• Categories
• Integral
• Divergencia
• Vector euclidiano
• Sistema de coordenadas cartesianas
• Elipse

Citation preview

TEOREMA DE GREN

TEOREMA DE STOKES 2 ejercicios: http://www.ing.uc.edu.ve/~amejias/Archivos_pdf/int_sup_tstokes.pdf

PROBLEMAS RESUELTOS TEOREMA DE GAUS

1) Evaluar el flujo del campo vectorial

F(x;y;z) = xyi +(y2 + e

xz 2

)j +sen(xy)k

a través de la superficie frontera de la región E acotada por el cilindro parabólico z = 1 - x2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2.

SOLUCIÓN

El problema invita a la transformación de la integral de flujo en algún otro tipo de integral para evitar las complejidades que surgirían de parametrizar el segundo término de la segunda componente del campo vectorial, y también para hacer una sola integral en vez de cuatro.

Para aplicar el teorema de la divergencia calculamos: z div F = y + 2y = 3y

z = 1 -x2

Evaluaremos la integral de volumen de esta función escalar tomando el dominio como una región de tipo 3; esto es, una región encerrada entre dos funciones de un dominio bidimensional ubicado sobre el plano xz.

x

1

1−x2

E

E

y=2-z

(0;2;0)

y

(1;0;0)

2−z

∬ F⋅dS=∭ div F dV =∭ 3 ydV =3∫−1 ∫0 ∫0 S

(0;0;1)

ydydzdx= ··· =

184 35



2) Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = rr y la superficie esférica x2 + y2 + z2 = 9.

SOLUCIÓN:

El vector r es el vector posición (x; y; z). De modo que en términos de las variables cartesianas el campo vactorial dado puede expresarse como:

F=√ x 2 + y 2 +z 2 ( x ; y ; z) La superficie dada puede parametrizarse a través de coordenadas esféricas:

{

x=3 sen ϕcos θ 0≤ϕ≤π y=3 sen ϕsenθ , 0≤θ≤2 π z=3cos ϕ

Con esta parametrización tenemos:

i r θ ×r ϕ=|−3sen ϕsen θ 3cos ϕcosθ

j k |= 3sen ϕcosθ 0 3cosϕsen θ −3sen ϕ

=(−9sen 2 ϕcosθ ;−9sen 2 ϕsenθ ;−9sen ϕcos ϕ) ¿Es ésta una normal exterior? Probémoslo con un punto. En (0;3;0) tendríamos  =  = /2, y para tales valores el PVF calculado da (0;-9;0), o sea una normal interna. Por lo tanto la normal externa vendrá dada por el PVF calculado haciendo el producto vectorial en el orden opuesto, esto es:

2

2

r ϕ×r θ=(9 sen ϕ cos θ ;9 sen ϕ senθ ; 9 senϕ cosϕ ) Evaluando ahora F en función de esta parametrización es:

F(;) = 3(3sencos; 3sensen; 3cos)

y:

F·(rr) = ··· = 81sen

Así que:

2π

π

2π

∬ F⋅dS=∬ F( ϕ ; θ)⋅( r ϕ׿ r θ )dϕdθ =∫0 ∫0 81 sen πdϕdθ =81∫0 [−cos π|20 π ] dθ=324 π S

D

¿

Hemos hecho un cálculo bastante complejo por integrales de superficie. Veamos ahora cómo reduciendo esto a una integral de volumen con el teorema de la divergencia el cálculo se simplifica notablemente.

Calculemos en primer lugar la divergencia:

div F= ∂ ( x √ x 2 + y 2 +z 2 ) + ∂ ( y √ x 2 + y 2 +z 2 ) + ∂ ( x √ x 2 + y 2 + z2 ) ∂x ∂y ∂x Calculando las derivadas parciales por separado y sumando miembro a miembro se tiene:

x2 ∂ ( x x 2 + y 2 + z 2 ) = x2 + y 2 + z 2 + √ √ ∂x √ x2 + y 2+ z 2 2

y ∂ ( y x2 + y 2 + z 2 ) = x 2 + y 2 + z 2 + √ √ ∂y √ x 2+ y 2+ z2 z2 ∂ ( z √ x 2 + y 2 + z 2 ) =√ x 2 + y 2 + z 2 + ∂z √ x 2+ y 2+ z2 2

2

2

x + y +z div F=3 √ x + y + z + =4 √ x 2 + y 2 + z 2 2 2 2 √ x + y +z 2

2

2

Si ahora llevamos esto a coordenadas esféricas tenemos:

2π

π

3

π

2π

∭ div F dV =∫0 ∫0 ∫0 4 ρ⋅ρ senϕ dρdϕdθ=4 ∫0 ∫0 2

E

[]

3

ρ4 | sen ϕdϕd 4 0

Haciendo los cálculos obtenemos:

∭ div F dV =324 π E

Hemos obtenido el mismo resultado por los dos caminos, verificando así el teorema de la divergencia.

3) Calcular el flujo del campo F(x; y; z) =(0; esenxz + tanz; y2) a través del semielipsoide superior 2x2 + 3y2 + z2 = 6, z  0 con su normal apuntando hacia arriba. z

SOLUCIÓN

Resolveremos este problema por el teorema de la divergencia. Si observamos que div F = 0, y llamando (ver figura) S = S1  S2 y V el volumen encerrado por S, podemos plantear:

por ser ∇⋅F=0 ↓

∭ ∇⋅F dV

0

=

V

V

↓

=

}

⇒∬ F⋅dS=0

por teor . div .

∭ ∇⋅F dV

S2

∬ F⋅dS S

y

O

S

(1)

S1

x

Nos interesa la integral no sobre toda la superficie S, sino sólo sobre S2. Puesto que la integral es un concepto aditivo respecto al dominio de integración, tendremos

por ec . (1)

∬ F⋅dS=∬ F⋅dS+∬ F⋅dS S

S1

S2

↓

=

0 ⇒∬ F⋅dS =−∬ F⋅dS S2

S1

(2)

Vemos que la integral sobre S2 es la misma que la integral sobre S1 cambiada de signo. Calcularemos, pues, esta última, que aparenta ser más sencilla, dado que la normal es un vector vertical y además la superficie carece de componente z. S1 es una elipse sobre el plano xy, 2x2 + 3y2 = 6, que puede ser parametrizada directamente en coordenadas cartesianas como T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)), donde:

{

x=x y= y , z=0

−√ 3≤x ≤√3

√

2

2

√

2 2

− 2- 3 x ≤ y≤ 2- 3 x

,

donde los límites para x y y han sido despejados de la ecuación de la elipse. Para esta parametrización, tenemos que el producto vectorial fundamental será:

i j k N=T x×T y =|1 0 0 |=k 0 1 0 Si ejecutáramos el PVF en el orden inverso, nos daría -k. ¿Cuál debemos elegir? El enunciado nos pide que la normal de la superficie elipsoidal apunte hacia arriba, lo cual significa que apunte hacia el exterior del volumen indicado en la figura, que es el que usamos para plantear el teorema de la divergencia. Por lo tanto, para la base también deberemos tomar la normal exterior a dicho volumen, esto es, -k.

Por lo tanto la integral que buscamos vendrá expresada por:

√ 3 √ 2-(2/3 )x 2 √3 √ 2-(2/3) x2 2 F⋅dS= F⋅N dS= ( 0; 0; y )⋅(0 ;0 ;−1)dydx = ∬ ∬ ∫−√ 3 ∫−√ 2-(2/3 )x2 ∫−√3 ∫−√ 2-(2/3) x2 −y 2 dydx = S S 1

1

∫−√ 3 ∫−√2/3 √3- x2 − y 2 dydx =−∫−√3 13 y |−√ 2 /3√ √ 3-x2 dydx=−13 2 23 √

√3

√3

√2 /3 3- x2

4

=−9

√⋅

2 27 3 8

π =−

√π 3 2

3 √2 /3 3- x2

3 /2

()

tablas √3

2 3/ 2

↓

∫−√3 ( 3- x ) dx =

Luego, reemplazando en (2) tenemos

∬ F⋅dS=−∬ F⋅dS = S2

S1

√

3 π 2

Que es el resultado que buscábamos. Podrían haberse utilizado también coordenadas elípticas, que hubieran simplificado la integral pero a costa de una mayor complejidad en el cálculo del PVF, lo que significaba aproximadamente el mismo trabajo que operando en cartesianas.