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UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO PUERTO COLOMBIA INGENIERIA ELECTROMECANICA

MATERIA CALCULO MULTIVARIADO

TEMA GUIA # 5 EJERCICIOS DERIVADAS PARCIALES PROFESOR BENJAMIN ALBOR

ESTUDIANTE RODOLFO ORTEGA CAÑIZARES

PUERTO COLOMBIA – ATLANTICO

2015

1. Una corporación farmacéutica tiene dos plantas que producen la misma medicina. Si x1 y x2 son los números de unidades producidos en la planta 1 y en la planta2, respectivamente, entonces el ingreso total del producto está dado por

R=200 x 1 +200 x 2 −4 x 21 −8 x 1 x 2 −4 x 22

. Cuando x1=4 y x2=12,

Encontrar: a)

el ingreso marginal para la planta 1 , ∂ R /∂ x1 . ∂R ∂

x

(200 x 1 +200 x 2 −4 x 21 −8 x 1 x 2 −4 x 22 )= 1

∂R

=

x

∂

( 200 x 1 ) +

∂R ∂

1

x

( 200 x 2 ) −

∂R ∂

1

x

∂R

( 4 x 21 ) .− 1

∂

x

( 8 x 1 x 2 ) .− 1

∂R ∂

x

( 4 x 22 )= 1

'

R =200−8 x −8 x = 1

2

Simplificamos y nos queda: '

R = 8 ( x − x +25 ) 1

, entonces el costo marginal cuando x 1=4 y x2=12, es:

2

'

R =8 ( 4−12+25 )

=136

'

R =136 b) el ingreso marginal para la planta 2 , ∂ R /∂ x 2

.

∂R 200 x 1 +200 x 2 −4 x 21 −8 x 1 x 2−4 x 22 )= ( ∂ x2 ∂R ∂R ∂R 2 ∂R ∂R = 200 x1 ) + ( 200 x 2 )− 4 x 1 ) .− 8 x 1 x 2 ) .− ( 4 x 22 )= ( ( ( ∂ x2 ∂ x2 ∂ x2 ∂ x2 ∂ x2 '

R =200−8 x−8 x = 2

Simplificamos y nos queda: '

R =−8 ( x + x −25 ) 1

2

, entonces el costo marginal cuando x 1=4 y x2=12, es:

'

R =−8 ( 4+ 12−25 ) '

R =−72

=-72

1. Una empresa fabrica dos tipos de estufas de combustión de madera: el modelo autoestable y el modelo para inserción en una chimenea. La función de costo para producir x estufas auto-estables y de inserción en una chimenea es:

C=32 √ xy+175 x+205 y+1050

.

a) Calcular los costos marginales ∂C /∂ x

y ∂C /∂ y cuando x=80 y y=20.

∂C ( 32 √ xy +175 x+205 y +1050 ) = ∂x =

∂C ∂C ∂C ∂C ( 32 √ xy ) + ( 175 x )+ (205 y ) + 1050 ∂x ∂x ∂x ∂x = '

C = ∂C ∂ x ( 32 √ xy )+ 175+ 0+0

, aplicamos regla de la cadena , donde

df ( u) df du = ∗ dx du dx ;

u=xy

; reemplazamos en la ecuación y sacamos la constante;

'

du C =32 ∂C ∂ x ( √ u ) dx ( xy )+175

C

'

∂C =32 ∂ x

= aplicamos regla de la potencia;

1

(u ) y ∂∂Cx ( x ) +175 2

=

'

C =32( 2 1√u ) y +175

=

Simplificamos y sustituimos

u=xy

en la ecuación ;

'

C =16√ xyy +175 C=

, entonces el costo marginal cuando x=80 y y=20, es:

16∗20 +175= √(80)(20 ) 183.

C=183 .

b)

∂C ( 32 √ xy+175 x+205 y +1050 ) = ∂y ∂C ∂C ∂C ∂C = ( 32 √ xy ) + ( 175 x )+ (205 y ) + 1050 ∂y ∂y ∂y ∂y = '

C = ∂C ∂ y ( 32 √ xy )+0+205+0

, aplicamos regla de la cadena , donde

df (u) df du = ∗ dy du dy ;

u=xy

; reemplazamos en la ecuación y sacamos la constante;

'

du ( ) C =32 ∂C u √ ∂y dy ( xy )+ 205

C

'

∂C =32 ∂ y

1

(u ) 2

= aplicamos regla de la potencia;

∂C x ∂ y ( y ) +205 =

'

C =32( 2 1√u ) x +205

=

Simplificamos y sustituimos

u=xy

en la ecuación ;

'

C =16√ xyx +205 C=

, entonces el costo marginal cuando x=80 y y=20, es:

16∗80 +205= (80)(20 ) √ 237

C=237 .

2. Recientemente en el siglo XX se desarrolló una prueba de inteligencia llamada la prueba de Satanford-Binet (más conocida como la prueba IQ). En esta prueba, una edad mental individual M es dividida entre la edad cronológica individual C, y el cociente es multiplicado por 100. El resultado es el IQ individual.

IQ( M ,C )=

M x 100 C

Encontrar las derivadas parciales de IQ con respecto a M y con respecto a C. Evaluar las derivadas parciales en el punto (12,10) e interpretar el resultado.

a)

∂ IQ M ( M ,C )= 100 ∂M C ∂ IQ 1 ( M ,C )= 100 ∂M C ∂ IQ 100 ( M ,C )= ∂M C ,

b)

∂ IQ 1 ( M ,C )= ∗M∗100 ∂C C ∂ IQ ( M ,C )= ∂C

C

−1

∗M ∗100

C

−2

∂ IQ ( M ,C )=M ∗100 ∂C −2 ∂ IQ M ( M ,C )=− ∗100 2 ∂C

C

c)

.

∂ IQ 100 ( M ,C )= =10 ∂M 10 ∂ IQ 12 ( M ,C )=− ∂C

10

2

∗100=−

12 ∗100=12 100

Podemos ver que en el punto (12,10), la inteligencia indivual es menor en la derivada parcial con respecto a M ,que en la derivada parcial con respecto a C.

En los ejercicios 4 a 7, mostrar que las derivadas parciales mixtas 3.

f (x , y , z )=xyz

a)

f ´( x , y , y )= yz f ´´( x , y , y )=z f ´´´( x , y , y )=0 .

b)

f (x , y , z )=xyz f ´( y , x , y )=xz f ´´( y , x , y )=z f ´´´( y , x , y )=0.

c)

f (x , y , z )=xyz f ´( y , y , x )=xz f ´´( y , y , x )=0 f ´´´( y , y , x )=0.

4. a)

b)

f (x , y ,z)=x2 −3 xy+4 yz+ z3 f ´( x , y, y )=2x−3 y f ´´( x, y , y )=−3 . f ´´´( x , y , y)=0. f (x , y ,z)=x2 −3 xy+4 yz+ z3 f ' ( y, x , y )=−3 x+4 z f ´´( y ,x , y )=−3 . f ´´´( y ,x , y)=0. 2

c)

3

f (x , y ,z)=x −3 xy+4 yz+ z f ´( y , y ,x )=−3 x+4 z

f xyy ,f yxy ,f yyx

son iguales.

f ´´( y , y , x)=0 . f ´´´( y , y, x)=0.

5.

f (x , y ,z)=e−x Sen( yz)

a)

f ´(x , y, y )=Sen( yz) ∂ e−x ∂x

, tratamos

y ,

z

como constantes,

,aplicamos regla de la cadena ,donde

df ( u) df du = ∗ dx du dx u=− x

d f ´( x , y, y )=Sen( yz) e u ∂ (−x)= du ∂ x u f ´( x , y, y )=Sen ( yz ) e (−1 )= Sustituimos u=− x −x

en la ecuación,

f ´( x , y, y )=−e Sen( yz ). −x f ´´( x, y , y )=−e Sen( yz ).

, tratamos

f ´´(x, y , y )=−e−x ∂ Sen( yz) ∂y

x ,

z

como constantes,

, aplicamos regla de la cadena , donde

df (u) df du = ∗ dy du dy ; u= yz

d Sen(u) ∂ ( yz )= du ∂x −x f ´´( x, y , y )=−e cos ( u )( z )= f ´´( x, y , y )=−e− x

Sustituimos

u= yz

en la ecuación,

−x

f ´´( x, y , y )=−e cos ( yz ) z=

.

−x

f ´´´( x , y , y)=−e cos ( yz ) z=

, tratamos

x ,

z

como constantes,

f ´´´(x , y , y)=−e−x z ∂ cos( yz) ∂y

, aplicamos regla de la cadena , donde

df (u) df du = ∗ dy du dy ; u= yz

d f ´´´( x , y , y)=−e−x z cos(u) ∂ ( yz)= du ∂y −x f ´´´( x , y , y)=−e z(−sen ( u ) )z= Sustituimos

u= yz

en la ecuación,

−x

f ´´´( x , y , y)=−e z(−sen ( yz ) ) z=

.

2

f ´´´( x , y , y )=e−x

z sen ( yz )

.

−x

f (x , y ,z)=e Sen( yz) b)

, tratamos

f ´( y , x, y )=e−x ∂ Sen( yz ) ∂y

x , z

como constantes,

,aplicamos regla de la cadena ,donde

df ( u) df du = ∗ dx du dx u= yz

f ´( y , x, y )=e−x ∂ Sen(u) ∂ ( yz ) ∂y ∂y f ´( y , x, y)=e−x ∂ cos(u)z ∂y Sustituimos

u= yz

en la ecuación,

−x

f ´( y , x, y )=e cos( yz) z. −x f ´´( y ,x , y )=e cos( yz )z.

, tratamos

f ´´( y ,x , y )=cos( yz)z ∂ e−x ∂x

z

como constantes,

, aplicamos regla de la cadena , donde

df ( u) df du = ∗ dx du dx ; u=− x

f ´´( y ,x , y )=cos( yz)z ∂ e u ∂ (−x ) ∂x ∂x u f ´´( y ,x , y )=cos ( yz ) ze (−1 )

y ,

Sustituimos

u=− x

en la ecuación,

−x

f ´´( y ,x , y )=−e zcos ( yz ) =

.

−x

f ´´´( y ,x , y)=−e z cos ( yz )=

, tratamos

f ´´´( y ,x , y)=−e−x z ∂ cos( yz) ∂y

x ,

z

como constantes,

, aplicamos regla de la cadena , donde

df (u) df du = ∗ dy du dy ; u= yz

d f ´´´( y ,x , y)=−e−x z cos(u) ∂ ( yz) du ∂y −x f ´´´( y ,x , y)=−e z(−sen ( u ) )z= Sustituimos

f ´´´( y ,x , y)=−e−x z(−sen ( yz ) ) z=

u= yz

en la ecuación,

.

2

f ´´´( y , x , y )=e−x

z sen ( yz )

.

−x

f (x , y ,z)=e Sen( yz) c)

, tratamos

f ´( y , y ,x )=e−x ∂ Sen( yz ) ∂y

x , z

como constantes,

,aplicamos regla de la cadena ,donde

df ( u) df du = ∗ dx du dx u= yz

f ´( y , y ,x )=e−x ∂ Sen(u) ∂ ( yz ) ∂y ∂y f ´( y , y ,x )=e−x cos(u)z Sustituimos

u= yz

en la ecuación,

−x

f ´( y , y ,x )=e cos( yz) z. −x f ´( y , y ,x )=e cos( yz) z.

, tratamos

f ´´( y , y , x)=e−x z ∂ cos( yz) ∂y df ( u) df du = ∗ dx du dx ; u= yz

x ,

z

como constantes,

, aplicamos regla de la cadena , donde

f ´´( y , y , x)=e−x z ∂ cos(u) ∂ ( yz ) ∂y ∂y f ´´( y , y , x)=e−x z(−sen ( u ) z ) Sustituimos

u= yz

en la ecuación, 2

f ´´( y , y , x )=e− x

z (−sen ( yz ) ) . z (−sen ( yz ) ) , tratamos 2

−x

f ´´´( y , y , x )=e

y ,

z

como constantes,

2

f ´´´( y , y, x)=(−sen( yz) df ( u) df du = ∗ dx du dx ;

z ) ∂∂x e

−x

, aplicamos regla de la cadena , donde

u=− x 2

f ´´´( y , y, x)=(−sen( yz)

z ) ∂∂x e ∂∂x (−x ) u

2

z ) e (−1 ) f ´´´( y , y , x )=(−sen ( yz ) z )e (−1 ) f ´´´( y , y , x )=e z sen ( yz ) . u

f ´´´( y , y , x )=(−sen ( yz )

Sustituimos

u= yz

en la ecuación,

2

−x

.

2

−x

f (x , y ,z)= 6.

2z x+ y

2z f ´( x , y, y )= ∂ ∂ x x+ y , tratamos y y z como constantes. a) 1 f ´( x , y, y )=2z ∂ ∂ x x+ y ,aplicamos regla del cociente

( ) ( )

f ´ f ´∗g− g ´∗f = g g2

()

f ´( x , y , y )=2 z

,

( 0)( x+ y )−(1) ( 1 )

( ( x+ y ) ) 2

=

f ´( x , y, y )=−

2z

( x+ y )

f ´´( x , y , y )=−

2

.

2z 2

( x+ y )

f ´´( x, y , y )=−2 z ∂ ∂y

,tomamos a x y z como constantes,

1

(( x+ y ) ) 2

aplicamos regla del cociente

f ´ f ´∗g− g´∗f = g g2

()

f ´´( x, y , y )=−2 z

(

2

∂ −∂ y

2

( x + y ) ∗1 2 2

( ( x+ y ) )

f ´´( x , y , y )=−2 z

f ´´( x, y , y )=−2 z

( x+ y )

∂ (1) ∂y

(

2

0

( x+ y ) −2( x + y )∗1 2 ( ( x+ y ) ) 2

−2 ( x+ y )

)

) −2

( ( x+ y ) ) (( x+ y ) ) =−2 z

4

3

=

f ´´( x, y , y )=

4z

( x+ y )

f ´´´( x , y , y)=

3

4z 3

( x+ y )

f ´´´( x , y , y)=4 z ∂ ∂y

, tomamos a x y z como constantes.

1

(( x+ y ) ) 3

aplicamos regla del cociente

f ´ f ´∗g− g´∗f = g g2

()

(

f ´´´( x , y , y )=−4 z

∂ (1) ∂y

(x+ y)

3

∂ −∂ y

3

( x+ y ) ∗1 3 2

( ( x+ y ) ) 3

f ´´´( x , y , y )=−4 z

)

2

( x+ y ) −3 ( x+ y ) ∗1 ( x+ y )

( ) ( ( x+ y ) ) (( x+ y ) ) 0

5

−3 ( x+ y )

f ´´´( x , y , y)=−4 z

1

=12 z

4

4

=

f ´´´( x , y , y )=

f (x , y ,z)= b)

12 z

( x+ y )

4

2z x+ y

2z f ´( y , x, y )= ∂ ∂ y x+ y

( ) 1 f ´( y , x, y )=2z ∂ ( ) ∂ y x+ y

, tratamos

f ´ f ´∗g− g ´∗f = g g2

()

f ´( y , x, y )=2 z

f ´( y , x, y )=−

x y

z

como constantes.

,aplicamos regla del cociente

,

( 0)( x + y)−(1) ( 1 )

( ( x+ y ) ) 2

=

2z

( x+ y )

f ´´( y ,x , y )=−

2

.

2z 2

( x+ y )

,tomamos a y y z como constantes,

f ´´( y ,x , y )=−2 z ∂ ∂x

1

( ( x+ y ) ) 2

aplicamos regla del cociente

f ´ f ´∗g− g´∗f = g g2

()

f ´´( y , x , y )=−2 z

(

2

( x+ y )

∂ (1) ∂x

∂ −∂x

2

( x+ y ) ∗1 2 2

( ( x+ y ) ) 2

0 ( x+ y ) −2 ( x + y )∗1 f ´´( y , x , y )=−2 z 2 (( x+ y ) )

(

f ´´( y ,x , y )=−2 z

2

−2 ( x+ y )

)

) −2

( ( x+ y ) ) (( x+ y ) ) =−2 z

4

3

=

f ´´( y , x , y )=

4z

( x+ y )

f ´´´( y , x , y)=

3

.

4z 3

( x+ y )

f ´´´( y ,x , y)=4 z ∂ ∂y

f ´´´( y , x , y )=−4 z

f ´´´( y , x , y )=−4 z

, tomamos a x y z como constantes.

1

(( x+ y ) ) 3

(

∂ (1) ∂y

(

0

aplicamos regla del cociente 3

3

( x + y ) − ∂∂y ( x+ y ) ∗1 3 2

( ( x+ y ) ) 3

2

( x+ y ) −3 ( x+ y ) ∗1 ( x+ y ) 5

)

)

f ´ f ´∗g− g´∗f = g g2

()

f ´´´( y ,x , y)=−4 z

−3 ( x+ y )

1

( ( x+ y ) ) (( x+ y ) ) =12 z

4

4

=

f ´´´( y ,x , y )=

f (x , y ,z)= c)

12 z

( x+ y )

4

.

2z x+ y

2z f ´( y , y ,x )= ∂ ∂ y x+ y

( ) 1 f ´( y , y ,x )=2z ∂ ( ) ∂ y x+ y

, tratamos

f ´ f ´∗g− g ´∗f = g g2

()

f ´( y , y , x )=2 z

f ´( y , y , x )=−

z

como constantes.

,aplicamos regla del cociente

,

( 0)( x + y)−(1) ( 1 )

( ( x+ y ) ) 2

=

2z

( x+ y )

f ´´( y , y , x )=−

2

.

2z 2

( x+ y )

f ´´( y , y , x)=−2 z ∂ ∂y f ´ f ´∗g− g´∗f = g g2

()

x y

,tomamos a x y z como constantes,

1

(( x+ y ) ) 2

aplicamos regla del cociente

f ´´( y , y , x )=−2 z

(

2

∂ −∂ y

2

( x + y ) ∗1 2 2

( ( x+ y ) )

f ´´( y , y , x )=−2 z

f ´´( y , y , x)=−2 z

( x+ y )

∂ (1) ∂y

(

2

0

( x+ y ) −2( x + y )∗1 2 ( ( x+ y ) ) 2

−2 ( x+ y )

)

) −2

( ( x+ y ) ) (( x+ y ) ) =−2 z

4

3

=

f ´´( y , y , x)=

4z

( x+ y )

f ´´´( y , y, x)=

3

.

4z 3

( x+ y )

f ´´´( y , y, x)=4 z ∂ ∂x

f ´´( y , y , x )=−4 z

(

, tomamos a y y z como constantes.

1

( ( x+ y ) ) 3

∂ (1 ) ∂x

aplicamos regla del cociente 3

( x+ y )

∂ −∂x

3

( x+ y ) ∗1 3 2

( ( x+ y ) ) 3

2

0 ( x+ y ) −3 ( x+ y ) ∗1 f ´´´( y , y , x )=−4 z ( x+ y )

)

( ) ( ( x+ y ) ) (( x+ y ) ) 5

f ´´´( y , y, x)=−4 z

−3 ( x+ y )

=12 z

4

=

f ´´´( y , y , x )=

12 z

( x+ y )

4

.

1

4

f ´ f ´∗g− g´∗f = g g2

()