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• Jose Patricio Hernandez Arevalo

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Instituto de Ciencias Básicas Probabilidad y Estadísticas Profesor: Claudio Olivares Ejercicios propuestos variables aleatorias

1. Un llavero contiene cuatro llaves de una oficina, que son idénticas en apariencia. Sólo una abre la puerta de entrada a esta. Supongamos que al momento de abrir la puerta se selecciona una llave al azar y se prueba, si no es la llave adecuada se selecciona al azar una de las tres llaves restantes, si esta última no es la llave que corresponda, se selecciona al azar una de las dos restantes, y así hasta encontrar la llave. Si X es la variable aleatoria “número de llaves que se tienen que probar hasta encontrar la llave que abre la puerta”. a) Encuentre la función de probabilidad de X e indique en número de intentos esperados para abrir la puerta. b) Si probó dos veces fracasando en ambos intentos, ¿Cuál es la probabilidad que en el siguiente intento se encuentre la llave adecuada? 2.

Una empresa embotelladora de bebidas envasa su producto en envases de 200 cc, 500 cc, 700 cc y 1000 cc. Sea X: Envase (cantidad de cc) que prefiere comprar un consumidor. Supongamos que X tiene una función de probabilidad dada por: X(cc) p(x)

200 4k

500 3k

700 1000 2jk 0.4

(a) Usando función generadora de momentos calcule el consumo esperado por consumidor (b) Si el precio de una botella con X cc es de $ 0,5X+250 ¿Cuál es la probabilidad que un consumidor observado al azar pague mas $ 500 al comprar una botella de esta bebidas? (c) Si observamos al azar 10 clientes en forma independiente i. ¿Cuál es la probabilidad que al menos uno compre una botella de 200 cc? ii. ¿Cuál es la probabilidad que tres compren una botella de 200 cc, que dos compren una botella de 500 cc, y que mas tres compren una botella de un litro? 3. Las ventas diarias de determinado producto electrónico X en cada uno de los dos locales de una pequeña cadena de tiendas se comportan de acuerdo con la siguiente función de cuantía :

k ( x + 1) x = 0,1,2,3,4 f (x) =  t.o.l  0 a) ¿Cuál es la probabilidad de de que en un local cualquiera las ventas superen lo esperado? b) ¿Cual es la probabilidad que ninguno de los dos locales supere en un día cualquiera las ventas esperadas? 4. Suponga que el numero de de clientes que atiende diariamente un ejecutivo de ventas en una empresa de servicios previsionales es una variable aleatoria que se comporta de acuerdo a la siguiente función de distribución acumulada de probabilidades. 0 si, x < 5   0,15 si, 5 ≤ x < 6  0,40 si, 6 ≤ x < 7  F( x ) =  0,70 si, 7 ≤ x < 8  0,85 si, 8 ≤ z < 9 0,95 si, 9 ≤ x < 10  1 si, x ≥ 10 

Si la comisión que obtiene el ejecutivo diariamente se define de acuerdo a la siguiente función:

a) ¿Cuál es la probabilidad que un vendedor obtenga una comisión superior a 120 mil pesos un día cualquiera? b) Calcule la comisión esperada diaria para un vendedor cualquiera, y su varianza. 6. El número de unidades defectuosas en cajas que contienen 100 baterías de una marca ZT es una variable aleatoria cuya función de cuantía es la siguiente:

A partir de la función generadora de momentos calcule la tasa media de unidades defectuosas por caja. 7. Suponga que le tiempo en horas que se ocupa en preparar para el despacho un pedido de cierta producto, es una variable aleatoria que acepta la siguiente función de densidad. 1 si, 0 ≤ x ≤ 1 f (x) =   0 en c.o.c

Si se define el tiempo de demora en la entrega del despacho de acuerdo a la función y = − ln(x ) , obtenga la función de densidad para esta variable. 8. Una empresa administradora de la tarjeta de crédito de una empresa de retail clasifica a sus clientes según su nivel de riesgo de acuerdo a al siguiente criterio.

, si x < 20 bajo  R( x) = aceptable , si 20 ≤ x ≤ 50 alto , si x > 50  Donde, x es una variable aleatoria corresponde a indicador de riesgo y acepta la siguiente función de densidad.

x2  f ( x ) =  k si 0 ≤ x ≤ 60  0 en c..o.c 9. Suponga la siguiente empresas :

función de densidad para los sueldos de los trabajadores de una

 K ( x − 1) si 1 ≤ x ≤ 5  f X ( x) =  0 e.o.c  Suponga además que en diciembre se entregara un bono de navidad a estos trabajadores de acuerdo al siguiente criterio.

x < cuartil1 400M$ si 250M$ si cuartil ≤ x ≤ cuartil3 B( x ) =  100M$ si x > cuartil3   a) ¿Cuál es el monto que espera gastar semestralmente la empresa en la entrega de este bono? b) Si se observan independientemente 2 trabajadores, ¿Cuál es la probabilidad que solo uno obtengan bono de 400M$. 10. Considere la función de densidad dada por:

 K ( x − 1) si 1 ≤ x ≤ 5  f X ( x) =  0 e.o.c  (a) Encuentre la función de densidad de la v.a Y definida por Y=ln(X) (b) Encuentre la función de distribución acumulada de la v.a Y definida en (a) (c) Determine P (0.5 ≤ Y ≤ 1) 11. Considere la función de densidad de una v.a X con distribución exponencial dada

por:

λ e −λx  f X ( x) =  0 

si x > 0 (con λ > 0) e.o.c

(a) Determine los momentos de 1º, 2º,orden (b) Encuentre la varianza de X. 12. La velocidad a la cuál transitan los vehículos por determinada carretera, puede modelarse mediante una variable aleatoria X (en cientos de Km/hr), cuya función de probabilidad está dada por :

k ( x + 2) , si 0,5 ≤ x ≤ 1,2 f ( x) =  , t.o.l 0 a. En determinado tramo de la carretera, la velocidad máxima permitida es de 100 Km/hr Determine la probabilidad que un vehículo elegido al azar que circula por dicho tramo, lo haga a exceso de velocidad. b. ¿Cuál es la menor velocidad de los vehículos cuya velocidad se encuentra en el ultimo quintil?

13. Una estructura metálica puede sufrir, debido al calor, una dilatación que (medida en mm) es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad dada por:

a) Obtenga la dilatación media que alcanza la estructura. b) Calcule la probabilidad que la dilatación alcanzada por la estructura supere lo esperado. c) Calcule la probabilidad que la dilatación de una estructura defiera de lo esperado en a lo mas medio milímetro 14. Una empresa minera está analizando la posibilidad de iniciar operaciones en un yacimiento en el norte del país. Estudios geológicos preliminares permiten proyectar la extracción mensual de minería en el yacimiento (en miles de toneladas) a través de una variable aleatoria con función de distribución de probabilidad: 0

si x < 0

F(x) =

si 0 ≤ x < 4 si 4≤ x < 9 si x ≥ 9

0,2 x 0,04 x + 0,64 1

a) Un aspecto a considerar en la decisión de la compañía es la proyección de extracción media mensual y su variabilidad relativa, la compañía no inicia sus operaciones en el yacimiento si la variabilidad relativa (CV) supera el 95%, determine si es factible que la compañía inicie sus operaciones en el yacimiento. b) ¿Cuál es la probabilidad que en un mes cualquiera se extraigan a lo menos 6,3 (miles de toneladas)? 15. El tiempo de reparación T , en horas, de un artículo tiene la siguiente función de densidad:

f ( t ) = e− t

; t > 0

a) Si un artículo lleva en reparación media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reparación para este artículo no sobrepase a una hora mas. b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo de reparación media sea superior a 1,2 horas? 16. En determinada Universidad, el puntaje de evaluación de un examen de admisión a un Programa de Postítulo corresponde a una variable aleatoria Y con función de distribución dada por :

FY ( y ) =

(

)

1 2 y −1 80

si 1 ≤ y ≤ 9

a) ¿Cuál es la probabilidad que el puntaje obtenido por un postulante difiera del esperado en más de dos puntos? b) Podrán postular a una beca de financiamiento parcial de dicho programa, sólo aquellos postulantes cuyos puntajes en el examen exceda al puntaje medio en 1 desviación estándar. ¿Cuál es la probabilidad que un postulante elegido al azar pueda postular a dicho beneficio? 17. El número de trabajadores que no se presentan a trabajar empresa acepta la siguiente función de cuantía.

un día cualquiera en cierta

a) ¿Cual es el valor de “k”? b) Calcule la probabilidad que en un día cualquiera no se presenten mas de dos trabajadores a trabajar. c) Usando la función generadora de momentos obtenga la lasa media de inasistencia de trabajadores por día a trabajar. Obtenga también la varianza. d) Si se observan independientemente y día a día el numero de trabajadores que no se presenta a trabajar: a. ¿Cual es la probabilidad que el primer día en que no se presentan a trabajar mas trabajadores de lo esperado ocurra en el tercer día observado? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer día observado con mas trabajadores inasistentes a su trabajo de lo esperado ocurra en el quinto día observado?