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• Xavyp Quezada

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Ejercicios de aplicaciones. 1. Se golpea con un martillo una masa estacionaria 𝒎 = 𝟏𝟎𝒌𝒈 que reposa encima de un resorte lineal (cuya constante del resorte es 𝒌 = 𝟎, 𝟏𝑵/𝒎) en el tiempo 𝒕 = 𝟎, con un impulso de 𝟓𝑵, como se muestra la figura. Determine la función que describe el movimiento de la masa, sabiendo que antes del martillazo el sistema estaba en reposo.

(8 puntos)) Analizando el cuerpo en el punto de equilibrio estático, donde las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la gravitacional y la ejercida por el resorte. Analizando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo a lo largo del eje vertical. 𝛴𝐹 = 0 𝑊 − 𝐹𝑟 = 0 Se debe tomar en cuenta que debido a la masa el resorte se comprime. Sin pérdida de generalidad consideraremos que el resorte se comprime una longitud 𝐿. Así, 𝑚𝑔 − 𝑘𝐿 = 0 Ahora analizando la masa en movimiento: 𝛴𝐹 = 𝑚 𝑎 Cuando la masa está en movimiento, la masa se ve afectada por la acción de la gravedad y el resorte. Asumiendo que las fuerzas que actúan hacia abajo son positivas, entonces: 𝛴𝐹 = 𝑚 𝑎 𝑊 − 𝐹𝑟 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚 𝑎 𝑚𝑔 − 𝑘(𝐿 + 𝑥) + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎 Aplicando la propiedad distributiva: 𝑚𝑔 − 𝑘𝐿 − 𝑘𝑥 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎

Tomando el hecho reconocido en el análisis de la masa en equilibrio: 𝑚𝑔 − 𝑘𝐿 = 0, tenemos: −𝑘𝑥 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎 Recordado que la aceleración es la segunda derivada de la posición:

−𝑘𝑥 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑥′′ 𝑚𝑥′′ + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 La referencia positiva se tomó hacia abajo por la orientación de la fuerza externa, entonces la fuerza externa es: 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 5 𝛿(𝑡 − 0) Por lo tanto, la ecuación que describe el movimiento es: 10𝑥′′ + 0,1𝑥 = 5 𝛿(𝑡) Aplicando la transformada de Laplace: ℒ{ 10𝑥′′ + 0,1𝑥} = ℒ{5 𝛿(𝑡)} Para utilizar la transformada de Laplace se necesitan las condiciones iniciales, para identificar las condiciones iniciales el ejercicio indica que la masa parte de su posición de equilibrio en reposo, por lo que: 𝑥(0) = 0, 𝑥′(0) = 0 Así, ℒ{ 10𝑥′′ + 0,1𝑥} = ℒ{5 𝛿(𝑡)} 2 10[𝑠 𝑋(𝑠) − 𝑠𝑥 ′ (0) − 𝑥(0)] + 0,1𝑋(𝑠) = 5 Usando las condiciones iniciales, tenemos: 10𝑠 2 𝑋(𝑠) + 0,1𝑋(𝑠) = 5 Factorizando 𝑋(𝑠): 𝑋(𝑠)(10𝑠 2 + 0,1) = 5 Despejando 𝑋(𝑠): 5 𝑋(𝑠) = 2 10𝑠 + 0,1 0,1 𝑋(𝑠) = 5 2 𝑠 + 0,01 Y aplicando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la posición de la masa en función del tiempo: 𝑥(𝑡) = 5 sen(0,1𝑡)

2. Una masa de 𝟎. 𝟓 𝒌𝒈 se encuentra en reposo en su punto de equilibrio. El movimiento empieza debido a un golpe de 𝟓 𝑵 paralelo al plano inclinado hacia la derecha. Una fuerza externa 𝑭(𝒕) = 𝟑𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒕) actúa sobre la masa en 𝒕 ∈ [𝝅, 𝟑𝝅). Determine la constante equivalente para los resortes y la posición para cualquier instante a lo largo del plano inclinado. Las constantes de los resortes son 𝟏𝑵/𝒎 mientras que la constante de amortiguación es 𝟐 𝑵 ∙ 𝒔/𝒎.

Analizando el cuerpo en el punto de equilibrio estático, donde las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la gravitacional y la ejercida por los resortes. Analizando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo a lo largo del plano inclinado.

𝛴𝐹 = 0 𝑊sin(𝜃) − 𝐹𝑟1 − 𝐹𝑟2 = 0 Se debe tomar en cuenta que debido a la masa los resortes se estiran. El resorte inferior se comprime debido al peso de la masa, mientras que el resorte superior se estira. Ambos resortes se estiran la misma longitud. Así, 𝑚𝑔sin(𝜃) − 𝑘1 𝐿 − 𝑘2 𝐿 = 0 𝑚𝑔sin(𝜃) = 𝑘1 𝐿 + 𝑘2 𝐿 = 𝐿(𝑘1 + 𝑘2 ) Ahora analizando la masa en movimiento: 𝛴𝐹 = 𝑚 𝑎 Cuando la masa está en movimiento, la masa se ve afectada por la acción de la gravedad (hacia la izquierda), los resortes (que empujan y halan hacia la derecha) y el amortiguador (que, oponiéndose al movimiento, va conteniendo a la masa tirando de ella hacia la izquierda). Asumiendo que las fuerzas que actúan hacia la derecha (y todo el lado derecho del sistema de referencia) son positivas, entonces: 𝛴𝐹 = 𝑚 𝑎 −𝑊sin(𝜃) + 𝐹𝑟1 + 𝐹𝑟2 − 𝐹𝑐 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚 𝑎 −𝑚𝑔sin(𝜃) + 𝑘1 (𝐿 − 𝑥) + 𝑘2 (𝐿 − 𝑥) − 𝑐𝑣 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎 Simplificando −𝑚𝑔sin(𝜃) + 𝑘1 𝐿 + 𝑘2 por ser igual a 0, según el análisis en equilibrio, queda: −𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥 − 𝑐𝑣 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎 Recordado que la velocidad y la aceleración son la primera y segunda derivada de la posición respectivamente: −𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥 − 𝑐𝑥′ − 𝑚𝑥′′ = −𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑚𝑥′′ + 𝑐𝑥′ + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 La referencia se tomó hacia la derecha por lo que las fuerzas externas son: 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 5 𝛿(𝑡 − 0) − 3 sin(2𝑡) [𝜇𝜋 (𝑡) − 𝜇3𝜋 (𝑡)] 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 5 𝛿(𝑡) − 3𝜇𝜋 (𝑡) sin(2𝑡) + 3𝜇3𝜋 (𝑡) sin(2𝑡) Por lo tanto, la ecuación que describe el movimiento es: 𝑚𝑥 ′′ + 𝑐𝑥 ′ + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥 = 5 𝛿(𝑡) − 3𝜇𝜋 (𝑡) sin(2𝑡) + 3𝜇3𝜋 (𝑡) sin(2𝑡) Aplicando la transformada de Laplace: ℒ{ 𝑚𝑥 ′′ + 𝑐𝑥 ′ + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥} = ℒ{5 𝛿(𝑡) − 3𝜇𝜋 (𝑡) sin(2𝑡) + 3𝜇3𝜋 (𝑡) sin(2𝑡)} Para utilizar la transformada de Laplace se necesitan las condiciones iniciales, para identificar las condiciones iniciales el ejercicio indica que la masa parte de su posición de equilibrio en reposo, por lo que: 𝑥(0) = 0, 𝑥′(0) = 0 Así, ℒ{ 𝑚𝑥 ′′ + 𝑐𝑥 ′ + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥} = ℒ{5 𝛿(𝑡) − 3𝜇𝜋 (𝑡) sin(2𝑡) + 3𝜇3𝜋 (𝑡) sin(2𝑡)} 𝑚𝑠 2 𝑋(𝑠) + 𝑐𝑠𝑋(𝑠) + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑋(𝑠) = 5 − 3𝑒 −𝜋𝑠 ℒ{sin(2(𝑡 + 𝜋))} + 3𝑒 −3𝜋𝑠 ℒ{sin(2(𝑡 + 3𝜋))} 𝑚𝑠 2 𝑋(𝑠) + 𝑐𝑠𝑋(𝑠) + (𝑘1 + 𝑘2)𝑋(𝑠) = 5 − 3𝑒 −𝜋𝑠 ℒ{sin(2𝑡)} + 3𝑒 −3𝜋𝑠 ℒ{sin(2𝑡)}

1 2 2 𝑋(𝑠) ( 𝑠 2 + 2𝑠 + 2) = 5 − 3𝑒 −𝜋𝑠 2 + 3𝑒 −3𝜋𝑠 2 2 𝑠 +4 𝑠 +4 1 6𝑒 −𝜋𝑠 6𝑒 −3𝜋𝑠 𝑋(𝑠) ( (𝑠 + 2)2 ) = 5 − 2 + 2 𝑠 + 4 𝑠2 + 4 5− 𝑋(𝑠) =

6𝑒 −𝜋𝑠 6𝑒 −3𝜋𝑠 + 𝑠2 + 4 𝑠2 + 4 1 2 (𝑠 2 + 2)

Tomando la transformada inversa de cada término: Primer término: ℒ −1 {𝐺(𝑠)} = ℒ −1 {

5 1 = 10𝑒 −2𝑡 𝑡 } = 10ℒ −1 { 2} 1 (𝑠 + 2) 2 (𝑠 2 + 2)

Segundo término: 6𝑒 −𝜋𝑠 2 𝑒 −𝜋𝑠 ℒ −1 {𝐻(𝑠)} = ℒ −1 { 𝑠 + 4 } = 12ℒ −1 { } 1 (𝑠 + 2)2 (𝑠 2 + 4) (𝑠 + 2)2 2 ℒ −1 {𝐻(𝑠)} = 12𝜇𝜋 (𝑡) ℒ −1 {

1 (𝑠 +

2)2 (𝑠 2

}| + 4) 𝑡=𝑡−𝜋

Utilizando fracciones parciales: 1 (𝑠 +

2)2 (𝑠 2

+ 4)

=

𝐴 𝐵 𝐶𝑠 + 𝐷 + + 2 2 𝑠 + 2 (𝑠 + 2) 𝑠 +4

1 = 𝐴(𝑠 + 2)(𝑠 2 + 4 ) + 𝐵(𝑠 2 + 4) + (𝐶𝑠 + 𝐷)(𝑠 2 + 4𝑠 + 4) Igualando los coeficientes: 𝑠 0 : 1 = 8𝐴 + 4𝐵 + 0𝐶 + 4𝐷 𝑠: 0 = 4𝐴 + 0𝐵 + 4𝐶 + 4𝐷 𝑠 2 : 0 = 2𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 + 𝐷 𝑠 3 : 0 = 𝐴 + 0𝐵 + 𝐶 + 0𝐷 Donde los coeficientes son: 1 16 1 𝐵= 8 1 𝐶=− 16 𝐴=

𝐷=0 ℒ −1 {

𝐴 𝐵 𝐶𝑠 + 𝐷 𝐷 + + 2 } = 𝐴𝑒 −2𝑡 + 𝐵𝑡𝑒 −2𝑡 + 𝐶𝑐𝑜𝑠(2𝑡) + 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 2 𝑠 + 2 (𝑠 + 2) 𝑠 +4 2 1 1 1 ℒ −1 {𝐻(𝑠)} = 12𝜇𝜋 (𝑡) ( 𝑒 −2𝑡 + 𝑡𝑒 −2𝑡 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑡))| 16 8 16 𝑡=𝑡−𝜋

Tercer término: 6𝑒 −3𝜋𝑠 2 𝑒 −3𝜋𝑠 ℒ −1 {𝐽(𝑠)} = ℒ −1 { 𝑠 + 4 } = 12ℒ −1 { } 1 (𝑠 + 2)2 (𝑠 2 + 4) (𝑠 + 2)2 2 ℒ −1 {𝐽(𝑠)} = 12𝜇3𝜋 (𝑡) ℒ −1 {

1 (𝑠 +

2)2 (𝑠 2

+ 4)

}| 𝑡=𝑡−3𝜋

1 1 1 ℒ −1 {𝐽(𝑠)} = 12𝜇3𝜋 (𝑡) ( 𝑒 −2𝑡 + 𝑡𝑒 −2𝑡 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑡))| 16 8 16 𝑡=𝑡−3𝜋 Finalmente, la posición de la masa para cualquier instante a lo largo del plano inclinado es: 6𝑒 −𝜋𝑠 6𝑒 −3𝜋𝑠 5− 2 + 𝑠 + 4 𝑠2 + 4 } 𝑥(𝑡) = ℒ −1 {𝑋(𝑠)} = ℒ −1 { 1 2 (𝑠 2 + 2) 1 1 1 = 10𝑒 −2𝑡 𝑡 − 12𝜇𝜋 (𝑡) ( 𝑒 −2𝑡 + 𝑡𝑒 −2𝑡 − cos(2𝑡))| 16 8 16 𝑡=𝑡−𝜋 1 −2𝑡 1 −2𝑡 1 + 12𝜇3𝜋 (𝑡) ( 𝑒 + 𝑡𝑒 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑡))| 16 8 16 𝑡=𝑡−3𝜋 3. Un circuito 𝑹𝑳𝑪, con resistencia 𝑹 = 𝟏𝟏𝟎𝛀, inductancia 𝑳 = 𝟏𝑯, y capacitancia 𝑪 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝑭, se conecta a una fuente de energía de 𝑬 = 𝟗𝟎𝑽 durante el primer segundo, seguido se desconecta la fuente. Sabiendo que en el instante 𝒕 = 𝟎 no hay corriente, determine la corriente 𝒊(𝒕). Puesto que la función incógnita es la intensidad de corriente 𝑖(𝑡), usaremos la ecuación integrodiferencial que describe la relación entre la razón de cambio de 𝑖(𝑡) con la resistencia, la inductancia, la capacitancia y el voltaje en un circuito RLC: 𝐿𝑖 ′ (𝑡) + 𝑅𝑖(𝑡) +

1 𝑡 ∫ 𝑖(𝑤) 𝑑𝑤 = 𝐸(𝑡) 𝐶 0

Remplazando los valores respectivos dados en el enunciado, tenemos: 𝑡

𝑖 ′ + 110𝑖 + 1000 ∫ 𝑖(𝑤) 𝑑𝑤 = 90[𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)] 0

Aplicando transformada de Laplace en toda la ecuación y usando su propiedad de linealidad: 𝑡

ℒ{𝑖 ′ } + 110ℒ{𝑖} + 1000ℒ {∫ 𝑖(𝑤) 𝑑𝑤} = 90ℒ{𝑢(𝑡)} − 90ℒ{𝑢(𝑡 − 1)} 0

Que, aplicando el teorema de la transformada de Laplace de la derivada en el primer término y el teorema de la transformada de Laplace de la integral en el último término del lado izquierdo de la igualdad, equivale a: 1000𝐼(𝑠) 90 90𝑒 −𝑠 𝑠𝐼(𝑠) − 𝑖(0) + 110𝐼(𝑠) + = − 𝑠 𝑠 𝑠 Usando la condición de valor inicial 𝑖(0) = 0, dado que el enunciado nos dice que en el instante 𝑡 = 0 no hay corriente, tenemos: 1000𝐼(𝑠) 90 90𝑒 −𝑠 𝑠𝐼(𝑠) + 110𝐼(𝑠) + = − 𝑠 𝑠 𝑠

Simplificando fracciones y factorizando: 𝑠 2 + 110𝑠 + 1000 90 − 90𝑒 −𝑠 𝐼(𝑠) ( )= 𝑠 𝑠 Multiplicamos todos por 𝑠: 𝐼(𝑠)(𝑠 2 + 110𝑠 + 1000) = 90 − 90𝑒 −𝑠 Despejando 𝐼(𝑠), y completando cuadrados en el denominador: 90 − 90𝑒 −𝑠 90 − 90𝑒 −𝑠 = 𝑠 2 + 110𝑠 + 1000 (𝑠 + 55)2 − 2025 Separando términos en el numerador, y factorizando convenientemente: 45 45 𝐼(𝑠) = 2 −2 𝑒 −𝑠 2 (𝑠 + 55) − 2025 (𝑠 + 55)2 − 2025 𝐼(𝑠) =

Hallando las transformadas de Laplace inversas, la solución de la ecuación integro diferencial es: 𝑖(𝑡) = 2[𝑒 −55𝑡 sinh(45𝑡)] − 2[𝑒 −55(𝑡−1) sinh(45(𝑡 − 1))𝑢(𝑡 − 1)]