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• Vanessa Anabet Mamani Puraca

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio N° 1 Analice y grafique las funciones: a) f(x) = 10𝑒 𝑥 -para graficar esta función primero hallaremos los extremos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero: 𝑓´(𝑥) = 0 La primera derivada de f(x): 𝑓´(𝑥) = 10𝑒 𝑥 ∗ 1 𝑓´(𝑥) = 10𝑒 𝑥 Luego: 𝑓´(𝑥) = 0

𝑓´(𝑥) = 10𝑒 𝑥 = 0 10𝑒 𝑥 = 0 No es posible encontrar un valor real para “x”, por lo cual, la función f(x) no tiene extremos relativos. -Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero: 𝑓´´(𝑥) = 10𝑒 𝑥 ∗ 1

𝑓´´(𝑥) = 0

𝑓´´(𝑥) = 10𝑒 𝑥 = 0

Y con esto concluimos que no se puede encontrar un valor en el plano RxR entonces no posee un punto de inflexión. -podemos observar que el dominio de la función f(x) resulta que x pertenece al conjunto de los números reales. Por tanto: ∀𝑥 → 𝑓´(𝑥) > 0 𝑦 𝑓´´(𝑥) > 0

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA lim 𝑓(𝑥) = 0

𝑥→−∞

lim 𝑓(𝑥) = +∞

𝑥→+∞

Por lo tanto, tenemos:

𝑥2

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 -para graficar esta función primero hallaremos los extremos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero: 𝑓´(𝑥) = 0 La primera derivada de f(x): 𝑓´(𝑥) =

(2𝑥)(𝑥 − 1) − (𝑥 2 )(1) (𝑥 − 1)2

𝑓´(𝑥) =

𝑥(𝑥 − 2) (𝑥 − 1)2

Luego:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA 𝑓´(𝑥) = 0

𝑥(𝑥 − 2) =0 (𝑥 − 1)2 𝑥(𝑥 − 2) = 0 𝑥0 = 0 → 𝑓(𝑥) = 0

𝑦

𝑥1 = 2 → 𝑓(𝑥) = 4

Ya tenemos los extremos relativos si embargo no sabes en qué punto la función convexa o cóncava, para ello, evaluaremos la segunda derivada: 𝑓´´(𝑥) =

(2𝑥 − 2)(𝑥 − 1)2 − (𝑥 2 − 2𝑥)(2𝑥 − 2) (𝑥 − 1)4 𝑓´´(𝑥) =

2 (𝑥 − 1)3

Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero:

𝑓´´(𝑥) = 0 2 =0 (𝑥 − 1)3

Como podemos observar no se puede hallar el punto de inflexión, entonces evaluaremos la función para 𝑥0 y 𝑥1. Evaluando: 𝑓´´(0) =

2 = −2 𝑦 − 2 < 0; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 (0 − 1)3

𝑓´´(4) =

2 = 2 𝑦 2 > 0; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 (4 − 1)3

Entonces tenemos que: (0;0) es el punto del máximo relativo en la función f(x). (2;4) es el punto del mínimo relativo en la función f(x).

-Se advierte que la función es discontinua en 𝑥2 = 1, por lo tanto, podemos evaluar f´(x) y f´´(x) para valores distinto de 𝑥2 . Por tanto:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA ∀𝑥 < 𝑥0 → 𝑓´(𝑥) > 0 𝑦 𝑓´´(𝑥) < 0, entonces podemos afirmar que la función es cóncava y tiene pendiente positiva. Adicionando: lim 𝑓(𝑥) = −∞

𝑥→1−

lim 𝑓(𝑥) = −∞

𝑥→−∞

∀𝑥 > 𝑥0 → 𝑓´(𝑥) > 0 𝑦 𝑓´´(𝑥) > 0, entonces podemos afirmar que la función es convexa y tiene pendiente positiva. lim 𝑓(𝑥) = +∞

𝑥→1+

lim 𝑓(𝑥) = +∞

𝑥→+∞

El análisis anterior nos permite establecer el siguiente gráfico:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA c) f(x) = x − Ln(x) -para graficar esta función primero hallaremos los extremos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero: 𝑓´(𝑥) = 0 La primera derivada de f(x): 𝑓´(𝑥) = 1 − 𝑓´(𝑥) =

1 𝑥

𝑥−1 𝑥

Luego: 𝑓´(𝑥) = 0

𝑓´(𝑥) =

𝑥−1 =0 𝑥

𝑥−1 =0 𝑥 𝑥0 = 1 → 𝑓(𝑥) = 0 -Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero: 𝑓´´(𝑥) =

(1)(𝑥) − (𝑥 − 1)(1) 𝑥2 𝑓´´(𝑥) =

1 𝑥2

𝑓´´(𝑥) = 0

1 =0 𝑥

Y con esto concluimos que no posee un punto de inflexión. Evaluando 𝑥0 = 1 en la segunda derivada: 𝑓´´(1) =

1 = 1 𝑦1 < 0; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 (1)2

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA Entonces tenemos que: (1;1) es el punto del mínimo relativo en la función f(x). -Se advierte que x pertenece entonces podemos evaluar la función en 𝑥2 = 0 en f´(x) y f´´(x) para valores distinto de 𝑥2 . Por tanto: ∀𝑥 > 𝑥0 → 𝑓´(𝑥) > 0 𝑦 𝑓´´(𝑥) > 0, entonces podemos afirmar que la función es convexa y tiene pendiente positiva. Adicionando: lim 𝑓(𝑥) = +∞

𝑥→0+

lim 𝑓(𝑥) = +∞

𝑥→+∞

Con este análisis podemos graficar la función f(x):

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Ejercicio N° 2 Se tiene una cuerda para delimitar un terreno. Si el terreno ha de tener un perímetro de 49 metros, ¿cuál debe ser el largo y el ancho para que el área sea el máximo posible? X= ancho y Y= largo

2𝑝 = 2𝑥 + 2𝑦 49 =𝑥+𝑦 2 49 ( − 𝑥) = 𝑦 2

y

x

A max= YX 49

A max=(

2 49

A max= (

2

− 𝑥) (𝑥) Dom

𝑥 − 𝑥 2)

00 (−100)3

Podemos observar que para q=100 se logra minimizar el Costo Medio(CMe)

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Ejercicio N° 5 La empresa Cable TV tiene actualmente 2000 suscriptores que pagan una cuota mensual de S/ 350. Una encuesta revelo que tendrían 50 suscriptores más por cada S/ 5 de disminución en la cuota. ¿Cuál será la cuota mensual para que el ingreso de la empresa sea máximo y cuantos suscriptores se tendría? S=2000 Y C= 50 𝑑𝑠 50 = = −25 𝑑𝑐 −2 Primeramente, plantearemos una función para S= S=S(c) 𝑆(𝑐) = 𝑆0 − 25𝐶 (1) Por datos se conoce que: 𝑆(50) = 2000

(2)

Reemplazando: 2000 = 𝑆0 − 25 ∗ 50 3250 = 𝑆0

(3)

Remmplazaremos (3) en (1) 𝑆(𝑐) = 3250 − 25𝐶 El ingreso de la empresa es: 𝐼 = 𝐶𝑆 = 𝐶(3250 − 25𝐶) 𝐼 = (3250𝐶 − 25𝐶 2 ) Condición de primer orden : 𝐼´(𝑐) = 0 𝐼´(𝑐) = 3250 − 50𝑐0 3250 − 50𝑐0 = 0 𝑐0 = 65

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA El ingreso correspondiente a c es: 𝐼(𝑐0 ) = (3250 ∗ 65 − 25(65)2 ) 𝐼(𝑐0 ) = 105.625 Condición de segundo orden para maximizar los ingresos: 𝐼´´(𝑐) < 0

𝐼´´(𝑐) = −50 y -50 𝐼′ )

Donde S, Y, T, I y G significan ahorro, ingreso nacional, impuestos, inversión y gasto público respectivamente. Todas las derivadas son contínuas. a) Interprete los significados económicos de las derivadas S’, T’ e I’. Solución: 𝑆 ′ =Propensión Marginal a Ahorrar 𝑇 ′ =Tasa de impuesto Marginal a la Renta 𝑌 ′ =Propensión Marginal a invertir b) Compruebe si se satisfacen las condiciones del teorema de la función implícita, en caso afirmativo, escriba la identidad de equilibrio. -La condición de equilibrio exige: 𝑓(𝑌, 𝐺0 ) = 3𝑌 + 𝑇𝑌 − 𝐼(𝑌) − 𝐺0 = 0 -Encontramos que 𝑓 tiene derivada parcial 𝜕𝑓 = 𝑆 ′ + 𝑇 ′ + 𝐼′ ≠ 0 𝜕𝑦 -Concluimos que el teorema de la función implícita es aplicable, entonces la identidad de equilibrio es: 𝑆(𝑌 ∗ ) + 𝑇(𝑌 ∗ ) − 𝐼(𝑌 ∗ ) − 𝐺0 = 0 𝑑𝑌 ∗

c) Encuentre (𝑑𝐺 ) y explique sus implicaciones económicas. 0

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA 𝑑𝑌 ∗ −1 =− ′ 𝑑𝐺0 𝑆 + 𝑇 ′ − 𝐼′ 1 >0 𝑆 ′ + 𝑇 ′ − 𝐼′ -Al aumentar 𝐺0 aumentará el ingreso nacional de equilibrio

Ejercicio 9.3. 1. Encuentre las derivadas segunda y tercera de las siguientes funciones:

a) 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Primera derivada de 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏 Segunda derivada de 𝑓(𝑥) 𝑓 ′′ (𝑥) = 2𝑎 Tercera derivada de 𝑓(𝑥) 𝑓 ′′′ (𝑥) = 0 b) 𝒈(𝒙) = 𝟕𝒙𝟒 − 𝟑𝒙 − 𝟒 Primera derivada de 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥) = 28𝑥 3 − 3 Segunda derivada de 𝑔(𝑥) 𝑔′′ (𝑥) = 84𝑥 2 Tercera derivada de 𝑔(𝑥) 𝑔′ ′′(𝑥) = 168𝑥

3𝑥

c) ℎ(𝑥) = 1−𝑥

;

(𝑥 ≠ 1)

Primera derivada de ℎ(𝑥) ℎ′(𝑥) =

3 (1 − 𝑥)2

Segunda derivada de ℎ(𝑥)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA −6 (1 − 𝑥)3

ℎ′′ (𝑥) =

Tercera derivada de ℎ(𝑥) −18 (1 − 𝑥)4

ℎ′ ′′(𝑥) =

1+𝑥

d) j(x)=1−𝑥

;

(𝑥 ≠ 1)

Primera derivada de 𝑗(𝑥) 𝑗′(𝑥) =

2 (1 − 𝑥)2

Segunda derivada de 𝑗(𝑥) 𝑗′′(𝑥) =

4 (1 − 𝑥)3

Tercera derivada de 𝑗(𝑥) 𝑗′′′(𝑥) =

12 (1 − 𝑥)4

2. ¿Cuál de las siguientes funciones cuadráticas es estrictamente convexa? a) 𝑦 = 9𝑥 2 − 4𝑥 + 8 b) 𝑤 = −3𝑥 2 + 39 𝑤 ′ = −6𝑥 ′

𝑤 ′ = −6 ′

𝑤 ′ < 0 ; 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 c) 𝑢 = 9 − 2𝑥 2 𝑢′ = −4𝑥 ′

𝑢′ = −4 ′

𝑢′ < 0 ; 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎

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d) 𝑣 = 8 − 5𝑥 + 𝑥 2 𝑣 ′ = 2𝑥 − 5 𝑣′′ = 2 ′

𝑣 ′ > 0 ; 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎

3. Dibuje: a) una curva cóncava que no es estrictamente cóncavab) una curva que califica al mismo tiempo como curva cóncava y convexa.

Ejercicio 9.4 1. Halle los máximos y mínimos relativos de y mediante el criterio de la segunda derivada: a) 𝑦 = −2𝑥 2 + 8𝑥 + 25 𝑦 ′ = −4𝑥 + 8 −4𝑥 + 8 = 0 𝑥=2 -Reemplazando:

𝑦 ′′ = −4 −4 < 0 Existe un máximo relativo

a) 𝑦 = −2(2)2 + 8(2) + 25 𝑦 = 33 Existe un máximo relativo y absoluto b) 𝑦 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9 𝑦 ′ = 3𝑥 2 + 12𝑥 3𝑥 2 + 12𝑥 = 0 𝑥=0 𝑥1 = −4

𝑦 ′′ = 6(0) + 12 12 > 0 → 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑦 ′′ = 6(−4) + 12 −12 < 0 → 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

-Reemplazando: 𝑦 = (0)3 + 6(0)2 + 9 𝑦=9 𝑦 = (−4)3 + 6(−4)2 + 9

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA 𝑦=9

1

c) 𝑦 = 3 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 + 3 𝑦 ′′ = 2𝑥 − 6 𝑦 = 2(5) − 6 = 4 > 0 →existe un minimo ′′ (1) 𝑦 = 2(1) − 6 = −4 < 0 →existe un máximo

𝑦 ′ = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0 𝑥0 = 5 𝑥1 = 1 -Reemplazando:

′′ (5)

Para 𝑥0 = 5 1 𝑦 = (5)3 − 3(5)2 + 5(5) + 3 3 𝑦 = −5.33 -Existe un mínimo relativo en (5, −5.33) Para 𝑥1 = 1 1 𝑦 = (1)3 − 3(1)2 + 5(1) + 3 3 𝑦 = 5.33 -Existe un máximo relativo en (1,5.33)

2𝑥

d) 𝑦 = 1−2𝑥 ;

1

𝑥≠2

𝑦′ =

2(1 − 2𝑥) − 2𝑥(−2) (1 − 2𝑥)2

𝑦′ =

2 (1 − 2𝑥)2

𝑦′ = 0 2 =0 (1 − 2𝑥)2 -No se puede evaluar 𝑦 ′ = 0 para ningún valor de x -La función no tiene extremos relativos.

2. El señor Greenthumb desea cercar un campo de flores rectangular, usando una pared de su casa como un lado del rectángulo. Los otros tres lados se encerraran con malla

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA de alambre, de la cual tiene sólo 64pies disponibles. ¿Cuáles son la longitud L y el ancho W del rectángulo con el cual obtendría el área de plantación más grande posible? ¿Cómo se asegura de que su respuesta sea el área más grande y no la más pequeña? Solución: 𝑊 = 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜

𝑤

𝐿 = 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 2𝑝 = 64 -Los otros tres lados deben satisfacer: 𝐿

L+2W=64 𝐴𝑚𝑎𝑥 = 𝑊𝐿 𝐴𝑚𝑎𝑥 = 𝑊(64 − 2𝑊) 𝐴𝑚𝑎𝑥 = 64𝑊 − 2𝑊 2 Se advierte que: 𝐷𝑜𝑚𝐴 =< 0,32 > Para maximizar 𝐴 es necesario 𝑑𝐴 𝑑𝑊

(64 − 4𝑊) = 0

;

Lo cual ocurre sólo cuando 𝑊 = 16 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑊 = 16 𝑝𝑖𝑒𝑠 L+2W=64 L=64 − 2𝑊 L=32 pies 𝐴𝑚𝑎𝑥 = 𝑊𝐿 𝐴𝑚𝑎𝑥 = 512 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 -Sabiendo que 𝐴′′𝑚𝑎𝑥 = −4 es negativo no es un máximo

3. Una empresa tiene las siguientes funciones de costo total y demanda: 1 𝐶 = 𝑄 3 − 7𝑄 2 + 111𝑄 + 50 3 𝑄 = 𝑄100 − 𝑃 a) ¿La función de costo total satisface las restricciones de coeficientes de (9.5)?

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO- INGENIERÍA ECONÓMICA Restricciones de coeficientes: 𝑄. 𝑐. 𝑑 > 0

;

𝑏 0 1 , 111,50 > 0 → 𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 3 𝑏