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Ejercicios resueltos 4.2-1 Resolver los siguientes límites:

x3  1 ; x 1 x 2  1

a) lim d)

lim x 0

b) lim

x 5 ; x 2  25

e) lim

x2  2x ; x2  4 x  4

x 5

x2  2 ; x

x 2

c ) lim x 3

f ) lim

x 1  2 ; x 3

 x  h 3  x 3 h

h 0

Solución x3  1 0  indeterminación de la forma   . 2 x 1 x  1 0  descomponemos en factores numerador y simplificamos y por último sustituimos x por -1:

Para

a) lim

evitarla,

denominador,

 x  1  x 2  x  1 x3  1 x2  x  1 3  lim  lim  lim 2 x 1 x  1 x 1 x  1 x 1 2  x  1 x  1 x 5 0  indeterminación de la forma   . Para evitarla, 2 x 5 x  25 0  descomponemos en factores numerador y denominador, simplificamos y por último sustituimos x por 5:

b) lim

lim x 5

x 5 x 5 1 1  lim  lim  2 x  25 x 5  x  5  x  5  x 5 x  5 10

x 1  2 0  indeterminación de la forma   . Para evitarla, x 3 x 3 0  racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x por 3:

c) lim

lim x 3

x 1  2  lim x 3 x 3  lim x 3



x 1  2

 x  3 



x 1  2

x 1  2

x 3

 x  3 

x 1  2





  lim x 3

 lim x 3



x 1  4

 x  3  1

x 1  2





x 1  2





1 4

Ejercicios resueltos 1

x 2  2 0  indeterminación de la forma   . Para evitarla, x 0  racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x por 0:

d) lim x 0

lim x 0

x 2  2  lim x 0 x



 lim x 0

x2  2 x

x







x 2  2

x 2  2

x 22 x 2  2





 lim x 0



1 1 2   4 x 2  2 2 2

x2  2x 0  indeterminación de la forma   . Para evitarla, 2 x 2 x  4 x  4 0  descomponemos en factores numerador y denominador, simplificamos y por último sustituimos x por 2:

e) lim

lim x 2

x  x  2 x2  2x x  lim  lim   2 2 x  2 x  2 x  4x  4  x  2  x  2 3  x  h   x3

0  indeterminación de la forma   . Para evitarla, h 0 h 0  realizamos las operaciones que se nos indica en el numerador, simplificamos y por último sustituimos h por 0:

f) lim

lim

3  x  h   x3

h 0

4.2-2 Resolver:

h

x 3  3 x 2 h  3 xh2  h 3  x 3  h 0 h 3 x 2 h  3 xh2  h3  lim  lim  3 x 2  3 xh  h 2   3x 2 h 0 h 0 h  lim

lim x 

2x  3 x3 x

Solución Indeterminación de la forma



 . Para evitarla, dividimos numerador y 

denominador por x : 2x  3 3 2 2x  3 x 2 lim  lim x3  lim 3 x  x  3 x x  x  x  x x 1 x x

Ejercicios resueltos 2

3   0 lim  x  x   3 lim x  lim 3 x  lim 3 1  0  x   x 3 x  x 2  x  x

4.2-3 Resolver:

lim x x 



x2  1  x



Solución

   . Para evitarla, en primer lugar

Indeterminación de la forma racionalizamos:

lim x x 



2



x  1  x  lim

x



x2  1  x



x 

 lim x 



x2  1  x

x  x2  1  x2 



x2  1  x

x2  1  x





 lim x 





x x2  1  x



En la última expresión dividimos numerador y denominador por x, con lo cual obtenemos:

lim x 

   

x 1 1 x  lim  x  2 2 1 x 1  x  1  2 1  x  x 

4.2-4 Resolver:

lim x 

x x x x

Solución Indeterminación de la forma denominador por



 . Para evitarla, dividimos numerador y 

x:

Ejercicios resueltos 3

lim x 

x x x x

 lim x 

x x x x x x

1

 lim x 

1

x x x

1

n

 1 4.2-5 Sabemos que lim  1    e n   n x

Resolver:

 1 a) lim 1   ; x   x x

d)

2  lim  1   ; x  x 

 1 b) lim 1   n   n  x 3 e) lim   x   x 1 

n 5

 1 ; c ) lim 1   x   x

3x

x 3

Solución x

 1 a) lim 1   Indeterminación de la forma 1  x  x  n

 1 Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e n   n

Hacemos un cambio de variable:

T    x  1   x  T  1 Si x    T  

Con este cambio: x

1   1  lim 1    lim 1   x   T  T  1  x   T 1 1   lim   T   T  1  1   lim 1   T   T

 1 b) lim 1   n   n

n 5

 T 1

 T 1

 T 1

1    lim  1   T   T 1 

 T   lim   T   T  1 

  T 1

 T 1

  T 1   lim   T   T 

 T 1



T

1  1   lim 1    1    e 1  e T   T  T

Indeterminación de la forma 1  n

 1 Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e n   n

Ejercicios resueltos 4

 1 lim  1   n   n

n 5

 1 c ) lim  1   x  x 

5

n

 1  1  lim  1   1    e 1  e n  n  n 

3x

Indeterminación de la forma 1  n

 1 Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e n   n  1 lim  1   x  x 

3

3

x  1  x    1   lim  1     lim 1     e3 x  x    x   x  

3x

x

d)

2  lim 1   Indeterminación de la forma 1  x  x  n

 1 Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e n   n x

  x   2 1    T  x  2T   lim  1    lim  1    2  x  x  x x      x    T   2   x

1   lim  1   T   T  x 3 e) lim   x   x 1 

x 3

2T

2

T  1   lim 1     e 2 T   T  

Indeterminación de la forma 1  n

 1 Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e n   n  x 3 lim   x   x 1 

x 3

 x 1  4   lim   x   x 1     1   lim  1  x  x 1    4   1   lim  1   T   T

x 3

4    lim 1   x   x 1 

 x 1  4

4T 4

x 3

4    lim 1   x   x 1 

 x 1  4



 x 1   T  x  1  4T    4   x    T   

1   lim 1   T   T

4T

4

1   lim 1    e 4 1  e 4 T   T

Ejercicios resueltos 5

 n n 1  lim    n  n2   n 1

4.2-6 Resolver:

Solución



 . Sabemos que el límite de una suma  es la suma de los límites, por lo tanto: Indeterminación de la forma

 n n 1  n n 1 lim    lim  lim  1 1  2  n  n  2  n n  1 n n  2  n 1

También lo podríamos resolver racionalizando.

4.2-7 Resolver:

lim n 



n 4  2n 3   n 2  n 



Solución Indeterminación de la forma    . Racionalizamos:

lim n 



n  2n   n 4

3

2

  n    lim

n 4  2n 3   n 2  n 



n 

 lim n 

 lim



n 4  2n3   n2  n 

 lim





n  2n   n  n  3





2

n 4  2n3   n2  n  4

n 4  2n3   n2  n 

n 4  2n 3   n 2  n  

n 4  2n 3  n 4  2n 3  n 2

n 

n 



2





n 2

n 4  2n3   n2  n 

Dividiendo numerador y denominador por n2 obtenemos:

lim n 

1 1  2 2 1 1  1  n n

Ejercicios resueltos 6

4.2-8 Resolver:

lim x 7

2 x 3 x 2  49

Solución 0  Indeterminación de la forma   . Racionalizamos, descomponemos en 0  factores, simplificamos y finalmente sustituimos x por 7: lim x 7



 



2 x 3 2 x 3 4   x  3 2 x 3  lim  lim 2  2 2 x 7 x  49  x  49  2  x  3 x7  x  49  2  x  3  lim x 7



7x

 x  7  x  7   2  x  3 

  lim x 7

4.2-9 Resolver:



1

 x  7  2  x  3 



  lim x 7



x 7

 x  7  x  7   2  x  3 

1 1  14  4 56

1 x  1 x x

lim x 0

Solución 0  Indeterminación de la forma   . Racionalizamos, simplificamos y 0  sustituimos x por cero: lim x 0

1 x  1 x  lim x 0 x  lim x 0

 lim x 0



1 x  1 x x

x









1 x  1 x

1 x  1 x

1  x  1  x  1 x  1 x 2

1 x  1 x





 lim x 0



x



 2x

1 x  1 x





1

Ejercicios resueltos 7



4.2-10 Resolver:

lim

x 64 3

x 8 x 4

Solución 0  Indeterminación de la forma   . 0  Vamos ha realizar un cambio de variable. Como el mínimo común de los índices de las raíces es 6: y6x

Si x  64  y  6 64  2 con lo cual: lim

x 64 3

y3  8 x 8  lim 2 x  4 y 2 y  4

Descomponemos en factores, simplificamos y sustituimos y por 2: y 2  2y  4   y  2   y 2  2y  4   y3  8 lim 2  lim  lim 3 y 2 y  4 y 2 y 2 y2  y  2  y  2 

Ejercicios resueltos 8