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Ejercicios resueltos

Luis Zegarra A

CÁLCULO II

Cálculo en varias variables

1. Funciones de varias variables. Dominio y recorrido. Curvas de nivel 1.

Dada la función

0 aBß C b œ

B È#B  C  #

a) Determine el dominio de la función y dibuje un gráfico de éste.

b) Encuentre y grafique las curvas de nivel, para 0 aBß C b œ "ß #ß !Þ Solución. aÑ H97 0 œ ÖÐBß CÑ Î #B  C  #  ! × y 2x − y + 2 = 0

2 −1

x

b) B œ " Í C œ  B#  #B  #, con B Á ! e C Á # È#B  C  #

B " œ # Í C œ  B#  #B  #, con B Á ! e C Á # È#B  C  # %

B œ ! Í B œ !ß con #B  C  #  ! Ê C  # È#B  C  #

2. Sea

Ú

#BC 0 ÐBß CÑ œ Û  C# Ü ! B#

si si

ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

" " a) Demuestre que 0 Ð ß Ñ œ 0 ÐBß CÑ y dibuje la curva de nivel 0 ÐBß CÑ œ "ß B C a ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ b) Estudie la continuidad de 0 ÐBß CÑ en el origen. Solución: " " a) 0 ( ß ) œ B C

# B" C" " B#



" C#

œ

#BC œ 0 ÐBß CÑ B#  C #

Curva de nivel para 0 ÐBß CÑ œ 1 Ê B#  C # œ #BC Ê ÐB  CÑ# œ ! Í B œ C

b) 0 Ð!ß !Ñ œ !ß existe Tomando la trayectoria C œ 7B ß 7 − ‘ #BC #B7B #7 #7 œ lim # œ lim œ # # # # BÄ! B  7 B BÄ! "  7 C "  7#

ÐBßCÑÄa!ß!b B#

lim

#7 Á 0 por lo tanto 0 ÐBß CÑ es "  7# discontinua inevitable en Ð!ß !Ñ pues no existe lim 0 ÐBß CÑ.

El límite depende de 7, y para m Á 0 Ê

ÐBßCÑÄa!ß!b

2. Límites y Continuidad.

1. Demuestre que la siguiente función no es continua en ‘# ß Ú

BC 0 ÐBß CÑ œ Û ÈB#  C # Ü !

si si

aBß Cb Á a!ß !b aBß Cb œ a!ß !b

Solución. Es suficiente tomar la trayectoria C œ 7Bß 7 − ‘à entonces lim

ÐBßCÑÄÐ!ß!Ñ

0 ÐBß CÑ œ lim

BÄ!

ÈB#  7# B# B  7B

œ lim „ BÄ!

"7 "7 œ „ È "  7# È "  7#

el límite depende del parámetro 7ß por tanto no existe cuando ÐBß CÑ Ä a!ß !b,

entonces la función es discontinua inevitable en el origen.

3. Derivadas parciales. Interpretación geométrica.

Ú $B# C 0 aBß Cb œ Û B%  C# Ü !

1. Sea

Calcule À

si aBß Cb Á Ð!ß !Ñ si aBß Cb œ Ð!ß !Ñ

0B Ð!ß !Ñß 0BC Ð!ß !ÑÞ

Solución.

0 Ð2ß !Ñ  0 a!ß !b % #  ! a) 0B Ð!ß !Ñ œ lim œ lim 2 ! œ !ß 2Ä! 2Ä! 2 2 aaBß Cb Á a!ß !bÞ $2# !

'BCÐB%  C# Ñ  $B# C %B$ 'BC $  'B& C 0B aBß Cb œ œ ÐB%  C# Ñ# ÐB%  C # Ñ#

Por tanto,

0B a!ß 5 b  0B a!ß !b 0BC Ð!ß !Ñ œ lim œ lim 5Ä! 5Ä! 5

'†!5 $ '†!& 5 Ð!% 5 # Ñ#

5

!

œ!

4. Derivadas parciales de orden superior. ? œ /BC 1. Sea A œ 0 Ð?,@Ñ una función diferenciable donde ß œ @ œ /BC %

demuestre

`#A ` #A ` #A ‘ œ /#B   `@ `? `B# `C#

Solución: `A `A `B ` A `C œ  `? `B `? `C `?

donde " ? œ /BC Í B  C œ 68 ? B œ # Ð68 ?  68 @Ñ " @ œ /BC Í B  C œ 68 ? Ÿ C œ Ð68 ?  68 @Ñ # Así: `A `A " `A " " `A `A œ  œ Ð  Ñ `C `? `B #? `C #? #? `B luego:

" `# A ` B `#A ` #A ` C ` # A ` B ` #A ` C œ Ö #    × `@ `? `C`B `@ `C # ` @ #? `B `@ `B`C ` @ `#A " `# A ` #A `# A ` #A œ Ö    × `@ `? %?@ `B# `B`C `C`B `C # finalmente de aquí %

`#A ` #A ` #A ‘ œ /#B   `@ `? `B# `C#

5. Incremento total y parcial. Diferencial total. Plano tangente. Diferenciabilidad. Aproximación. 1. Sea

Ú $B# C 0 aBß Cb œ Û B%  C# Ü !

si aBß Cb Á Ð!ß !Ñ si aBß Cb œ Ð!ß !Ñ

Demostrar que 0 ÐBß CÑ no es diferenciable en Ð!ß !Ñ Solución. Es suficiente probar que 0 es discontinua en a!ß !b $B# C lim 0 ÐBß CÑ œ lim Ðlim % ÑÑ œ lim ! œ ! BÄ! CÄ! B  C # BÄ! aBßCbÄa!ß!b Tomando C œ B# ß B Ä ! Ê C Ä !ß resulta aBßCbÄa!ß!b

lim

$B% $ œ ß BÄ! B%  B% #

0 ÐBß CÑ œ lim

Por tanto como ! Á

$ #

el límite no existe y la función es discontinua inevitableß

con lo que 0 no es diferenciable en a!ß !bÞ

C 2. Sea 0 una función diferenciable, y consideremos la superficie D œ B 0 Ð ÑÞ B Probar que el plano tangente en cualquier punto T! ÐB! ß C! ß D! Ñ de la superficie pasa por el origen. Solución. La ecuación del plano tangente en T! ÐB! ß C! ß D! Ñ es D  D! œ

`D `D C! ÐT! ÑÐB  B! Ñ  ÐT! ÑÐC  C! Ñß con D! œ B! 0 Ð Ñ `B `C B!

`D C C C `D C! C! C! œ 0 Ð Ñ  B0 w Ð ÑÐ  # Ñ Ê ÐT! Ñ œ 0 Ð Ñ  0 w Ð Ñ `B B B B `B B! B! B! `D C " `D C! œ B 0 w Ð ÑÐ Ñ Ê ÐT! Ñ œ 0 w Ð Ñ `C B B `C B! Así, D  D! œ Ò0 Ð

C! C! C! C! Ñ  0 w Ð ÑÓÐB  B! Ñ  0 w Ð ÑÐC  C! Ñ B! B! B! B!

Ahora si el plano pasa por el origenß el punto SÐ!ß !ß !Ñ debe satisfacerlo, es decir Ò0 Ð

C! C! C! C! Ñ  0 w Ð ÑÓÐ!  B! Ñ  0 w Ð ÑÐ!  C! Ñ œ B! B! B! B!

œ  B! 0 Ð

C! C! C! C! Ñ  C! 0 w Ð Ñ  C ! 0 w Ð Ñ œ !  B ! 0 Ð Ñ œ !  D ! B! B! B! B!

3.

Sea la superficie D œ 0 ÐBß CÑ definida implícitamente por D $  D 691ÐB#  C # Ñ  C # œ ) Determine la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto Ð"ß !ß #Ñ Solución: La ecuación del plano tangente en el punto Ð"ß !ß #) es: D#œ

`D `D Ð"ß !ß #Ñ ÐB  "Ñ  Ð"ß !ß #Ñ ÐC  !Ñ `B `C

donde: `D œ  `B

`J `B `J `D

" #B `D "  C# œ  # Ê Ð"ß !ß #Ñ œ  # # $D  691ÐB  C Ñ `B $ D

`D œ  `C

`J `C `J `D

B#

" #C  #C `D  C# œ  # Ê Ð"ß !ß #Ñ œ ! # # $D  691ÐB  C Ñ `C D

B#

Así: " D  # œ  ÐB  "Ñ es la ecuación del plano pedido. $ " Ahora, la dirección de la recta normal es Ð ß !ß "Ñ y como pasa por el punto $ B" D# Ð"ß !ß #Ñ su ecuación resulta ser: œ ßCœ! " " $

4. Demuestre que la función

Ú

B# C $ 0 ÐBß CÑ œ Û #B#  C# Ü ! es diferenciable en Ð!ß !ÑÞ Demostración. ÐForma 1)

si ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ si

ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

Aplicando la definición de diferenciabilidad en Ð!ß !Ñ se tiene,

l lim

ÐBßCÑÄÐ!ß!Ñ

B# C $ `0 `0  Ö!  Ð!ß !Ñ B  Ð!ß !Ñ C × | #B#  C# `B `C ß È B#  C #

`0 donde: Ð!ß !Ñ œ lim ?BÄ! `B

Ð?BÑ# !$ #Ð?BÑ# !#

!

?B

œ !ß analogamente

`0 Ð!ß !Ñ œ ! `C

Asi resulta: lim

ÐBßCÑÄÐ!ß!Ñ

Ð#B# C# ÑÈB# C # B# C# lC |

ß

este límite debe valer 0, luego por la

definición Ða&  !) ab$  !b Š!  ÈB#  C #  $ ‹ Ê ¸

B# C# lC |  ! ¸  & Ð#B#  C# ÑÈB#  C #

Buscamos $ adecuado a&  ! dadoß luego B# C# lC |  &ß y como l C |  ÈB#  C # • B#  ÐB#  C # Ñ se tiene Ð#B#  C# ÑÈB#  C # B# C# lC | ÐB#  C # Ñ# ÈB#  C # ÐB#  C # Ñ#   & Í B#  C # Ð#B#  C# ÑÈB#  C # Ð#B#  C # ÑÈB#  C #

B#  C #  & Ê $ œ È & ÐForma 2)

Probando la continuidad de Note que

Nota.

`0 `0 • en Ð!ß !Ñ `B `C

Ú #C& `0 œ Û Ð#B#  C # Ñ# `B Ü !

si aBß Cb Á a!ß !b si aBß Cb œ a!ß !b

El cálculo de

`0 Ð!ß !Ñ debe hacerse como en la forma 1 `B

Por probar que #C& œ !ß aBßCbÄa!ß!b Ð#B#  C # Ñ# lim

(a&  !) ab$  !b Š!  ÈB#  C #  $ ‹ Ê (¹ En efecto: pues œ

#C& !¹& Ð#B#  C# Ñ#

#C4 | C l #ÐB#  C# Ñ# ÈB#  C #   &, Ð#B#  C# Ñ# Ð#B#  C # Ñ#

l C |  È B#  C # C#  ÐB#  C# Ñ

Analogamente para

Ê È B#  C # 

& #

Ê$œ

& #

`0 Þ `C

5. Determine el valor de la constante E manera que la expresión Ð EB  B# CÑ /BC .B  B$ /BC .C sea diferencial exacta. Enseguida, encuentre la función original 0 ÐBß CÑ Solución. Se debe exigir que: ` ` $ BC ÐEB  B# CÑ /BC œ ÐB / Ñ `C `B B# /BC  ÐEB  B# CÑ /BC B œ $B#  B$ /BC  B$ /BC C B#  EB#  B$ C œ $B#  B$ C Ê E œ # Así, Ð#B  B# CÑ /BC .B  B$ /BC .C por tanto se debe tener: `0 `0 œ Ð2B  B# CÑ /BC (1) y œ B$ /BC (2) de donde integrando (2) con `B `C respecto a C considerando B constante se obtiene 0 ÐBß CÑ œ B# /BC  GÐBÑ considerando B constante se obtiene 0 ÐBß CÑ œ B# /BC  GÐBÑ Ê `0 w w œ #B /BC  B# C /BC  G ÐBÑ Ê G ÐBÑ œ ! Ê GÐBÑ œ O (constante) `B

0 ÐBß CÑ œ B# /BC  OÞ

luego:

'.- Demuestre que el volumen del tetraedro limitado por el plano tangente a la superficie BCD œ +$ ß + constante, en un punto cualquiera de ella y los planos * coordenados es +$ # Demostración. Supóngase Bß Cß D  ! y siendo :ß ; y < los interceptos con los ejes \ß ] y ^ respectivamente se tiene: Dœ

+$ `D +$ `D +$ à œ  ß œ  BC `B C B# `C B C#

Ecuación del plano tangente en T! ÐB! ß C! ß D! Ñ D  D! œ 

+$ +$ ÐB  B Ñ  ÐC  C! Ñß intersecando con los ejes se ! C! B#! B! C!#

tiene: B œ : • D œ C œ ! Ê Ð:  B! Ñ

+$ B ! C ! D!  + $ œ Ê : œ $B! B! C ! C! B#!

C œ ; • B œ D œ ! Ê ; œ $C! Dœ< • BœCœ!Êœ# = (1,1) Ê ? Ð"ß "Ñ por tanto H?s 0 œ È# sœ È# .> &

B C 4.- Sea 0 ÐBß CÑ œ B# :Ð Ñ 