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TRABAJO: RESOLUCION DE EJERCICIOS-REPASO

CURSO: MATEMATICA III

DOCENTE: JOHN HENRY SANTA MARIA MALQUI

INTEGRANTES: Arca Prieto Jose Daniel Castro Palacios Joustin Cordova Talledo Pedro Palacios Encalada Cristopher Querevalu Yenque Edwin Paul Rivas Peralta Enmanuel Vilchez Ruiz Jesus Armando

1/3

2/3

1) La función de producción de cierta empresa está dada por P (L, K) = 30K L donde L es el tamaño de la fuerza laboral medido en horas-trabajador por semana k es el monto de capital invertido por semana en UM. a) Determine las productividades marginales cuando K= 1100 y L= 4500 1

∂P 2 =30 k 3 L ∂L 3

()

1

−1 3

−1

∂P =20 k 3 . L 3 ∂L

1

−1

∂P =20(1100) 3 .(4500) 3 ∂L ¿ 12,505

∂P 2 =30 k ∂K 3

()

∂P =10 k ∂K

−2 3

−2 3

L

2 3

2

. L3 −2

2

∂P =10(1100) 3 .(4500) 3 ∂K ¿ 25,579

b) Interprete sus resultados La producción se incrementa en aproximadamente 12,5 artículos semanales por cada hora-hombre adicional contratada cuando K se mantiene fija en 1100 UM. La producción se incrementa en aproximadamente 25,58 artículos semanales por cada UM adicional de incremento en el monto semanal del capital invertido cuando L se mantiene fijo en 4500 horas-hombre

c) Asuma que en una hora de trabajador le cuesta al empresario IUM. ¿Qué debería hacer el productor para aumentar la producción? Si el pago de una hora de trabajador es 1 UM, al fabricante le conviene aumentar el capital para aumentar su productividad.

b 2) Una función de producción de la forma Pa (L, K) = cK L ,en donde c ,a y b son constantes positivas , es llamada una función de producción Cobb-Douglass si a+b=1, demuestre que.

3) Para cada una de las funciones de costos conjuntos para dos productos dadas abajo, encontrar los costos marginales dados. Interpretar los resultados.

¿ 0,1 x2 +2 x+ 3 y+ 200 ∂C =0,2+2=0,2 ( 20 ) +2=6 ∂X ∂C =0,2(20)+2=0,2 ( 20 ) +2=6 ∂ X (20) ∂C =3 ∂y

3

2

C ( x , y )=0,01 ( x + y ) −0,2 ( x + y ) +3 ( x+ y ) +300 ∂C =0,01 ¿ ∂X ¿ 0,01 ¿ ¿ 0,01 ¿ ¿ 0,01 ¿ ¿ 0,01 ¿ ¿ 103,75 ∂C =103,75 ∂y

∂C ∂C =( 3000 √ xy +1 ) =3000 ( √ xy +1 ) ∂X ∂X u=( √ xy +1) ∂C 1 =( √ u ) 300. y ∂u 2 √ xy +1 ∂C ∂ C 1500 y =u1 /2 = ∂u ∂ x √ xy +1 1 1500(15) ∂C 1 2 −1 = u = ∂u 2 √( 45 ) ( 15 )+ 1

∂C 1 = ∂u 2 √u

∂C 22500 = =865,4 ∂u 26 1500(45) ∂C 1500 x = = =2596,2 ∂ y √ xy +1 √ ( 45 ) ( 15 ) +1

PRODUCTOS COMPETITIVOS Y COMPLEMENTARIOS

3.1) c ( x , y )=0.1 x 2+ 2 x +3 y +200 ; x=20 ; y=15 ∂c =0.2 x +2+0+0 ∂x

∂c =0+0+3+ 0 ∂y

∂c =0.2 ( 20 ) +2=6 ∂x

∂c =3 ∂y

3.2) c ( x , y )=0.01( x + y )3−0.2 ( x+ y )2+3 ( x + y ) +300 ; x=30 ; y=35 ∂c =0.01 [ 3 ( x+ y )2 ( x+ y ) ]−0.2 [ 2 ( x + y ) ( x+ y )' ]+3 (1)¿ ∂x ∂c =0.01 [ 3 ( x+ y )2 ( 1 ) ]−0.2 [ 2 ( x+ y ) ( 1 ) ] +3 ∂x ∂c =0.01 [ 3 ( 30+35 )2 ( 1 ) ]−0.2 [ 2 ( 30+35 )( 1 ) ] +3 ∂x ∂c =126.75−26+3=103.75 ∂x ∂c =0.01 [ 3 ( x + y )2 ( x + y ) ]−0.2 [ 2 ( x+ y )( x + y )' ]+ 3(1)¿ ∂y ∂c =0.01 [ 3 ( 30+35 )2 ( 1 ) ]−0.2 [ 2 ( 30+35 )( 1 ) ] +3 ∂x ∂c =126.75−26+3=103.75 ∂y

3.3) c ( x , y )=3000 √ xy +1, x=45 y=15 ( xy+1 )' ∂c =3000 + ( 3000 ) ' ( √ xy+ 1) ∂x 2 √ xy+ 1

(

)

∂c y =3000 +0 ∂x 2 √ xy+ 1

( ) ∂c 15 15 =3000 ( +0=3000 ( ) =865,38 ) ∂x 52 2 √ 45.15+1 ( xy +1)' ∂c ' =3000 + ( 3000 ) ( √ xy+ 1) ∂y 2 √ xy +1

( ) ∂c x =3000 ( +0 ∂y 2 √ xy +1 )

∂c 45 45 =3000 =3000 =2596,2 ∂y 52 2 √ 45.15+1

(

)

( )

4.1) c ( x , y )= y √ x2 +2 ' ∂c =( y ) ( √ x 2+ 2 ) + ( y )' ( √ x 2+ 2) ∂x

( √ x 2 +2 ) ∂c ¿ ¿')+ 0¿ =( y ) ( ∂x 2. √ x 2 +2 ∂c 2x =( y )( ) ∂y 2 . √ x 2 +2 ∂c yx =( y )( 2 ) ∂y √ x +2

4.2) c ( x , y )=15000+25000 ln ( xy +1 ) ∂c =15000+¿ ∂x ∂c =0+(25000) ¿ ∂x ∂c xy +1 ' =0+ 25000. +0 ∂x xy +1

(

)

∂c = (15000 )' +[2500. ln ⁡(xy +1)]' ∂y ' ∂c =0+ ( 2500 )' + [ ln ( xy+ 1 ) ] + ( 2500 )' [ln ⁡( xy +1)] ∂y

( xy +1 )' ∂c =2500. +0 ∂y xy+ 1

(

∂c x =2500. ∂y xy +1

(

)

)

DERVIDAS DE ORDEN SUPERIOR 1. 1.1) z=x +3 xy− y 2

Zx=1+ 3 y Zy=3 x−2 y



Zxx=0

; Zxy=3

Zyx=3

; Zyy=2



1.2) f ( t , s )=t 3−st 2−4 s2 t ft=3 t 2−2 st−4 s 2  fs=−t 2−8 st

ftt=6 t−2 s



fst=−2 t −8 s

; fts=−2t−8 s ; fss=−8t

1.3) g ( x , y )=ln ⁡(x 2 + y 2)

gx=

gy=

gxx=

2 ( x 2 + y 2 )−2 x (2 x) 2 ( x 2− y 2 ) ¿ 2 2 ( x ¿ ¿ 2+ y 2 ) ¿ ( x ¿ ¿ 2+ y 2) ¿

gxy=

−4 xy 0 ( x 2+ y 2) −2 x (2 y ) ¿ 2 2 2 ( x ¿ ¿ 2+ y 2) ¿ ( x ¿ ¿ 2+ y ) ¿

gyx=

−4 xy 0 ( x 2+ y 2 ) −2 y (2 x ) ¿ 2 2 ( x ¿ ¿ 2+ y 2) ¿ (x ¿ ¿ 2+ y 2 ) ¿

gyy=

2 ( x2 + y 2 )−2 y (2 y ) 2 ( x 2− y 2 ) ¿ 2 2 (x ¿ ¿ 2+ y 2) ¿ ( x ¿ ¿ 2+ y 2) ¿

2x x + y2 2

2x x + y2 2

2y 1.4) z= 1−x z=

−2 y 2 (1−x)

z=

2 1−x

1.5) z=

√

x y+ 2

Zxx= Zyx=

2y 3 (1−x )

−2 2 (1−x )

−2 ; Zxx=

3

(1−x )

; Zyy=0

1 x Zx= 1 y+ 2

−1 2

( )

y +2−x(0) .( ) ( y +2)2

−1 y +2 Zxx= ( )' 2 ( y +2 ) x

Zy=

−1 2

1 x 2 y +2

( )

.(

0 ( y +2 ) −x ) 2 ( y +2)

¿−

1

x y +2 x ¿ 2( y +2) 2( y +2) y +2

1 2 ( y +2 )

¿

√

¿

√

√

−( y +2) 1 ( ) 1 x ¿− 2 ( ) x2 y+ 2 2 y+ 2 4x x

(√ )

x . 2( y+ 2)

√

y +2 x

1 1 2 y +2 ( y+2 ) −2( y +2)( ) x x 2 √ y+ 2 x ¿− 2 ( y +2)2

y +2 −x x Zyy= ( ) 2 ( y +2)2

¿−

√

()

(

√

x 2

(

( y +2)2 .

√

fx=1/ x −1 x2

fxy=0

fxz=0

fy=2 y fyx=0 fz=

fyy=2 1 z2 fzy=0 fzz=

fzx=0

−2 z3

1.7) f (x , y )=xy e2 x '

fx= y ( x . e 2 x ) = y [ e 2 x + x ( 2 e 2 x ) ]= y e 2 x (1+2 x) '

fxx= y ( e 2 x (1+2) ) = y [ 2 e2 x (1+2 x) ( 2 e 2 x ) ]=4 y e2 x (1+ x) '

fxy= [ e2 x ( 1+2 x ) ] ( y ) =e 2 x (1+2 x )

)

x y +2 −4 x ( y+ 2)( √ ) y +2 x 2 2 x ( y +2)

1.6) f ( x , y , z )=lnx+ y 2−1/z

fxx=

√

)

fy=x e 2 . y ' =x e 2 x

fyx=e2 x + x ( 2 e2 x ) =e 2 x (1+2 x ) fyy=0

1.8)

g ( u , v )=−e3 uv 3 uv

gu=−e

'

. ( 3 uv ) =−3 v e

3uv

guu=−3 v (e ¿¿ 3uv )' =−3 v e3 uv (3 vv )' =−9 v 2 e 3 uv ¿ guv=−3(v . e¿¿ 3 uv)' =−3 ¿ ¿=−3 e 3 uv ( 1+ 3uv )

gv=−e

3 uv

'

. ( 3 uv ) =−3u e

3 uv

gvu=−3(v . e¿ ¿3 uv )=−3 [e

3 uv

+3 uv e

3uv

3 uv

]=−3 e

(1+3 uv) ¿

'

gvv=−3 v ( e3 uv ) =−3 v e 3 uv . ( 3 uv )=−9 v 2 e3 uv

2.) 2.1 f ( x , y )=x 2 Fy=0

Fyx=0

Fyx( 2,1)=0

2.2 z= y ( x +2)2 zy=( x +2)2

zyy =0

zyy (2,1)=0

x 3y 2.3 z= y e + y zy=e3 y +

x y2

zyx=

−1 −1 zyx (−1,1 )= 2 =−1 2 (1) y

xln( y 3−1) −2 x y 2 2.4 z= y +1 ln ⁡( y 3−1) zx= −2 y 2 zxx=0 zxx (1,2)=0 y +1

2.5 f ( x , y )=x e− y fx=e− y fxy=fyx=−e− y

fx (2,1 ) =−e−1=−0.37

2.6)

g ( x , y , z ) =xyz 2−x 2 yz gx=xz 2−x 2 z

gyy=0

gx=2 xyz−x 2 y

gzz=2 xy

gyx=gyx=z 2−2 xz

gyy ( 6,8,1 ) =0 gyy ( 1 ,−1,1 )=22−2 ( 1 )( 2 ) =4−4=0 gzz (1,2,0 )=2 (1 )( 2 )=4

2.7)

f ( x , y , z )=

fx=

e 2 y+3 x z

e 2 y+3 x ( ' 3 e 2 y+3 x 2 y +3 x ) = z z

fxx= fz=e fzx=

9 e 2 y+3 x 27 e 2 y+3 x fxx= z z 2 y+3 x

1 ' −e2 y+3 x = z z2

()

−3 e 2 y+3 x −9 e2 y +3 x fzxx= z2 z2

fxxx ( 2,1,−1 )=

27 e 2( 1)+3 (2 ) =−27 e 8=−80485.87 −1

fzxx ( 2,1,0033 )=

−9 e 2 (1)+3 ( 2) =−e 8=−2980.96 2 3

2.8) h ( s , t , u )=(s +2 t+3 u)4 ht=4 ( s +2 t +3 u )3 . ( s+ 2t +3 u )' =8(s+ 2t +3 u)3 htt =24 ( s +2 t+3 u )2 . ( s+2 t+ 3u )' =48( s+ 2t +3 u)2 htu=hut=24 ( s +2t +3 u )2 . ( s+2 t+3 u )' =72(s +2t +3 u)2

2

2

htt ( 1 ,−1,1 )=48 ( 1+ 2 (−1 ) +3 ( 1 ) ) =48 ( 2 ) =192 2

2

hut (1 ,−1,0)=72 ( 1+2 (−1 )+ 3 ( 0 ) ) =72 (−1 ) =72

REGLA DE LA CADENA 1.2) z=x 2 + xy− y 3 dz =2 x + y dx

dz =x+ 3 y 2 dy

x=r 2 −5 s dx =2r dr

dx =−5 dS



y=S 3

dy =3 S2 dS

dy =0 dS

∂z ∂z ∂ x ∂ z ∂ y = . + . ∂r ∂ x ∂r ∂ y ∂r ∂z =( 2 x+ y )( 2 r ) + ( x−3 y 2 ) .0 ∂r ∂z =2 r (2 x+ y) ∂x ∂z ∂z ∂ x ∂ z ∂ y = . + . ∂s ∂ x ∂s ∂ y ∂s ∂z =( 2 x+ y )(−5 )+ ( x−3 y 2 )( 3 S2 ) =−10 x−5 y+ 3 x s 2−9 y 2 s 2 ∂s ∂z =x ( 3 s 2−10 ) − y (5+9 y s 2) ∂s

1.3) f ( x , y )=√ x+ y 2 x=r 2 +t y =t−200 dt 1 dx dy = =2 r =1 2 dx 2 √ x+ y dr dt dt 2 y dx = =1 dx 2 √ x+ y 2 dt dt dt dx df dy = . + . dx dx dt dy dt df 1 2y ( 1 ) +( = )(1) 2 dt 2 √ x+ y 2 √ x + y2

( (

) )

df 1 2y = +( ) 2 dt 2 √ x+ y 2 √ x+ y 2

df 1+2 y = dt 2 √ x+ y 2

(

1.4)

)

w=e xyz ∂w ∂w ∂w = yz e xyz ; =xz e xyz ; =xy e xyz ∂x ∂y ∂z x=r + st ∂x ∂x =1 ; =5 ∂r ∂t y=2t 3 ∂y ∂y =6 t 2 ; =0 ∂t ∂r

∂z =−6 r ∂r z=1−3r 2 ∂z =0 ∂t

∂w ∂w ∂ x ∂w ∂ y ∂w ∂ z = . + . + . ∂ t ∂ x ∂t ∂ y ∂ t ∂ z ∂ t ¿ ( yz e xyz ) (5 )+ xz e xyz . ( 6 t z ) + xy e xyz .(0) ∂w =(5 y+ 6 x t 2) z e xyz ∂t ∂w ∂w ∂ x ∂w ∂ y ∂w ∂ z = . + . + . ∂ r ∂ x ∂t ∂ y ∂r ∂ z ∂r ∂w =( yz e xyz ) ( 1 )+ xz e xyz . ( 0 ) + xy e xyz .(−6 r ) ∂r ∂w =( z−6 xr ) y e xyz ∂r

∂y 2x 2x 1.5) y=e =¿> ∂ x =4 xe 2

2

x=r −3 t 2=¿>¿

∂x =1 ∂r

∂x =−6 t ∂t

∂ y ∂ y ∂x ( ∂y = . = 4 x e2 x ) ( 1 )=¿> ¿ 4 xe 2 x ∂ r ∂ x ∂r ∂r 2

2

∂ y ∂ y ∂x ( = . = 4 x e2 x ) (−6 t ) ∂t ∂ x ∂t 2

∂y =−24 xt e 2 x ∂t

1.6)

2

w=xy− yz−x 2 yz

∂w ∂w ∂w = y −2 xyz ; =x−z−x 2 z ; =− y −x2 y ∂x ∂y ∂z x=t−1 y=2t 3

∂x 2 =1 z=t +1 ∂t

∂y ∂z =6 t =2 t ∂t ∂t

∂w ∂w ∂ x ∂w ∂ y ∂w ∂ z = . + . + . ∂ t ∂ x ∂t ∂ y ∂ t ∂ z ∂ t ∂w =( y −2 xyz ) ( 1 )+ ( x−z−x 2 z ) ( 6 t )+(− y−x 2 y)(2 t) ∂t ¿ ( y−2 xyz ) +2 t+ [ 3 ( x−z− x2 z ) ]− y −x2 y ∂w = y −2 xyz +2 t (3 x − y−3 z−3 x 2−x 2 y ) ∂t

1.7) w=e x+ y

∂w =e x+ y ∂x

∂x =1 ∂r

∂w =e x+ y ∂y

∂y =1 ∂u

x=r +t y=u−2t ∂x =1 ∂t

∂y =−2 ∂t

∂z =1 ∂u z=u−2 r 2 ∂z =−4 r ∂r

∂w ∂w ∂ x ∂w ∂ y ∂w ∂ z = . + . + . ∂u ∂ x ∂ u ∂ y ∂r ∂ z ∂r

∂w =e x+ y ∂r ∂w ∂w ∂ x ∂w ∂ y ∂w ∂ z = . + . + . ∂ t ∂ x ∂t ∂ y ∂ t ∂ z ∂ t ¿ ( e x+ y ) (1 ) + ( e x+ y ) (−2 ) +( 0)(0) ¿ ¿ ( e x+ y ) (1 ) −2 e x+ y ∂w =−e x+ y ∂t

2). z=√ x 2+ 2 xy ∂z 2 x+ 2 y ∂z 2x = ; = ∂ x 2 √ x 2 +2 xy ∂ y 2 √ x 2+ 2 xy

x=r 2 −5 s y=2t 3 ∂x ∂y ∂y =2 r =6 t ; =0 ∂r ∂t ∂r

∂x =−5 ∂s

∂z ∂z ∂ x ∂ z ∂ y = . + . ∂ r ∂ x ∂ r ∂ r ∂r

∂z 2 x +2 y 2x ( 2 r )+ = (0) 2 ∂ r 2 √ x +2 xy 2 √ x 2 +2 xy

( (√

∂z 2 x +2 y = ∂ r 2 x 2+2 xy

) ( )

)

r =3=¿>

∂ z 6( x + y ) = ∂r √ x 2 +2 xy

3) y=x 2 ( 2 x−3 )=2 x3 −3 x 2 ∂y =6 x2−6 x=6 x( x−1) ∂x x=t 2−2 trs ∂x 2 ∂x ∂x =t −2 trs ; =−2 ts; =−2tr ∂t ∂r ∂s ∂ y ∂ y ∂x = . =[ 6 x ( x −1 ) ] [2 t−2 rs] ∂t ∂ x ∂t ∂y =6 x ( x−1 ) .2(t−rs) ∂t ∂y =12 x ( x−1)(t−rs) ∂t

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 1.1) f ( x , y )=8 x 2+ 2 y−ln ⁡(xy )

( xy )' ( xy )' ∂F 1 ∂F 1 =16 x− =16 x− =4 y =4 y− ∂x xy x ∂y xy y f ( x , y )=0 1 1 1 1 ¿ 16 x− =0 x=± 4 y− =0 y=± x 4 y 2

1 1.2) f ( x , y )=xy−2 x− 2 y 2 ∂F ∂F 1 = y−2 =x + 2 ∂x ∂x ey F ( x , y ) =0 y−2=0

x+ x=

y=2

1 =0 2 2y

−1 −1 −1 = = 2 2 8 2 y 2 ( 2)

1.5) f ( x , y , z )=xy− y ( z−3 )2=xy− y + z 2−6 z +9 ∂F =y ∂x

∂F ∂F =x−1 =2 z −6=2 z−6=0 ∂y ∂z

z=3

y=0 x −1=0=1

Rpta(1,0,3)

1.5) f ( x , y , z )=x 3− y 2 + z 2−3 x+ y−4 z+1 ∂F ∂F ∂F =3 x 2−3 =−2 y+1 =2 z−4 ∂x ∂y ∂z f ( x , y )=0 x 2−1=01−2 y =0 z−2=0 x=±

1 1 y= z=2 2 2

Rpta(1/2;1/2;2); (-1/2;1/2;2)