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PRIMER CURSO DE LÓGICA MATEMATICA MODUS TOLLENDO PONENS

YUVIMIR FIERRO GALINDO MAURICIO BUENAVENTURA CASTELLANOS LINDA RAMÍREZ LOSADA

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA UCC INGENIERÍA CIVIL, PRIMER SEMESTRE VILLAVICENCIO, 1 DE SEPTIEMBRE DE 2014

MODUS TOLLENDO PONENS

GRUPO NÚMERO TRES INTEGRANTES: YUVIMIR FIERRO GALINDO MAURICIO BUENAVENTURA CASTELLANOS LINDA RAMÍREZ LOSADA

DOCENTE ERIKA VEGA ESCOBAR

LÓGICA MATEMATICA PRIMER SEMESTRE DE INGENIERÍA CIVIL

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA UCC INGENIERÍA CIVIL, PRIMER SEMESTRE VILLAVICENCIO, 1 DE SEPTIEMBRE DE 2014

OBJETIVOS GENERALES

 

Identificar las leyes de inferencia lógica entre ellas el modus tollendo ponens, y desarrollar, comprender y analizar sus diferentes subtemas. Aprender y diferenciar las reglas de inferencia lógica, para poderlas aplicar en la solución de problemas propuestos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS     

Entender las reglas de la inferencia lógica Comprender la aplicación de las reglas de inferencia lógica para la demostración de soluciones. Aplicar las leyes de la inferencia lógica para relacionarlas con casos de la vida real. Analizar las premisas que integran un problema, para diseñar la estrategia de solución, aplicando las reglas de inferencia para llegar a la demostración solicitada. Aplicar las proposiciones en el trabajo de las reglas de inferencia lógica.

Modus Tollendo Ponens El nombre latino dice algo acerca de la regla. Dice que negando (tollendo) un miembro de una disjunción se afirma (ponens) el otro miembro. Simbólicamente, el modus tollendo ponens se puede expresarDe la premisa P V Q y la premisa ¬P se puede concluir Q De la premisa P V Q y la premisa ¬Q se puede concluir P La abreviatura para modus tollendo ponens es TP. Añadiendo paréntesis, modus tollendo ponens se puede escribir: De (P) V Q y ¬(P) Se deduce ( Q) De (P) V (Q) y ¬ (Q) Se deduce (P) Supóngase que se tiene como premisa la disyunción: O esta sustancia contiene hidrógeno o contiene oxígeno La segunda premisa dice: Esta sustancia no contiene hidrógeno. Por medio del modus tollendo ponens se puede concluir: Esta sustancia contiene oxígeno. Para aclarar la forma de esta inferencia, se puede simbolizar el ejemplo anterior. Sea: P = «Esta sustancia contiene hidrógeno» Q = «Esta sustancia contiene oxígeno». La demostración de la conclusión es: Obsérvese que una premisa (la negación) niega una parte de la disjunción. La conclusión afirma precisamente la otra parte. No importa cuál sea el miembro negado, el derecho o el izquierdo. La disjunción dice que por lo menos un miembro se cumple; por tanto, si se encuentra que uno de los miembros no se cumple, se sabe que el otro ha de cumplirse. Una disjunción en Lógica significa que por lo menos una de las dos proposiciones es cierta y quizá ambas. Supuesto que se tiene una premisa que dice que un miembro de la disjunción es cierto, ¿se puede concluir algo sobre el otro miembro? Por ejemplo, considérese la proposición anterior sobre oxígeno e hidrógeno. Si la segunda premisa hubiera sido «La sustancia tiene

hidrógeno», ¿qué se podría concluir del oxígeno, en caso de poder concluir algo? No se podría concluir nada. Véanse los ejemplos que siguen. Son ejemplos del uso de la regla modus tollendo ponens. Estas reglas no están limitadas a proposiciones atómicas. Igual que los otros tipos de proposiciones, la disjunción tiene lugar entre proposiciones moleculares de igual manera que entre proposiciones atómicas. Obsérvese que en muchas proposiciones se necesitan paréntesis para indicar cuál es el término de enlace dominante. (1) P V Q p (2) ¬P p (3) Q TP 1, 2

DEDUCCIONES PROPOSICIONALES La regla de las premisas se ha utilizado ya al principio de las deducciones. Como esta regla es familiar, la P para la regla de premisas se omitirá corrientemente cuando se da un problema en forma simbolizada. En deducciones formales, sin embargo, se escribirá una P antes de cada premisa dada, para indicar que las líneas están justificadas por la regla de premisas. Resumiendo, se empieza con un conjunto de premisas y el objeto es pasar de estas premisas a una conclusión particular. Cada movimiento que se hace, cada línea que se escribe debajo, ha de ser permitido por una regla de inferencia definida. Hemos aprendido a efectuar deducciones simples. Ahora se considerarán algunas deducciones complicadas. Consideremos el razonamiento del siguiente ejemplo: Ejemplo a. Si la ballena es un mamífero entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por tanto, no necesita branquias. La conclusión que se desea demostrar o deducir es la proposición «no necesita branquias». (La palabra, «por tanto», pone de manifiesto que la proposición final es la conclusión del razonamiento.) El primer paso en este proceso es simbolizar el razonamiento de manera que la deducción sea perfectamente clara. Sea W= «La ballena es un mamífero» 0 = «Toma su oxígeno del aire» G= «Necesita branquias» H= «Habita en el océano». Entonces la primera premisa es: W→O la segunda premisa es:

O→¬Q

la tercera premisa es:

W&H

La conclusión es:

¬G

La deducción proposicional se puede escribir como se indica a continuación: Los tres primeros pasos son premisas. Los pasos 4, 5 y 6 están justificados por reglas de inferencia aplicadas a líneas anteriores. A la derecha de cada paso o línea, se indica la manera como se justifica aquella línea. Por ejemplo, puesto que las tres primeras líneas son premisas, se escribe la letra P a la derecha de aquellas líneas. Estas líneas son dadas y no deducidas y, por tanto, no necesitan ninguna otra justificación. La línea 4 se deduce de la línea 3 por la regla de simplificación. Por tanto, se escribe la abreviatura de la regla S a la derecha de aquella línea, seguida del número de la línea de la que se ha deducido. La línea 5 se obtiene de las líneas 1 y 4 por modus ponendo ponens. Considerando la línea 1, W —> O, y la línea 4, W, se puede ver rápidamente que modus ponendo ponens nos permite obtener O- Este movimiento se indica por la abreviatura del nombre de la regla PP, y el número de las líneas de las que se ha deducido la línea 5. De forma análoga se indica que la línea 6 se ha deducido por modus ponendo ponens de las líneas 2 y 5. Puesto que la línea 6 representa la conclusión deseada, objetivo de nuestra deducción, la deducción es completa. Se ha demostrado que ¬G es consecuencia lógica de las tres premisas del razonamiento. Así, puesto que ¬G representa la proposición «No necesita branquias» en el razonamiento puesto como ejemplo se ha demostrado que la conclusión de aquel razonamiento es válida. Este es un ejemplo de una deducción formal. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

W→O O → ¬G W&H W O ¬G

P P P S3 PP 1,4 PP 2,5

A fin de que cada paso de la demostración resulte perfectamente claro a todos aquellos que lo lean, nos atendremos estrictamente a la forma indicada para hacer deducciones. No se olvide que un objetivo de la Lógica es ser preciso. Para estar seguro de la precisión, anótese cada paso que se efectúe y el por qué está permitido. Para cada paso, escríbase primero el número de aquella línea, después la proposición misma, y finalmente lo que justifica aquel paso por la abreviatura de la regla que lo ha permitido. Si el paso está deducido de otras líneas por una regla, entonces añádase el número o números de las líneas de las que se ha deducido.

MÁS SOBRE PARÉNTESIS Los paréntesis indican el agrupamiento en proposiciones moleculares, en las que distintas agrupaciones pueden dar lugar a distintos significados. Por ejemplo, una proposición simbolizada en la forma: (A & B) V C No tiene el mismo significado que una proposición simbolizada en la forma: A & (B V C).

En el segundo agrupamiento se está cierto de que se presenta A , y se está cierto también que o B o C se presenta. En el primer agrupamiento no se está cierto de ninguna de las proposiciones. Sólo se sabe que o A & B o C se presenta. Al deducir conclusiones de conjuntos de premisas es esencial el uso correcto de los paréntesis, pues de otra forma no se puede estar seguro de la aplicación de las reglas. Sea, por ejemplo, la proposición: A & Q V R. Sin paréntesis que indiquen el agrupamiento, no se puede decir cuál es el término de enlace dominante ni se puede decir si la proposición es una conjunción o una disjunción. No se puede saber, pues, si se puede utilizar la ley de simplificación o quizá el modus tollendo ponens. Se puede indicar el término de enlace dominante utilizando paréntesis. Si la proposición está agrupada en la forma: (P & Q) V R Entonces es una disjunción y el término de enlace dominante es «o». Es la disjunción cuyo Primer miembro es una proposición molecular (una conjunción) y cuyo segundo miembro es una proposición atómica. Si está agrupada (2) P & (Q V R) Entonces es una conjunción. Se podría aplicar la regla de simplificación a la proposición (2) y deducir P, pero no se puede deducir P de la proposición (1). Tanto el significado de las proposiciones como la aplicación correcta de las reglas de inferencia dependen del uso correcto de los paréntesis. Indicado el agrupamiento de las proposiciones simbolizadas, el paréntesis nos mostrará cuál es el término de enlace dominante en la proposición. Se recordará que el término de enlace condicional es más fuerte que los de conjunción, disjunción o negación. Cuando se presenta en una proposición con cualquiera de los otros, no es necesario el paréntesis para indicar que es el término de enlace dominante. Como «o» e «y» son igualmente fuertes se necesita paréntesis para indicar cuál es el dominante. Ambos «y» y «o» son más fuertes que «no», de manera que ¬ se aplica sólo a la proposición más corta delante de la que está colocado, salvo que un paréntesis indique que se aplica a una proposición molecular más larga, como ocurre en las proposiciones siguientes: ¬(P → Q) y ¬(P V Q).

LEY DE ADICIÓN. La ley de adición expresa el hecho que si se tiene una proposición que es cierta, entonces la disjunción de aquella proposición y otra cualquiera "ha de ser también cierta. Si se da la proposición P, entonces la proposición P V Q es consecuencia. Para justificarlo, recuérdese el significado de una disjunción. La disjunción P V Q indica que por lo menos una de las dos proposiciones ligadas por el término de enlace «o» ha de ser cierta. Recuérdese que sólo una ha de ser necesariamente cierta. Puesto que se ha dado P como proposición cierta, se sabe que P V Q ha de ser una proposición cierta; y esto es precisamente lo que se entiende por una conclusión lógica válida. Cuando una premisa es cierta, la conclusión que se sigue de ella ha de ser cierta. Con ejemplos en lenguaje ordinario se ve lo obvia que es esta regla. Si, como premisa cierta, se ha dado: Este libro es azul, Entonces se sabe que la proposición siguiente ha de ser cierta. O este libro es azul o es rojo.

Se puede también concluir: O este libro es azul o es viejo o O este libro es azul o es nuevo, y así sucesivamente. En todos estos ejemplos una parte es cierta y esto es todo lo que se necesita para que una disjunción sea cierta. En forma simbólica, si se tiene la proposición P, se puede concluir P V Q, o P V R, o S V P, o T V P, y así sucesivamente. La abreviatura para la ley de adición es LA. Ejemplos de la ley de adición son: 1) Q 2) Q V ¬R

P L.A 1

1) ¬R 2) S V ¬R

P L.A 1

1) T & S 2) (T & S) V R

P L.A 1

1) T V R 2) (P & S) V (T V R)

P L.A 1

Obsérvese que el orden en que se usan no importa. De P se puede deducir P V Q o se puede deducir Q V P.

Ejercicios

(1) Demostrar: R 1) ¬Q V S 2) ¬S 3) ¬(R & S) → Q 4) ¬Q 5) ¬¬(R&S) 6) R&S 7) R

(2) Demostrar: B P P P TP 1,2 TT 3,4 DN 5 S6

(3) Demostrar: M 1) 2) 3) 4) 5) 6)

S&P M V ¬N S→N S N M

1) 2) 3) 4) 5) 6)

¬A V B ¬A → B ¬E ¬¬A A B

P P P TT 2,3 DN 4 TP 1,5

(4) Demostrar: A & B P P P S3 PP 3,4 TP 2,5

1) 2) 3) 4) 5) 6)

B B → ¬D AVD ¬D A A&B

P P P PP 1,2 TP 3,5 A 1,6

(5) Demostrar: H 1) 2) 3) 4) 5)

¬S SV(HVG) ¬G HVG H

(6) Demostrar: P P P P TP 1,2 TP 3,4

1) 2) 3) 4) 5) 6) (8)

P P P TT 2,3 TP 1,4

1) P V Q 2) Q → R 3) ¬R 4) ¬Q 5) P (10) Demostrar: p

(7) Demostrar: P 1) 2) 3) 4) 5) (9)

PVQ ¬T Q→T ¬Q P Demostrar: R

1) P & Q P 2) R V ¬S P 3) P → S P 4) P S1 5) S PP 3,4 6) R TP 2,5 (11) Demostrar: P 1) P V Q P 2) (Q → R) & ¬R P 3) Q → R S2 4) ¬R S2 5) ¬Q TT 3,4 6) P TP 1,5

(13)

Demostrar: A

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)

P P P TT 1,2 TP 3,4

P P P DN 2 PP 1,4 TP 3,5

P P P TT 2,3 TP 1,4

1) ¬P → ¬Q P 2) (Q V S &) ¬S P 3) Q V S S2 4) ¬S S2 5) Q TP 3,4 6) P TT 1,5 (12) Demostrar: R 1) Q → R P 2) ¬Q V T P 3) (T → U) & ¬U P 4) T → U S3 5) ¬U S3 6) ¬T TT 4,5 7) ¬Q TP 2, 6 8) R TP 1,7 (14) Demostrar: Q

1) ¬A → C P 2) C → ¬M P 3) M V R P 4) ¬R P 5) M TP 3,4 6) ¬C TT 2,5 7) A TT 1,6 (15) Demostrar: S T→R ¬R TVS ¬T R

T→PVQ ¬¬ T ¬Q T PVQ P Demostrar: P

S → (PVQ) S ¬P PVQ Q

(16) S V ¬R T → ¬S T ¬S ¬R

P P P PP 1,2 TP 3,4

Demostrar: ¬R P P P PP 2,3 TP 1,4

(17) 1) 2) 3) 4) 5)

PVQ ¬Q P→S P S

(19) 1) 2) 3) 4) 5)

(25) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

1) P → (Q & R) 2) P 3) T → ¬Q 4) T V S 5) Q & R 6) Q 7) ¬T 8) S (20) Demostrar: S

P P P P PP 1,2 S5 TT 3,6 TP 4,7

P P P TP 1,2 TT 3,4

1) 2) 3) 4) 5)

P P P TP 1,2 TT 3,4

Demostrar: Y + 8 < 12

Demostrar: S

Q→P ¬P → R ¬R V S ¬S & ¬Q ¬Q ¬P R S

¬T V R T ¬S → ¬R R S

(22) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

P P P P S4 TT 1,5 PP 2,6 TP 3,7

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

P P P S3 S3 TP 2,4 PP 1,5 A 6,7 Demostrar: S

PVQ Q → ¬R (P & R) → S R ¬Q P P&R S

(26) P P P P TP 3,4 TT 2,5 TT 1,6

Demostrar: Q & R

P→Q R V ¬S S&P S P R Q Q&R

(24)

Demostrar: ¬P

P → (Q & R) (Q & R) → S T V ¬S ¬T ¬S ¬ (Q & R) ¬P

Demostrar: S

P P P TP 1,2 PP 3,4

(X +8 = 12) V ( X≠4) P (X=4) & (Y