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ALGEBRA LINEAL (E-LEARNING) Tarea 1 – Vectores, matrices y determinantes

Presentado a: Jesús David Berrio Tutor

Entregado por: Jennifer Alejandra Rodríguez Sandra Milena Bayona Niver Arturo Calderón Janderson Quintero

Grupo: 208046_28

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA MAYO 2019

INTRODUCCIÓN

Dentro de la tarea 1 del curso de algebra lineal encontramos vectores, matrices y determinantes, en el presente trabajo nos apropiaremos de temas, conceptos, formulas básicas y muy elementales, dándole a cada una aplicaciones mediante problemas matemáticos previamente planteados, establecimos la relación que tiene el álgebra lineal con la vida cotidiana y así mismo sus aplicaciones a nuestra carrera de estudio.

OBJETIVOS 

Estudiar y solucionar problemas básicos del Algebra lineal utilizando las herramientas conceptuales y procedimientos para la modelación y resolución de problemas.



Utilizar los diferentes métodos del algebra lineal a través de diferentes ejercicios prácticos que pueden ayudar a resolver problemas básicos que involucren el uso de los conceptos adquiridos.



Comprender los fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativos de vectores matrices y determinantes por medio del estudio de las fuentes documentales y situaciones en diferentes áreas del saber.



Apropiar adecuadamente los conceptos y aplicaciones evidenciando un manejo pertinente de los diversos sistemas, procedimientos y problemas que se plantean en el desarrollo de la Unidad.



Comprender la aplicación del Algebra lineal en los diferentes entornos que nos rodean y entender su uso dentro de las diferentes carreras que cursamos y la vida profesional.

Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes.

a) Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector.

b) Vectores en R2 y R3: Algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial.

c) Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices.

e) Determinantes: Determinantes 3x3, algunas propiedades de los determinantes, inversas.

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:



Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos.

Solución:

𝑢 ⃗ = (𝑆, 𝑇) 𝑢 ⃗ = (3,5)

𝑣 = (𝑆, 𝐵) 𝑣 = (−4,1)

Magnitud: ⃗ = (𝟑, 𝟓) 𝒖

⃗ = (−𝟒, 𝟏) 𝒗

|𝑢| = √(3)2 + (5)2

|𝑢| = √(−4)2 + (1)2

|𝑢| = √9 + 25

|𝑢| = √16 + 1

|𝑢| = √34 = 5,831

|𝑢| = √17 = 4,123

Dirección: Para hallar la dirección de un vector, debemos encontrar 𝑎. 𝑏

𝑇𝑎𝑛𝑎 = 𝑎, por lo tanto. ⃗ = (𝟑, 𝟓) 𝒖

⃗ = (−𝟒, 𝟏) 𝒗

𝑏

𝑎 = 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑎)

𝑏

𝑎 = 𝑇𝑎𝑛−1 (3)

5

𝑎 = 𝑇𝑎𝑛−1 (−4)

𝑎 = 1,030376827𝑟𝑎𝑑

𝑎 = −0,2449786631𝑟𝑎𝑑

𝑎 = 59,04°

𝑎 = −14,04°

𝑎 = 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑎)



1

Encontrar el ángulo entre los vectores.

Solución: ⃗ = (𝟑, 𝟓) 𝒖

⃗ = (−𝟒, 𝟏) 𝒗

1. Calculamos el producto escalar de ambos vectores: 𝑢. 𝑣 = 𝑢𝑥 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 𝑣𝑦 = (3)(−4) + (5)(1) = −12 + 5 = −7

2. Calculamos los módulos de ambos vectores:

|𝑢| = √[(𝑢𝑥 )2 + (𝑢𝑦 )2 ] = √[(3)2 + (5)2 ] = √[9 + 25] = √34

|𝑣| = √[(𝑣𝑥 )2 + (𝑣𝑦 )2 ] = √[(−4)2 + (1)2 ] = √[16 + 1] = √17

3. Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:

Ө = 𝑎𝑟𝑐 cos [

(𝑢. 𝑣) −7 ] = 𝑎𝑟𝑐 cos [ ] (|𝑢| |𝑣|) (√34√17)

= 𝑎𝑟𝑐 cos(

−7

)

√578

= 𝑎𝑟𝑐 cos(

−7 ) = 1,866257807𝑟𝑎𝑑 24,04

Como 1 radial ≅ 57.296 °, entonces: 𝜃 = 106,93 ° --------- El ángulo entre los vectores.



Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante.

Solución:

Suma de vectores. ⃗ = (𝒂, 𝒃) 𝒖

⃗ = (𝒄, 𝒅) 𝒗

⃗ = (𝟑, 𝟓) 𝒖

⃗ = (−𝟒, 𝟏) 𝒗

𝑢 + 𝑣 = (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑

𝑢 + 𝑣 = (3,5) + (−4,1) = 3 + (−4), 5 + 1 𝑢 + 𝑣 = (−1,6) ----- Vector resultante 𝑤 = (−1,6) ----- Vector resultante que nombraremos como 𝑤

Magnitud: 𝒘 = (−𝟏, 𝟔)

|𝑤| = √(−1)2 + (6)2

|𝑤| = √1 + 36

|𝑤| = √37 = 6,082

Dirección: Para hallar la dirección de un vector, debemos encontrar 𝑎. 𝑏

𝑇𝑎𝑛𝑎 = 𝑎, por lo tanto. 𝒘 = (−𝟏, 𝟔) 𝑏

𝑎 = 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑎) 6

𝑎 = 𝑇𝑎𝑛−1 (−1) 𝑎 = −1,405647649𝑟𝑎𝑑 𝑎 = −80,538° 

Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial.

Solución:

⃗ = (𝟑, 𝟓) 𝒖

⃗ = (−𝟒, 𝟏) 𝒗

⃗ y𝒗 ⃗ se calcula mediante el El área del paralelogramo formado por los vectores 𝒖 módulo de producto vectorial. |𝑢𝑥𝑣| = (3,5)𝑥(−4,1) = 3𝑘 + 20𝑘 = 23𝑘

|𝑢𝑥𝑣| = √(23)2 = 23



Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

b) Dados los vectores 𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘 

−3𝑣 + 2𝑤 ⃗⃗

Solución:

𝑤 ⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 calcular:

−3(3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘) + 2(2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘) [(−3)(3𝑖) + (−3)(−4𝑗) + (−3)(2𝑘)] + [(2)(2𝑖) + (2)(5𝑗) + (2)(4𝑘)] (−3 · 3𝑖 + 3 · 4𝑗 − 3 · 2𝑘) + (4𝑖 + 10𝑗 + 8𝑘) (−9𝑖 + 12𝑗 − 6𝑘) + (4𝑖 + 10𝑗 + 8𝑘) −𝟓𝒊 + 𝟐𝟐𝒋 + 𝟐𝒌 

6(𝑣. 𝑤 ⃗⃗ )

Solución: (𝑣. 𝑤 ⃗⃗ ) = (3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘). (2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘) = (3𝑖)(2𝑖) + (−4𝑗)(5𝑗) + (2𝑘)(4𝑘) = 6𝑖 − 20𝑗 + 8𝑘 6(𝑣. 𝑤 ⃗⃗ ) = 6. (6𝑖 − 20𝑗 + 8𝑘) = 36𝑖 − 120𝑗 + 48𝑘



Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores.

Solución:

⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 𝒗 3

cos 𝑖 =

√32 + (−4)2 + 22

cos 𝑗 =

cos 𝑘 =

4 √32 + (−4)2 + 22 2 √32 + (−4)2 + 22

= =

3 √29 4 √29

=

2 √29

3 2 4 2 2 2 9 16 4 ( ) +( ) +( ) = + + =1 29 29 29 √29 √29 √29

⃗⃗⃗ = 𝟐𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟒𝒌 𝒘 2

cos 𝑖 =

√22 + 52 + 42

cos 𝑗 =

cos 𝑘 =

2

5 √22 + 52 + 42 4 √22 + 52 + 42

2

2

=

=

4

2 √45 5 √45 4 √45 2

4 25 16 ( ) +( ) +( ) = + + =1 45 45 45 √45 √45 √45



5

=

Calcular el producto cruz y el producto punto.

Solución:

Producto cruz: ⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝟐𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟒𝒌 𝒘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ = |3 −4 2| 2 5 4 −4 2 3 2 3 𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ = | | 𝑖−| |𝑗 + | 5 4 6 −1 2

−4 |𝑘 5

𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ = [(−4)(4) − (2)(5)]𝑖 − [(3)(−1) − (2)(6)]𝑗 + [(3)(5) − (−4)(2)]𝑘 𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ = [−16 − 10]𝑖 − [4 − 12]𝑗 + [15 + 8]𝑘 ⃗ 𝒙𝒘 𝒗 ⃗⃗⃗ = −𝟐𝟔𝒊 − 𝟖𝒋 + 𝟐𝟑𝒌

Producto punto: ⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝟐𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟒𝒌 𝒘 𝑣 · 𝑤 ⃗⃗ = 〈3, −4,2〉 · 〈2,5,4〉 𝑣 · 𝑤 ⃗⃗ = (3)(2) + (−4)(5) + (2)(4)

𝑣 · 𝑤 ⃗⃗ = 6 − 20 + 8 ⃗ · 𝒘 𝒗 ⃗⃗⃗ = −𝟔



Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

EJERCICIO 3 – RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE VECTORES EN R2 Y R3. La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1 = (5,-3) m/s, al instante t1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V 2 = (4,8) m/s. 

⃗⃗⃗⃗⃗ . ? ¿Cuánto vale el cambio de velocidad ∆𝑉

Sol. ∆𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 = (−4,8) − (5, −3) = (−9,11) 

𝑚 𝑠

¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?

Sol. 𝑎= 

∆𝑉 (−9,11) 𝑚 = ( 2) ∆𝑡 4 𝑠

Hallar módulo, dirección, y sentido del vector.

Sol. Cálculo del módulo o magnitud del vector. 9 2 11 2 √202 𝑚 |𝑎| = √(− ) + ( ) = = 3,55 2 4 4 4 𝑠 Cálculo de la dirección y sentido del vector. 11 𝛼 = atan ( 4 ) = −50,71 9 −4 Sin embargo, el valor que nos interesa es el medido desde el eje X positivo; para ello debemos sumar 180º al ángulo calculado. ∅ = 𝛼 + 180 = 129,29º



Dados: 𝑎 = (5, 12) y 𝑏⃗ = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida en radianes del ángulo 𝑏⃗ y 𝑎 sea

𝜋 3

.

Solución ⃗ 𝑎⃗·𝑏

Sabiendo que, cos(∅) = |𝑎⃗||𝑏⃗|. Procedemos a calcular el producto escalar entre a y b, las magnitudes de cada vector y posteriormente despejamos nuestra incógnita. 𝑎 · 𝑏⃗ = (5,12) · (1, 𝑘) = 5 + 12𝑘 |𝑎| = √52 + 122 = 13 |𝑎| = √12 + 𝑘 2 Reemplazamos los valores conocidos en la fórmula. 𝜋 5 + 12𝑘 cos ( ) = 3 13(√12 + 𝑘 2 ) 1 5 + 12𝑘 = 2 13(√12 + 𝑘 2 ) Acomodando la igualdad y elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad.

2

(13√12 + 𝑘 2 ) = (2(5 + 12𝑘))

2

169 + 169𝑘 2 = 100 + 480𝑘 + 576𝑘 2 Reduciendo términos semejantes y posteriormente resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos los posibles valores que puede tomar k. 407𝑘 2 + 480𝑘 − 69 = 0 Sea a=407, b=480, c=-69. Da como resultado 𝑘1 = 0,129 (𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑜) 𝑘2 = −1,309 (𝑖𝑛𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑜) Al reemplazar el valor de k en la igualdad inicial, solo el valor de k1 corresponde al valor del cos(pi/3)=1/2. El valor k2 da como resultado -1/2 por lo tanto este valor no pertenece a la solución.

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

Descripción del ejercicio 4

Sean las siguientes matrices: 1 −2 𝐴=[ 1 5

0 5 0 2

2 6 3 −3

0 3𝑥 2 𝐷 = [ 3 𝑦2 1 0

3 3 8] 0

9 𝐵 = [1 0 5

−5 6 3 6 −1 3 ] 7 −5

0 −2 3 5 𝐶=[ 4 3 5 4 ] −1 0 −9 8

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

Realizar las siguientes operaciones, si es posible: a) 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 Solución: 1 −2 𝐴=[ 1 5

0 5 0 2

2 6 3 −3

3 3 8] 0

9 𝐵 = [1 0 5

−5 6 3 6 −1 3 ] 7 −5

0 −2 3 5 𝐶=[ 4 3 5 4 ] −1 0 −9 8

Se multiplican las filas de la matriz A por las columnas de la matriz B y a la matriz resultante la llamaré E: 𝑒11 = [1 0 2 3] ∙ [9 1 0 5] = 9 + 0 + 0 + 15 = 24 𝑒12 = [1 0 2 3] ∙ [−5 3 − 1 7] = −5 + 0 − 2 + 21 = 14 𝑒13 = [1 0 2 3] ∙ [6 6 3 − 5] = 6 + 0 + 6 − 15 = −3 𝑒21 = [−2 5 6 3] ∙ [9 1 0 5] = −18 + 5 + 0 + 15 = 2 𝑒22 = [−2 5 6 3] ∙ [−5 3 − 1 7] = 10 + 15 − 6 + 21 = 40 𝑒23 = [−2 5 6 3] ∙ [6 6 3 − 5] = −12 + 30 + 18 − 15 = 21 𝑒31 = [1 0 3 8] ∙ [9 1 0 5] = 9 + 0 + 0 + 40 = 49

𝑒32 𝑒33 𝑒41 𝑒42 𝑒43

= [1 = [1 = [5 = [5 = [5

24 14 2 40 𝐸=[ 49 48 47 −16

0 0 2 2 2

3 8] ∙ [5 3 3 8] ∙ [6 6 − 3 0] ∙ [9 − 3 0] ∙ [5 − 3 0] ∙ [6

− 1 7] = −5 + 0 − 3 + 56 = 48 3 − 5] = 6 + 0 + 9 − 40 = −25 1 0 5] = 45 + 2 − 0 + 0 = 47 3 − 1 7] = −25 + 6 + 3 + 0 = −16 6 3 − 5] = 30 + 12 − 9 + 0 = 33

−3 21 ] −25 33

Se multiplican las filas de la matriz E por las columnas de la matriz C y a la matriz resultante la llamaré F: 24 14 2 40 =[ 49 48 47 −16

−3 0 −2 3 5 21 ][ 4 3 5 4 ] −25 −1 0 −9 8 33

𝑓11 = [24 14 − 3] ∙ [0 4 − 1] = 0 + 56 + 3 = 59 𝑓12 = [24 14 − 3] ∙ [−2 3 0] = −48 + 42 − 0 = −6 𝑓13 = [24 14 − 3] ∙ [3 5 − 9] = 72 + 70 + 27 = 169 𝑓14 = [24 14 − 3] ∙ [5 4 8] = 120 + 56 − 24 = 152 𝑓21 = [2 40 21] ∙ [0 4 − 1] = 0 + 160 − 21 = 139 𝑓22 = [2 40 21] ∙ [−2 3 0] = −4 + 120 + 0 = 116 𝑓23 = [2 40 21] ∙ [3 5 − 9] = 6 + 200 − 189 = 17 𝑓24 = [2 40 21] ∙ [5 4 8] = 10 + 160 + 168 = 338 𝑓31 = [49 48 − 25] ∙ [0 4 − 1] = 0 + 192 + 25 = 217 𝑓32 = [49 48 − 25] ∙ [−2 3 0] = −98 + 144 − 0 = 46 𝑓33 = [49 48 − 25] ∙ [3 5 − 9] = 147 + 240 + 225 = 612 𝑓34 = [49 48 − 25] ∙ [5 4 8] = 245 + 192 − 200 = 237 𝑓41 = [47 − 16 33] ∙ [0 4 − 1] = 0 − 64 − 33 = −97 𝑓42 = [47 − 16 33] ∙ [−2 3 0] = −94 − 48 + 0 = −142 𝑓43 = [47 − 16 33] ∙ [3 5 − 9] = 141 − 80 − 297 = −236 𝑓44 = [47 − 16 33] ∙ [5 4 8] = 235 − 64 + 264 = 435

𝟓𝟗 −𝟔 𝟏𝟔𝟗 𝟏𝟑𝟗 𝟏𝟏𝟔 𝟏𝟕 𝐹=[ 𝟐𝟏𝟕 𝟒𝟔 𝟔𝟏𝟐 −𝟗𝟕 −𝟏𝟒𝟐 −𝟐𝟑𝟔

𝟏𝟓𝟐 𝟑𝟑𝟖 ] 𝟐𝟑𝟕 𝟒𝟑𝟓

b) 4𝐵 ∙ 2𝐴

Solución:

No se puede realizar la operación ya que para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz, en nuestro caso la matriz B tiene 3 filas y la matriz A tiene 4 columnas. c) 3𝐶 ∙ (−7𝐵)

Solución:

9 −5 6 0 −2 3 5 3 6 3 [ 4 3 5 4 ] ∙ (−7) [1 0 −1 3 ] −1 0 −9 8 5 7 −5 Se multiplican las filas de la matriz C por las columnas de la matriz B: 0 −2 3 5 0 −6 9 15 3𝐶 = 3 ∙ [4 3 5 4 ] = [12 9 15 12 ] −1 0 −9 8 −3 0 −27 24 9 −5 6 −63 6 ] = [ −7 −7𝐵 = −7 ∙ [1 3 0 −1 3 0 5 7 −5 −35

35 −42 −21 −42] 7 −21 −49 35

Ahora multiplico las 2 matrices resultantes y llamare la nueva matriz E 𝑒11 = [0 −6 9 15] ∙ [−63 −7 0 −35] = −0 + 42 + 0 − 525 = −483 𝑒12 = [0 −6 9 15] ∙ [35 −21 7 −49] = 0 + 126 + 63 − 735 = −546 𝑒13 = [0 −6 9 15] ∙ [−42 −42 −21 35] = 0 + 252 − 189 + 525 = 588 𝑒21 = [12 9 15 12] ∙ [−63 −7 0 −35] = −756 − 63 + 0 − 420 = −1239 𝑒22 = [12 9 15 12] ∙ [35 −21 7 −49] = 420 − 189 + 105 − 588 = −252 𝑒23 = [12 9 15 12] ∙ [−42 −42 −21 35] = −504 − 378 − 315 + 420 = −777 𝑒31 = [−3 0 −27 24] ∙ [−63 −7 0 −35] = 189 − 0 − 0 − 840 = −651 𝑒32 = [−3 0 −27 24] ∙ [35 −21 7 −49] = −105 − 0 − 189 − 1176 = −1470 𝑒33 = [−3 0 −27 24] ∙ [−42 −42 −21 35] = 126 − 0 + 567 + 840 = 1533 −𝟒𝟖𝟑 −𝟓𝟒𝟔 𝟓𝟖𝟖 𝐄 = [−𝟏𝟐𝟑𝟗 −𝟐𝟓𝟐 −𝟕𝟕𝟕] −𝟔𝟓𝟏 −𝟏𝟒𝟕𝟎 𝟏𝟓𝟑𝟑

d) 𝐷2

Solución: 0 3𝑥 2 𝐷 = [ 3 𝑦2 1 0 0 3𝑥 2 [ 3 𝑦2 1 0

−2 0 3𝑥 2 3 ]·[ 3 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦) 1 0

−2 2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

Se multiplican las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz: Llamare la matriz resultante E 𝑒11 = [0 3𝑥 2 −2] ∙ [0 3 1] = 0 + 9𝑥 2 − 2 = 9𝑥 2 − 2 𝑒12 = [0 3𝑥 2 −2] ∙ [3𝑥 2 𝑦 2 0] = 0 + 3𝑥 2 𝑦 2 − 0 = 3𝑥 2 𝑦 2 𝑒13 = [0 3𝑥 2 −2] ∙ [−2 3 (𝑥 + 𝑦)] = 0 + 9𝑥 2 − 2(𝑥 + 𝑦) = 9𝑥 2 − 2(𝑥 + 𝑦)

𝑒21 𝑒22 𝑒23 𝑒31 𝑒32 𝑒33

= [3 = [3 = [3 = [1 = [1 = [1

𝑦 2 3] ∙ [0 3 1] = 0 + 3𝑦 2 + 3 = 3𝑦 2 + 3 𝑦 2 3] ∙ [3𝑥 2 𝑦 2 0] = 9𝑥 2 + 𝑦 4 + 0 = 9𝑥 2 + 𝑦 4 𝑦 2 3] ∙ [−2 3 (𝑥 + 𝑦)] = −6 + 3𝑦 2 + 3(𝑥 + 𝑦) 0 (𝑥 + 𝑦)] ∙ [0 3 1] = 0 + 0 + (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) 0 (𝑥 + 𝑦)] ∙ [3𝑥 2 𝑦 2 0] = 3𝑥 2 + 0 + 0 = 3𝑥 2 0 (𝑥 + 𝑦)] ∙ [−2 3 (𝑥 + 𝑦)] = −2 + 0 + (𝑥 + 𝑦)2 = −2 + (𝑥 + 𝑦)2 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐 𝐄 = [𝟑𝒚𝟐 + 𝟑 𝒙+𝒚

e) 𝐷 ∙ 𝐶

Solución:

𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟗𝒙𝟐 + 𝒚𝟒 𝟑𝒙𝟐

𝟗𝒙𝟐 − 𝟐(𝒙 + 𝒚) −𝟔 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝒚)] (𝒙 + 𝒚)𝟐 − 𝟐

0 3𝑥 2 [ 3 𝑦2 1 0

−2 0 −2 3 5 3 ]·[ 4 3 5 4 ] (𝑥 + 𝑦) −1 0 −9 8

Se multiplican las filas de la D por las columnas de la matriz C, llamare la matriz resultante como E: 𝑒11 = [0 𝑒12 = [0 𝑒13 = [0 𝑒14 = [0 𝑒21 = [3 𝑒22 = [3 𝑒23 = [3 𝑒24 = [3 𝑒31 = [1 𝑒32 = [1 𝑒33 = [1 𝑒34 = [1

3𝑥 2 −2] ∙ [0 4 − 1] = 0 + 12𝑥 2 + 2 = 12𝑥 2 + 2 3𝑥 2 −2] ∙ [−2 3 0] = 0 + 9𝑥 2 − 0 = 9𝑥 2 3𝑥 2 −2] ∙ [3 5 − 9] = 0 + 15𝑥 2 + 18 = 15𝑥 2 + 18 3𝑥 2 −2] ∙ [5 4 8] = 0 + 12𝑥 2 − 16 = 12𝑥 2 − 16 𝑦 2 3] ∙ [0 4 − 1] = 0 + 4𝑦 2 − 3 = 4𝑦 2 − 3 𝑦 2 3] ∙ [−2 3 0] = −6 + 3𝑦 2 + 0 = −6 + 3𝑦 2 𝑦 2 3] ∙ [3 5 − 9] = 9 + 5𝑦 2 − 27 = 5𝑦 2 − 18 𝑦 2 3] ∙ [5 4 8] = 15 + 4𝑦 2 + 24 = 4𝑦 2 + 39 0 (𝑥 + 𝑦)] ∙ [0 4 − 1] = 0 + 0 − (𝑥 + 𝑦) = −𝑥 − 𝑦 0 (𝑥 + 𝑦)] ∙ [−2 3 0] = −2 + 0 + 0 = −2 0 (𝑥 + 𝑦)] ∙ [3 5 − 9] = 3 + 0 − 9(𝑥 + 𝑦) = 3 − 9𝑥 − 9𝑦 0 (𝑥 + 𝑦)] ∙ [5 4 8] = 5 + 0 + 8(𝑥 + 𝑦) = 5 + 8𝑥 + 8𝑦

𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 𝐸 = [ 𝟒𝒚𝟐 − 𝟑 −(𝒙 + 𝒚)

𝟗𝒙𝟐 𝟑𝒚𝟐 − 𝟔 −𝟐

𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 𝟓𝒚𝟐 − 𝟏𝟖 −𝟗(𝒙 + 𝒚) + 𝟑

𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 𝟒𝒚𝟐 + 𝟑𝟗 ] 𝟖(𝒙 + 𝒚) + 𝟓

f) 𝐶 𝑇 ∙ 𝐷

Solución: 0 −2 3 5 𝑇 0 3𝑥 2 [ 4 3 5 4 ] · [ 3 𝑦2 −1 0 −9 8 1 0

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

Sacamos la transpuesta de la matriz, para ello debemos transformar las filas en columnas. 0 −2 3 5 𝑇 [4 3 5 4] −1 0 −9 8 0 −2 =[ 3 5 0 −2 [ 3 5

4 3 5 4

−1 0 3𝑥 2 0 ] · [ 3 𝑦2 −9 1 0 8

4 −1 3 0 ] 5 −9 4 8

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

Se multiplican las filas del resultado de C transpuesta por las columnas de la matriz D y llamaremos E a la matriz resultante: 𝑒11 = [0 4 −1] ∙ [0 3 1] = 0 + 12 − 1 = 11 𝑒12 = [0 4 −1] ∙ [3𝑥 2 𝑦 2 0] = 0 + 4𝑦 2 − 0 = 4𝑦 2 𝑒13 = [0 4 −1] ∙ [−2 3 (𝑥 + 𝑦)] = 0 + 12 − (𝑥 + 𝑦) = 12 − 𝑥 − 𝑦 𝑒21 = [−2 3 0] ∙ [0 3 1] = 0 + 9 + 0 = 9 𝑒22 = [−2 3 0] ∙ [3𝑥 2 𝑦 2 0] = −6𝑥 2 + 3𝑦 2 + 0 = −6𝑥 2 + 3𝑦 2 𝑒23 = [−2 3 0] ∙ [−2 3 (𝑥 + 𝑦)] = 4 + 9 + 0 = 13 𝑒31 = [3 5 −9] ∙ [0 3 1] = 0 + 15 − 9 = 6 𝑒32 = [3 5 −9] ∙ [3𝑥 2 𝑦 2 0] = 9𝑥 2 + 5𝑦 2 − 0 = 9𝑥 2 + 5𝑦 2 𝑒33 = [3 5 −9] ∙ [−2 3 (𝑥 + 𝑦)] = −6 + 15 − 9(𝑥 + 𝑦) = 9 − 9𝑥 − 9𝑦 𝑒41 = [5 4 8] ∙ [0 3 1] = 0 + 12 + 8 = 20 𝑒42 = [5 4 8] ∙ [3𝑥 2 𝑦 2 0] = 15𝑥 2 + 4𝑦 2 + 0 = 15𝑥 2 + 4𝑦 2 𝑒43 = [5 4 8] ∙ [−2 3 (𝑥 + 𝑦)] = −10 + 12 + 8(𝑥 + 𝑦) = 2 + 8𝑥 + 8𝑦

𝟏𝟏 𝟗 𝑬= 𝟔 [𝟐𝟎

g) 𝐷𝑒𝑡(𝐵)

Solución:

No puede ser calculado. h) 𝐷𝑒𝑡(𝐷)

Solución: 0 3𝑥 2 𝐷𝑒𝑡 [ 3 𝑦 2 1 0

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

𝟒𝒚𝟐 𝟑𝒚𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐

𝟏𝟐 − 𝒙 − 𝒚 𝟏𝟑 𝟗 − 𝟗𝒙 − 𝟗𝒚 𝟖𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟐]

Aplicamos la siguiente formula: 𝑎 𝐷𝑒𝑡 [𝑑 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑐 𝑓 ] = 𝑎 · 𝐷𝑒𝑡 [𝑒 ℎ 𝑖

𝑑 𝑓 ] − 𝑏 · 𝐷𝑒𝑡 [ 𝑔 𝑖

𝑓 𝑑 ] + 𝑐 · 𝐷𝑒𝑡 [ 𝑔 𝑖

𝑒 ] ℎ

Reemplazando valores:

= 0 · 𝐷𝑒𝑡 [

𝑦2 0

3 3 3 3 𝑦2] ] − 3𝑥 2 · 𝐷𝑒𝑡 [ ] − 2 · 𝐷𝑒𝑡 [ 1 (𝑥 + 𝑦) (𝑥 + 𝑦) 1 0

= 0 · 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦) − 3𝑥 2 (3(𝑥 + 𝑦) − 3) − 2(−𝑦 2 ) = 0 · 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦) − 3𝑥 2 (3(𝑥 + 𝑦) − 3) + 2𝑦 2 = 0 − 3𝑥 2 (3(𝑥 + 𝑦) − 3) + 2𝑦 2 = 𝟐𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 (𝟑(𝒙 + 𝒚) − 𝟑) = 𝟐𝒚𝟐 − 𝟗𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 𝒚 + 𝟗𝒙𝟐

i) (𝐵 𝑇 − 𝐶)𝑇

Solución: 𝑻 9 −5 6 0 −2 3 5 3 6 4 3 5 4 ])𝑻 ([1 ] − [ 0 −1 3 −1 0 −9 8 5 7 −5

Sacamos la transpuesta de la matriz B, para ello debemos transformar las filas en columnas. 𝑻 9 −5 6 9 1 6 1 3 [0 −1 3 ] = [−5 3 6 6 5 7 −5

0 5 −1 7 ] 3 −5

Restamos el resultado de la matriz B transpuesta con la matriz C: 9 1 0 [−5 3 −1 6 6 3

5 0 −2 7 ]−[ 4 3 −1 0 −5

3 5 5 4] −9 8

Restamos elementos: 9−0 1 − (−2) 0−3 5−5 (−1) − 5 3−3 7−4 ] = [(−5) − 4 (−5) 6 − (−1) 6−0 3 − (−9) −8 9 3 3 = [−9 0 −6 7 6 12

0 3 ] −13

A este resultado le sacamos transpuesta formando filas en columnas 9 3 3 = [−9 0 −6 7 6 12

0 3 ] −13

𝟗 𝟑 =[ 𝟑 𝟎

−𝟗 𝟕 𝟎 𝟔 ] −𝟔 𝟏𝟐 𝟑 −𝟏𝟑

j) Compruebe sus respuestas en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices

Descripción del ejercicio 5

Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación 𝑂𝑋, Rotación en 𝑂𝑌, Rotación en 𝑂𝑍.

Haciendo la rotación, tomando al eje 𝑦 como eje de giro, la matriz de rotación 𝑅(𝑦, 𝜑) que se obtiene es:

Teniendo en cuenta que: 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜙) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 1

a) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [1], con 𝜙 = 90°, con 2

respecto al eje 𝑂𝑌. Sol.

Lo primero que debemos hacer es evaluar la matriz R para el valor de Ø=90º, para lo cual obtenemos:

𝑅(𝑦, Ø) = (

cos(90) 0 𝑠𝑒𝑛(90) 0 0 1 0 1 0 ) = ( 0 1 0) −sen(90) 0 cos(90) −1 0 0

Aplicamos el producto matricial entre los vectores R y Puvw, para hallar el vector Pxyz. 1 0 0 1 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, Ø) ∗ 𝑃𝑢𝑣𝑤 = ( 0 1 0) ∗ [1] 2 −1 0 0 0(1) + 0(1) + 1(2) 2 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [ 0(1) + 1(1) + 0(2) ] = [ 1 ] −1 −1(1) + 0(1) + 0(2) 1

b) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [2] , con 𝜙 = 45°, con 3

respecto a eje 𝑂𝑌.

Sol: Lo primero que debemos hacer es evaluar la matriz R para el valor de Ø=45º, para lo cual obtenemos: √2 0 cos(45) 0 𝑠𝑒𝑛(45) 2 0 1 0 )= 𝑅(𝑦, Ø) = ( 0 1 −sen(45) 0 cos(45) √2 (− 2 0

√2 2 0 √2 2)

Aplicamos el producto matricial entre los vectores R y Puvw, para hallar el vector Pxyz. √2 √2 0 1 2 2 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, Ø) ∗ 𝑃𝑢𝑣𝑤 = ∗ [ 2] 0 1 0 3 √2 √2 − 0 ( 2 2)

√2 √2 (1) + 0(2) + (3) 2 2 2√2 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 0(1) + 1(2) + 0(3) =[ 2 ] √2 √2 √2 (1) − + 0(2) + (3) [ 2 ] 2

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices

Descripción del ejercicio 6

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones.

Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a continuación:

Materia

Costo

%

%

%

%

Prima

$/Kg

Azúcares

Grasas

Proteínas

Inertes

A

2,35

12

10

60

18

B

2

10

10

50

30

C

1,7

8

6

44

42

Estimado estudiante tener en cuenta lo siguiente para la solución del ejercicio # 6. A. Reescribimos la tabla con las condiciones que se requieren para la preparación del alimento: Materia

Costo

%

%

%

%

Prima

$/Kg

Azúcares

Grasas

Proteínas

Inertes

A

2,35

12

10

60

18

B

2

10

10

50

30

C

1,7

8

6

44

42

≥ 10

≤ 95

≥ 52

Sean: 𝑥 = Cantidad de materia prima A, que se requiere para preparar el alimento

𝑦 = Cantidad de materia prima B, que se requiere para preparar el alimento 𝑧 = Cantidad de materia prima C, que se requiere para preparar el alimento Función objetivo (para minimizar costos): 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2.35𝑥 + 2𝑦 + 1.7𝑧 Dado que, para la preparación del alimento, no importa el contenido de inertes, no se tienen en cuenta para las restricciones. Escribimos entonces las restricciones: 12𝑥 + 10𝑦 + 8𝑧 ≥ 10 10𝑥 + 10𝑦 + 6𝑧 ≤ 95 60𝑥 + 50𝑦 + 44𝑧 ≥ 52 Como la inversa solo se puede calcular para matrices cuadradas, armamos la matriz cuadrada con los coeficientes de los porcentajes que se requieren para los alimentos A, B y C: 12 𝐴 = [10 60

10 10 50

8 6] 44

● Calcular la inversa de la matriz aumentada por el método de la Adjunta. 1

fórmula 𝐴−1 = det(𝐴) ∙ 𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑇 )

Hallamos la determinante de A 12 10 det(𝐴) = [10 10 60 50

8 12 10 6 | 10 10] 44 60 50

det(𝐴) = (5280 + 3600 + 4000) − (4800 + 3600 + 4400) det(𝐴) = 12880 − 12800 det(𝐴) = 80

Hallamos la transpuesta de A 12 𝐴 = [10 60

10 10 50

8 6] 44

12 𝐴𝑇 = [10 8

10 10 6

60 50] 44

Hallamos la 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑇 ) 10 𝑡 𝑎11 =[ 6

50 ] = 440 − 300 = 140 44

10 𝑡 𝑎12 =[ 8

50 ] = 440 − 400 = 40 = −40 44

10 10 𝑡 𝑎13 =[ ] = 60 − 80 = −20 8 6 10 60 𝑡 𝑎21 =[ ] = 440 − 360 = 80 = −80 6 44

𝑡 𝑎22 =[

12 60 ] = 528 − 480 = 48 8 44

𝑡 𝑎23 =[

12 10 ] = 72 − 80 = −8 = 8 8 6

𝑡 𝑎31 =[

10 60 ] = 500 − 600 = −100 10 50

𝑡 𝑎32 =[

12 60 ] = 600 − 600 = 0 10 50

𝑡 𝑎33 =[

12 10 ] = 120 − 100 = 20 10 10

𝑇)

𝐴𝑑𝑗(𝐴

140 = [ −80 −100

−40 48 0

−20 8 ] 20

1

Reemplazamos en la formula 𝐴−1 = det(𝐴) ∙ 𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑇 )

𝐴

140 1 = ∙ [ −80 80 −100

𝐴−1

140⁄ 80 −80 = ⁄80 −100⁄ [ 80

−1

−40 −20 48 8 ] 0 20 −40⁄ 80 −48⁄ 80 0⁄ 80

7⁄ −1⁄ −20⁄ 4 2 80 3 8⁄ ⁄5 80 = −1 20⁄ −5 0 80 ] [ ⁄4

−1⁄ 4 1⁄ 10 1⁄ 4]

● Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original) es igual a la matriz identidad 7⁄ −1⁄ 4 2 −1 3 ⁄5 𝐴 ∙ 𝐴 = −1 −5 0 [ ⁄4 𝑎11 = [7⁄4 𝑎12 = [7⁄4

−1⁄ 2 −1⁄ 2

−1⁄ 4 12 1⁄ 10 ∙ [10 60 1⁄ 4]

−1⁄ ] ∙ [12 4 −1⁄ ] ∙ [10 4

10 10 50

8 6] 44

10

60] = 21 − 5 − 15 = 1

10

50] = 17.5 − 5 − 12.5 = 0

𝑎13 = [7⁄4 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33

−1⁄ −1⁄ ] ∙ [8 6 44] = 14 − 3 − 11 = 0 2 4 = [−1 3⁄5 1⁄10] ∙ [12 10 60] = −12 + 6 + 6 = 0 = [−1 3⁄5 1⁄10] ∙ [10 10 50] = −10 + 6 + 5 = 1 = [−1 3⁄5 1⁄10] ∙ [8 6 44] = −8 + 3.6 + 4.4 = 0 = [−5⁄4 0 1⁄4] ∙ [12 10 60] = −15 + 0 + 15 = 0 = [−5⁄4 0 1⁄4] ∙ [10 10 50] = −12.5 + 0 + 12.5 = 0 = [−5⁄4 0 1⁄4] ∙ [8 6 44] = −10 + 0 + 11 = 1

12 (𝐴|𝐼) = [10 60

10 10 50

8 1 6 |0 44 0

0 0 1 0] 0 1

● Compruebe todas las respuestas en Geogebra.

Ejercicio 7: Usos del algebra lineal

Descripción del ejercicio 7

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de espacios vectoriales, sin embargo, es un enfoque de estudio que aplica a casi cualquier cosa de nuestra vida cotidiana, tales como en la solución de problemas de nuestra vida, en la salud, en los sistemas que a diario manejamos, en la administración, ingenierías.

Link de la presentación en Prezi realizada.

https://prezi.com/view/HeJTObFcY4f8CAM8NRSi/

CONCLUSIONES



Con el desarrollo de la tarea 1 reconocimos y aplicamos cada uno de los conceptos correspondientes a la Unidad 1, cuyo contenido puntual es solución de vectores, matrices y determinantes.



Entre las principales clases de matrices están: fila, rectangular, columna, nula, opuesta, transpuesta, diagonal, cuadrada, simétrica, triangular e identidad.



Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, cuadrados o lineales dobles.

BIBLIOGRAFÍA

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Vargas, J. (2015). Determinante de una Matriz. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7185 Alvarez, V. (2017). Vectores en R2. [Video].Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11517