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Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil

ÍNDICE

I.

3

PRESENTACIÓN

II.

RESUMEN

4

III.

OBJETIVO GENERAL

5

IV.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

5

V.

5

DESARROLLO DEL TEMA

VI.

Transformada de Laplace en deformación de vigas

6

VII.

CONCLUSIONES Y/O RECOMENDACIONES

9

VIII.

10

BIBLIOGRAFÍA

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil

I.

PRESENTACIÓN

En el presente informe veremos como la transformada de Laplace ha sido en los últimos años de gran importancia en los estudios de ingeniería, matemática, física, entre otras áreas científica, ya que además de ser de gran interés en lo teórico, proporciona una forma sencilla de resolver problemas que vienen de las ciencias e ingenierías. Esta herramienta matemática es muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales, procediendo así, a diseñar y analizar los sistemas de control de manera más sencilla. Utilizando la transformada para resolver las ecuaciones diferenciales que surgen del equilibrio de tensiones de cada punto del material que compone la viga, analizaremos deflexiones transversales. La idea básica del uso de las transformadas integrales, no sólo de Laplace sino de otras transformadas como la de Fourier, la de Hilbert, la de Hankel, la de Mellín o la transformada Zeta consiste en lo siguiente: supongamos que estamos estudiando un determinado fenómeno físico que describimos por medio de un modelo matemático. Dicho modelo estará formado por una o varias ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) con sus correspondientes condiciones iniciales y/o de contorno. El problema consiste en resolver dicho modelo matemático, es decir, resolver una ecuación diferencial. Es ahora cuando intervienen las transformadas integrales, en particular la transformada de Laplace, para transformar dicha ecuación diferencial en otra ecuación (algebraica o también diferencial), la cual va a resultar más fácil de resolver que la ecuación diferencial de partida. De esta forma transformamos nuestro problema original complicado en un problema más sencillo. Resolvemos el problema transformado y luego calculamos la transformada inversa de la solución del problema transformado con la esperanza, claro está, de que esta solución inversamente transformada sea la solución de nuestro problema original. En bastantes casos,

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil esta esperanza se convierte en realidad y conseguimos, por este procedimiento, resolver nuestro problema original.

II.

RESUMEN

La evolución de la sociedad, nos muestra con ella un gran avance de la humanidad en diferentes aspectos, como la ciencia, la medicina, tecnología, entre muchos otros, dentro de todo este avance se encuentra la evolución de la construcción, ya que la historia nos muestra como esta ha ido evolucionando, mostrándonos ejemplos de vigas de madera o piedra, viviendas sin columnas, aun es cierto que aún se realizan construcciones pequeñas con vigas de madera, y sin columnas, estas se realizan en sectores alejados. Pero siguiendo el avance de la evolución, se ve como las matemáticas han influenciado en la construcción, ya que primero tenemos que realizar los cálculos de la resistencia, ya sea vigas, columnas, estructuras que soportaran cargas portantes, en toda esta evolución se encuentra Laplace, ya que nos facilita obtener los cálculos para saber cuánta carga soportaran las vigas, columnas, y las veces que se tiene que construir estas estructuras. Teniendo en cuenta lo mencionado, tenemos que sin importar el sistema constructivo que se utilice en la construcción de alguna edificación las vigas y columnas siempre serán parte y de vital importancia. Se define como Viga a un elemento estructural que trabaja principalmente a flexión y cuya longitud predomina sobre las otras dos dimensiones, suele ser horizontal. Columna se define en ingeniería y arquitectura como aquel soporte vertical de longitud larga respecto a su sección transversal. Soportan las estructuras y cargas de la obra, permitiendo flexibilidad. Es por eso que a la hora de armarlos se deben comprobar que soporten a la perfección los esfuerzos de tracción y de compresión de modo simultáneo. Los materiales que pueden utilizarse son variados (comúnmente relacionados con el sistema constructivo que se use para la construcción). Dichos materiales deben ser flexibles, duraderos y resistentes a la vez.

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil La transformada de Laplace es un operador lineal muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales. Laplace demostró cómo transformar las ecuaciones lineales no homogéneas en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos. Las propiedades de la transformada de la place, y la inversa nos muestra formas en las que podemos hallar la resistencia de estas estructuras, y de esta manera podemos prevenir fallas en estas estructuras, como los cortes en X, entre otros. Para evitar estas fallas u otras más, la transformada de Laplace, nos ayuda en la parte estructural.

III.



IV.



OBJETIVO GENERAL

Entender la importancia y la utilidad de la T.L.P enfocada hacia la ingeniería civil.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Realizar ejemplos en los cuales se aplique la transformada de Laplace y sus propiedades.



Dar a conocer Transformada de Laplace en deformación de vigas.



Describir las condiciones de frontera bajo las cuales se deforma una viga.



Aprender a utilizar las ecuaciones diferenciales como una herramienta que posibilite la solución de problemas de ingeniería.

V.

DESARROLLO DEL TEMA

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil VI.

Transformada de Laplace en deformación de vigas Al considerar una viga delgada uniforme de longitud l y sea y(x) su desplazamiento transversal, a una distancia x medida desde uno de los extremos, de la posición original debido a la carga aplicada. Entonces de la teoría elemental de las vigas, se tiene: 𝑑4𝑦 𝐸𝐼 2 = −𝑊(𝑥) 𝑑𝑥

… (1)

(Fernanadez, 2014) Donde: W(x) = Fuerza transversal por unidad de longitud EI = Rigidez de flexión de la viga (E es el módulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de la viga alrededor de su eje central). Como se supone que la viga tiene propiedades uniformes de elasticidad y una sección transversal uniforme en toda si longitud, tanto E como I se toman como constantes. La ecuación (1) algunas veces se escribe como: 𝐸𝐼

𝑑4 𝑦 = 𝑊(𝑥) 𝑑𝑥 2

… (2)

Donde y(x) es su desplazamiento transversal medido hacia abajo y no hacia arriba.

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil Figura N° 1 Deflexión transversal de una viga: (a)posición inicial; (b) posición desplazada

(Fernanadez, 2014) En los casos cuando la carga es uniforme a lo largo de toda la longitud de la viga, esto es, W(x)=cte., entonces la ecuación (1) se puede resolver fácilmente con las técnicas del cálculo integral. Mientras que, si la carga no es uniforme, los métodos de la transformada de Laplace tienen una ventaja importante, ya que haciendo uso de las funciones unitarias de Heaviside y de las funciones impulso, el problema de resolver de la ecuación (1) independientemente para varias secciones puede evitarse. (Leandro, 2012) Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros en la ecuación (1) se tiene: 𝐸𝐼[𝑠 4 𝑌(𝑠) − 𝑠 3 𝑦(0) − 𝑠 2 𝑦1 (0) − 𝑠𝑦2 (0) − 𝑦3 (0)] = −𝑊(𝑠)

… (3)

Donde: 𝑑𝑦

𝑦1 (0) = 𝑑𝑥

𝑥=0

𝑑2 𝑦 𝑦2 (0) = 2 𝑑𝑥 𝑥=0

𝑦3 (0) =

𝑑3𝑦 𝑑𝑥 3 𝑥=0

Interpretación física: P á g i n a 7 | 10

Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil 𝐸𝐼𝑦3 (0) – Fuerza cortante en x=0 𝐸𝐼𝑦2 (0) – Momento de torsión en x=0 𝑦1 (0) – Pendiente en x=0 𝑦(0) – Deflexión en x=0 Resolviendo (3) para Y(s) llegamos a:

𝑌(𝑠) = −

𝑊(𝑠) 𝐸𝐼𝑠 4

+

𝑦(0) 𝑠

+

𝑦1 (𝑠) 𝑠2

+

𝑦2 (𝑠) 𝑠3

+

𝑦3 (𝑠) 𝑠4

… (4)

Así, se necesita encontrar cuatro condiciones de frontera e idealmente deber ser la fuerza cortante, el momento de torsión, la pendiente y la deflexión en x=0. Sin embargo, en la práctica estas condiciones de frontera no siempre están disponibles. Algunas de ellas son conocidas, pero otras están especificadas en puntos distintos de x=0 a lo largo de la viga. Las condiciones de frontera usualmente están indicadas en condiciones físicas tales como la siguiente: a) La viga está libre, o simplemente, sostenida en ambos extremos, indicando que tanto el momento de torsión como la deflexión son cero en ambos 𝑑2 𝑦

extremos, así que 𝑦2 (0) = 𝑑𝑥 2 = 0 en x=0 y x=l. (Leandro, 2012) b) En ambos extremos la viga está sujeta o construida en una pared. De esta 𝑑𝑦

manera, la viga está horizontal en ambos extremos, así que 𝑦(0) = 𝑑𝑥 = 0 en x=0 y x=l. c) La viga está volada con un extremo libre (esto es, fija horizontalmente en un 𝑑𝑦

extremo, con el otro extremo libre). En el extremo fijo (x=0) 𝑦(0) = 𝑑𝑥 = 0, y en el extremo libre (x=l), como tanto la fuerza cortante y el momento de 𝑑2 𝑦

torsión son cero 𝑦2 (0) = 𝑑𝑥 2 = 0. Si la carga no es uniforme a lo largo de toda la viga, se hace uso de las funciones escalón de Heaviside y de las funciones de impulso para especificar W(x) en (1). P á g i n a 8 | 10

Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil

VII.

-

CONCLUSIONES Y/O RECOMENDACIONES

Mediante la aplicación de la transformada de Laplace en la deformación de viga, se pudo llegar a la siguiente ecuación 4:

𝑌(𝑠) = − -

𝑊(𝑠) 𝑦(0) 𝑦1 (𝑠) 𝑦2 (𝑠) 𝑦3 (𝑠) + + + + 𝐸𝐼𝑠 4 𝑠 𝑠2 𝑠3 𝑠4

Esta ecuación relaciona fuerza cortante, momento de torsión, pendiente u deflexión, todas estas condiciones de frontera interactúan en la deformación de un elemento estructural, en este caso, la viga.

-

Para una viga con carga uniforme podemos utilizar la ecuación 1, que se pueden resolver con calculo integral. 𝐸𝐼

-

𝑑4𝑦 = −𝑊(𝑥) 𝑑𝑥 2

… (1)

Para una viga con carga que no es uniforme los métodos de la transformada de Laplace tienen una ventaja importante, ya que haciendo uso de las funciones unitarias de Heaviside y de las funciones impulso; llegando así a la ecuación 4.

-

Se presentan las condiciones fronteras para tres casos: viga libre, empotrada, y en voladizo.

-

Al momento de aplicar la transformada de Laplace, resulta más simple y sencillo el procedimiento para calcular la deformación de la viga, lo que indica que es una ventaja y una buena opción al omento de resolverlos.

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la Ingeniería Civil VIII.

BIBLIOGRAFÍA



Fernanadez, G. (2014). TRANSFORMADA DE LAPLACE. Argentina.



Leandro, G. G. (2012). APLICACION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. Agentina.

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