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Ejercicio 8.5 El cilindro en la figura esta en equilibrio En la posición mostrada. Encuentre la frecuencia natural de la vibración libre respecto a esta posición de equilibrio si no hay resbalamiento.

Solución. 1). Para el cilindro en equilibrio D.C.L Relaciones Cinemáticas ∑

=0

mgsen30°R –

mgsen30° = K

2). Para el cilindro en movimiento: X=

y

=

̈

̈

=

Relaciones cinemáticas: ∑

=m ̈

Mgsen30° – f – K( +X) = m ̈ ∑

=

–K x R = m ̈ R + ̈ + KX = 0

De (4) =

̈

fR=

en (2); y [(2) ∗

(1)

̈

(2) (3)

+ (3)]

= m ̈ R+

̈+

=

̈

X=0

=

(4)

Unidades de frecuencia

R=0 (1)

Ejercicio8.27 En la Fig. encuentre el desplazamiento de estado permanente x (t) si y (t)=0.2sen 90t (en pulgadas). en donde t está en segundos, m=0.01lb.s2/plg, k=50lb/plg y c=1lb.s/plg. En particular: a. ¿Cuál es la amplitud de x(t)? b. ¿Cuál es el ángulo de desfasamiento entre x(t) y y(t)

Solución 1) D.C.L.:

2) Relaciones Cinéticas: − ̈+

̇+

̇+

−

2

̇ − ( −̇ ) =

̇ +2 =

0.2

̈

=

sin 90

(1)

La solución del estado permanente de la ecuación diferencial(1) =

Donde:

sin(

− Øs )

(2)

=

=

2 −

0.2

+(

0.2 ∗ 50

)

(100 − 0.01 ∗ 90 )

= 0.1087 ≅ 0.109

(

)

El Angulo de fase es:

∅ = tan (

∅ = tan (

2 −

)

1 ∗ 90 ) 100 − 0.01 ∗ 90

∅ = 78.079

∅ = 1.36

∅ = 78.1 ∗ (

Luego en (2):

= 0.109 ∗ sin(90 ∗ − 1.36)

(

180

)

Ejercicio 8.10 Determinar la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud del medio cilindro uniforme, cerca de la posición de equilibrio, mostrado en la figura 810 suponga que el cilindro rueda sobre el plano horizontal, ver fig. 2

Fig .2

Solución

El sistema es conservador. La distancia del centro de masa al punto o es h= 3r/8. Denotamos el ángulo de rotación alrededor de P por Ө. La rotación alrededor de P hace que el centro de masa gire con respecto al centro del radio OP. Hacemos la analogía como un péndulo suspendido en o, la energía cinética es

T = ( )I ∗ θ̇

La energía potencial es V = mgh(1-cos(ө)) ,Donde h (1-cos(ө)) es el incremento en altura del centro de masa

T + V =I *θ̇ + mgh(1-cos(ө).

tomar la derivada respecto al tiempo.



 I P * 

 d 2  mghsen   0 2 dt 

 d 2 mgh   2  0 I p   dt el momento de inercia acerca de P es

I P  ICP  m(r  h)2 2

IP 

83 5 * mR 2    * mR 2 320 6

IP 

13 * mR2 20

Pues los ángulos pequeños d 2   2  0 2 dt



20 *3* g 15 g  13*8R 26 R

La frecuencia

f 

1 15 g * 2 26 R

Ejercicio 8.23 Si k = 100lb/plg y la masa de la barra rígida, delgada y uniforme en la fig. P8.23 es de 0.03 lb.s2/plg. ¿Cuál es el valor de la constante critica de amortiguamiento?. Para este amortiguamiento, determine (t) si la barra gira un pequeño ángulo ϴ0 y luego se suelta del reposo. Si se quitara elamortiguador, ¿Cuál sería el periodo de vibración libre?

Solución 1).- D.C.L. (para un ángulo ϴ pequeño cualquiera):

2).- Relaciones cinéticas: =

cos

̈ (

−

)

−

( +2

Para ángulos pequeños y mg a = K 2a ̈ +

̇ +4

)2

(relación de equilibrio)

=0

Las raíces de la ecuación característica de (1), es: =−

2

±

2

−

4

Del discriminante, par CC. : = Reemplazando valores:

= 4a

=

=

̈

=

4 1 ∗ ∗ 0.03 ∗ 100 ∗ 100 = 8 5 3

− /

3).- La solución de (1) es con amortiguamiento crítico: =

( )

=

+

4

= 100

̇( ) = −

=

Para, t = 0 En (2):

/

+

̇ =0

−

=

En (3): 0=−

+

B=

Luego, en (2): ( )

∴

=

( )

=

+ 100

(1 + 100 )

= 100

/s

4).-Cuando se quita el amortiguamiento, el periodo es: T=

=

= 0.0628 s