 𝑑𝛽 es pequeño el arco cd puede considerarse como una recta perpendicular a OC, con lo que la ec. (14) se escribe ce  cd cos 

(1.23)

De la gráfica se observa que:𝑐𝑑 ≅ 𝑜𝑐 𝑑𝛽 y que 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑜𝑠⁄𝑜𝑐 = 𝑅/𝑜𝑐, entonces la ecuación 1.23 se escribe en la forma ce  oc(d  )( R / oc)

(1.24)

El desplazamiento vertical del punto c será d  ce  Rd 

(1.25)

Donde 𝑑𝛽 es el ángulo de torsión correspondiente al elemento 𝑑𝐿 Teniendo en cuenta la ecuación (1.17), el ´ángulo de torsión en función del momento de torsión aplicado puede escribirse

d 

MdL GI P

(1.26)

Remplazando la ecuación (1.26) en la ecuación (1.25) resulta  M t dL  ( F R)(dL) R t   GI  GI p p  

  R

d 

Ft R 2 dL GI p

(1.27)

La distancia vertical 𝑐𝑒 = 𝑑𝛿 es la aportación del elemento de longitud dL al desplazamiento vertical, la elongación total se obtiene integrando la ecuación (1.27).

 

Ft R 2 F R2 dL  t  dL GI p GI p



Ft R 2  Ltotal  GI p

(1,28)

(1.29)

Teniendo en cuenta que la longitud total del resorte es 𝐿 = 2𝜋𝑅𝑁, donde N es el número de espiras del resorte, la ecuación (1.29 se escribe en la forma



Ft R 2 2 Ft R3 N 2  RN    GI P GI P

(1.30)

Si el alambre es de sección circular de radio r, el momento polar de inercia es Ip = ( π r4 )/2 entonces la elongación se escribe:



2 Ft R3 N 4 Ft R 3 N  Gr 4   r4  G   2 

(1.31)

Teniendo en cuenta que R = D/2 y que r = d/2 se procede a despejar el módulo de rigidez

G

4 NFt R3 4 Nk ( D / 2)3  r 4 (d / 2)4

G

8kD3 N d4

(1.32) *

La ecuación 1.32 nos permite determinar experimentalmente el módulo de rigidez G de un resorte siempre que se conozca: N = número de espiras, k = constante del resorte, D = diámetro medio y d = diámetro del alambre del cual está hecho el alambre. Módulo de Rigidez:

Fuente: https://es.slideshare.net/dtorres/propiedades-elsticas-de-slidos-presentation

III.METODOLOGÍAS Y TECNICAS:

i. Materiales y Equipos: -Pesa N°1 de 82.54 g -Pesa N°2 de 81.12 g -Pesa N°3 de 85.7 g -Pesa N°4 de 81.2 g -Pesa N°5 de 83.12 g -Pesa N°6 de 84 g -Pesa N°7 de 87.52 g -Pesa N°8 de 85.14 g -Pesa N°9 de 88.9 g -01 soporte universal de metal -01 soporte de madera milimetrado -01 nuez doble -01 vernier -02 escuadras de 20cm -01 resorte de 54 espiras -02 prensa de 1.5 pulg -Balanza digital

IV.DISEÑO EXPERIMENTAL

Imagen N°6: Sistema Elasticidad de un resorte helicoidal

Procedimiento: 1°Medir el número de espiras del resorte, el diámetro de las espiras, y el diámetro del alambre. Registrándolos en la tabla N°1. 2°Tomar la longitud inicial del resorte y registrar en la tabla N°1. Método Estático 3° Coloque la primera masa en el extremo libre del resorte y medir la deformación

x  L  LF  Lo , que experimenta el resorte. El valor de la fuerza deformadora está dada por

F  M  g , donde la masa total M será determinada con la balanza. Anotar las medidas en la Tabla N° 2.

4°Añadir sucesivamente las masas; anotando en cada vez la masa total M y el valor de la elongación en la Tabla N° 2. Método dinámico 5° Introducir una o más pesas y hacerla oscilar utilizando la misma secuencia que se utilizó para el método estático. 6° Ensayar las mediciones del tiempo de 20 oscilaciones completas. 7° Aumentar la masa con una pesa apropiada y en cada vez medir el tiempo de 20 oscilaciones. 8°Anotar los datos en la Tabla N° 3.

V.-RESULTADOS Y ANÁLISIS DE DATOS: i. DATOS EXPERIMENTALES: 1.1. Datos Experimentales Tabla N°1

Numero de espiras del resorte

N = 54

Con el vernier, el diámetro de las espiras D =1.74 cm

R =0.87 cm

Con el vernier, el diámetro del alambre

d =0.093 cm

r = 0.0485 cm

Longitud inicial del resorte

Lo= 5.55 cm

Tabla N°2

N

Masa (g)

(cm)

1

163.66

3.5

2 3 4 5 6 7 8 9

249.36

5.4

330.56

7.7

413.68

9.2

497.68

11.5

585.2

13.3

670.34

15.2

759.04

17.5

910.4

20.1

Tabla N°3

N

M (g)

t1 (s)

t2 (s)

t3 (s)

t4 (s)

t5 (s)

T (s)

1

163.66 7.86

7.66

7.47

7.4

7.8

7.638

2

249.36 9.35

9.23

9.4

9.43

9.23

9.328

3

330.56 10.36

10.65 10.56 10.4

4

413.68 12.31

12.69 12.58 12.57 12.62 12.554

5

497.68 13.81

13.87 13.53 13.61 13.42 13.648

6

585.2 14.72

14.73 14.65 14.85 14.85 14.76

7

670.34 15.58

15.82 15.63 15.77 15.43 15.646

8

759.04 16.63

16.88 16.85 16.69 16.81 16.772

9

910.4 17.33

17.34 17.48 17.59 17.27 17.402

10.93 10.58

Tabla N°4

1

0.16366

1.5989582

0.035

Constante Elástica (N/m) 45.68452

2

0.24936

2.4362472

0.054

45.11568889

3

0.33056

3.2295712

0.077

41.94248312

4

0.41368

4.0416536

0.092

43.93101739

5

0.49768

4.8623336

0.115

42.28116174 43.51752851

6

0.5852

5.717404

0.133

42.988

7

0.67034

6.5492218

0.152

43.08698553

8

0.75904

7.4158208

0.175

42.37611886

9

0.9104

8.894608

0.201

44.25178109

N

Masa (kg) Fuerza (N) Alargamiento (m)

kp (N/m)

Tabla N°5

N

Masa (kg) Periodo (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.16366 0.24936 0.33056 0.41368 0.49768 0.5852 0.67034 0.75904 0.9104

0.3819 0.4664 0.529 0.6277 0.6824 0.738 0.7823 0.8386 0.8701

√𝑚 0.404549132 0.49935959 0.574943475 0.643179602 0.705464386 0.76498366 0.818742939 0.871229017 0.954148835

MÉTODO ESTÁTICO

𝑘= 43.09 =

𝐺 ∗ 𝑟4 4 ∗ 𝑁 ∗ 𝑅3

𝐺 ∗ 0.0004854 4 ∗ 54 ∗ 0.00873

𝐺 = 8.8𝑥1010 𝑁/𝑚2 𝑘 = 43.09 𝑁/𝑚

MÉTODO DINÁMICO

𝑀 𝑇 = 2𝜋√ 𝑘 2𝜋

𝑀1/2 √𝑘 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦=𝑇 𝑥 = √𝑀 2𝜋 𝑚= √𝑘 2𝜋 0.9402 = √𝑘 𝑘 = 43.72 𝑁/𝑚 𝑇=

𝑘=

43.72 =

𝐺 ∗ 𝑟4 4 ∗ 𝑁 ∗ 𝑅3

𝐺 ∗ 0.0004854 4 ∗ 54 ∗ 0.00873

𝐺 = 8.9𝑥1010 𝑁/𝑚2

𝑀 𝑇 = 2𝜋√ 𝑘 2𝜋 1/2 𝑇= 𝑀 √𝑘 𝑇 = ∝ 𝑀𝛽 ln 𝑇 = ln ∝ 𝑀𝛽

Tabla N°6

N

LN.Masa (kg)

LN.Periodo (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1.809964174 -1.388857644 -1.106967093 -0.882662551 -0.697797979 -0.53580161 -0.399970233 -0.275700802 -0.093871216

-0.962596485 -0.762711644 -0.636766847 -0.465692934 -0.382139283 -0.303811454 -0.24551698 -0.176021444 -0.139147131

∝= 0.9402

𝛽 = 0.5041

VI.- Conclusiones y Recomendaciones Conclusiones

i. ii.

iii.

Se logró determina el comportamiento de un resorte de manera experimental utilizando el método dinámico y el método estático. Se determinó experimentalmente la constante elástica del resorte mediante el método estático con un valor de k=43.09N/m y para el método dinámico de k=43.72N/m. Se determinó experimentalmente el módulo de rigidez del material del resorte mediante el método estático con un valor G=8.8*1010 𝑁/𝑚2 y un valor de G=8.9*1010 𝑁/𝑚2 para el método dinámico..

Recomendaciones i. ii. iii. iv.

Se debe tener mayor cuidado al tomar los datos para que el error sea el mínimo. Ser ordenado y evitar las distracciones cuando se están registrando los datos. Así se evitará errores en los cálculos. Es necesario manipular de forma cuidadosa las pesas y el resorte al momento de realizar el experimento para el método dinámico. Se recomienda de ser posible trabajar con diferentes tipos de resorte, para hacer una pequeña comparación de resistencia entre estos.

VII.- Bibliografía

1. GOLDEMBERG, J S.A. México 1972

“Física General y experimental” Vol I. Edit. Interamericana

2. MEINERS, H., EPPENSTEIN, W., MOORE, K “Experimento de Física” Edit. Limusa. México 1970 3. CARPIO, A., CORUJO, J., ROCHI, R. “Módulo de física”. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Entre Ríos. Argentina, 1996. 4. SERWAY, R “Física” Tomo I. Edit. Mc Graw – Hill. México 1993. 5. TIPLER, P. “Física” Vol I. Edit. Reverte. España 1993. 6. ZEARS AND ZEMANSKY. Fisica Universitaria. Vol I. undécima edición. Ed Pearson. México 2004. 7. BEER P. F AND E. RUSELL J. Mecánica de Materiales Edit. McGraw Hill Colombia 2006