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• David Cruz Zamora

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6. Optimización de mezclas en una destilería. Una destilería dispone de malta propia en cantidad de 200 barriles/días. Además, puede comprar malta de dos distribuidores A y B, con costes de 1000 y 1200 ptas/barril, en cantidades máximas de 300 y 500 barriles/días, respectivamente. La malta puede mezcladores directamente o destilarse para producir malta enriquecida de dos tipos 1, 2. El destilador puede procesar a lo sumo 700 barriles/día. Un barril destilado de la propia casa produce 3 barriles de malta 1 y 6 de malta 2. Un barril de malta A produce 4 de 1 y 4 de 2. Uno de malta B produce 7de 1 y 1 de 2. La mezcla de malta no procesada se vende a 1300 ptas/barril, limitándose el mercado a 110 barriles/día. El sobrante de malta debe destruirse con coste 100 ptas/barril. Con las maltas destiladas pueden hacerse dos productos: uno de alta calidad (H), que se venden a 1900 ptas/barril y debe contener al menos el 70% de producto 1, y otro de baja calidad (L), que se vende a 1500 ptas/barril y puede contener a lo sumo el 55% de producto 2. La destilería desea satisfacer la demanda del producto de alta calidad, que es de 215 barriles/días, y asegurarse un beneficio de 30,000 ptas/días. Además, puesto que se espera un cambio en el mercado del producto de baja calidad, la destilaría desea minimizar su producción. Formular un modelo de programación lineal que dé respuesta al problema de planificación planteado teniendo en cuenta las limitaciones en la producción y las exigencias de demanda y beneficio económico, suponiendo, además, que la venta de la mezcla está garantizada.

Solución Teniendo en cuenta el esquema de funcionamiento de la destilería, que se resume en la figura siguiente podrían introducirse las siguientes variables de decisión, todas ellas medidas en barriles/día (denominamos con C la malta disponible en la propia destilería). X1= cantidad de malta disponible del distribuidor i= A,B,C

M (ezcla) X ij= cantidad de malta i dedicada a j=

D(estilería) d (estrucción)

X1 = producción de malta tipo 1 X2= producción de malta tipo 2 XH= malta de alta calidad XL= malta de baja calidad Xkl= malta de tipo k dedicada a la calidad l, k= 1,2, l= H,L

Las restricciones se deben a: Límite de compra a los distribuidores y de disponibilidad propia XA

300, XB

500, XC= 200

Límite de capacidad del destilador XA + XBD + XCD

700

Límite de venta de mezcla XAM + XBM + XCM

110

Distribuciones de maltas XAM +XAD + XAd = XA XBM+ XBD + XBd = XB XCM + XCD + XCd = XC Producción de maltas enriquecidas de tipos 1 y 2 de acuerdo con las recetas 0.3 XCD + 0.4XAD + 0.7 XBD = X1 0.6XCD + 0.4 XAD + 0.1 XBD = X2 Distribución de las maltas enriquecidas 1 y 2 X1H + X1 L= X1 X2H + X2L = X2 Suponiendo que se utiliza toda la malta producida por el destilador. Producción de maltas de alta y baja calidad X1H + x2 =XH X1L + X2L = XL Recetas de las maltas enriquecidas 1 y 2 0.7XH

X1H

0.55 XL

X2L

Satisfacción de la demanda del producto de lata calidad XH

215

Satisfacción del objetivo económico 1300(XAM +XBM +XCM) +1900XH +1500XL -1000XA – 1200 XB -100(X Ad + X Bd + X Cd)

30,000

No negatividad de las variables Xi, Xij, Xkl, Xk, Xl

0

i = A,B,C j= M, D, d k = 1,2 l = H,L Finalmente, el objetivo sera la minimización de volumen producido de baja calidad, es decir, z = X1L +X2L En resumen, una vez simplificado el modelo, tras eliminar las variables X A, XB, XC, XH, XL, X1, X2 debido a las igualdades, se formula Min z= X1L +X2L s.a XAM +XAD + XAd

300

XBM + XBD +XBd

500

XCM + XCD + XCd = 200 XAD +XBD +XCD

700

XAM + XBM + XCM

110

X1H +X1L +.4XAD -.7XBD -.3XCD = 0 X2H + X2L - .4 XAD - .1 XBD - .6 XCD = 0 .3 X1H -.7 X2H 0 -.55 X1L -.45X2L X1H +X2H

0

215

300 XAM + 100 XBM + 1300 XCM + 1900 (X1H + X2H ) +1500 (X1L + X2L ) -1000 XAD -1100 XAd -1200 XBD 1300 XBd -100 XCd 30 000