• Author / Uploaded
• Jorge Chinome

Citation preview

ECBTI/Zona_Sur/Red_CálculoMultivariado

Aclaraciones Integrales de flujo Grupo 5 de ejercicios Tarea 4 Gabriela Leguizamón

abril de 2019

Teorema de Stokes Establece una relación entre una integral de línea y una de superficie. Cuando el vector campo eléctrico 𝐸 es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie: Φ = 𝐸 ∙ 𝑆Ԧ

Ley de Gauss Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el flujo a través de cada elemento 𝑑𝑆 de superficie, 𝐸 ∙ 𝑆Ԧ . El flujo a través de la superficie S, es:

Φ = ඵ 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆Ԧ 𝑆

La ley de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre ε0.

Φ = ඵ 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆Ԧ = 𝑆

Siendo 𝜀0 la permitividad del vacío

𝑞 𝜀0

Teorema de la divergencia de Gauss El teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.

ඵ 𝐹Ԧ ∙ 𝑑 𝑆Ԧ = ම 𝛻 ∙ 𝐹Ԧ 𝑑𝑉 𝑆

𝑉

Tanto las integrales de superficie como las integrales triples pueden ser muy desagradables de calcular. Pero el teorema de la divergencia da una herramienta para poder convertir de una a la otra, lo que a menudo puede ayudar a convertir una integral de superficie particularmente difícil en un volumen más fácil de integrar.

Ejemplo Ley de Gauss ෡ un campo electrostático. Usar la ley de Gauss para hallar Sea 𝐸 = 𝑥 3 𝒊Ƹ + 𝑦 3 𝒋+Ƹ 𝑧 3 𝒌 la carga total en el interior de la superficie cerrada por una esfera unitaria (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1). En este caso debemos hallar el flujo de campo eléctrico: Φ = ඵ 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆Ԧ = ම 𝛻 ∙ 𝐸𝑑𝑉 𝑆

𝑉

La divergencia del campo vectorial: 𝜕 𝒊Ƹ 𝜕𝑥

𝛻∙𝐸 =(

+

𝜕 𝒋Ƹ 𝜕𝑦

+

𝛻 ∙ 𝐸 = 3(𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 )

𝜕 ෡ 𝒌) 𝜕𝑧

෡ Ƹ 𝑧 3 𝒌) ∙ (𝑥 3 𝒊Ƹ + 𝑦 3 𝒋+

Ejemplo Ley de Gauss ෡ un campo electrostático. Usar la ley de Gauss para Ƹ 𝑧3𝒌 Sea 𝐸 = 𝑥 3 𝒊Ƹ + 𝑦 3 𝒋+ hallar la carga total en el interior de la superficie cerrada por una esfera unitaria. En este caso debemos hallar el flujo de campo eléctrico: Φ = ඵ 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆Ԧ = ම 𝛻 ∙ 𝐸𝑑𝑉 𝑆

𝑉

La divergencia del campo vectorial: 𝜕 𝒊Ƹ 𝜕𝑥

𝛻∙𝐸 =(

+

𝜕 𝒋Ƹ 𝜕𝑦

+

𝜕 ෡ 𝒌) 𝜕𝑧

𝛻 ∙ 𝐸 = 3(𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 ) Φ = 3 ම(𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 )𝑑𝑉 𝑉

෡ Ƹ 𝑧 3 𝒌) ∙ (𝑥 3 𝒊Ƹ + 𝑦 3 𝒋+

Ejemplo Ley de Gauss Φ = 3 ම(𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 )𝑑𝑉 𝑉

Haciendo un cambio a coordenadas esféricas tenemos: 𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑉 = 𝜌2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 Φ = 3 ම 𝜌2 𝑑𝑉 = 3 ම 𝜌4 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑉

𝑉

𝜋 2𝜋 1

Φ = 3 න න න 𝜌4 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 0 0

0

Ejemplo Ley de Gauss 2𝜋 𝜋 1

Φ = 3 න න න 𝜌4 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 0

0 0

𝜋 2𝜋

Φ = 3නන 0 0 𝜋

Φ = 3න 0

Φ=3

1 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜃𝑑𝜑 5

2𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜑 5

4𝜋 5

=

12𝜋 5

12𝜋 𝑞 Φ= = 5 𝜀0 𝑞=

12𝜋𝜀0 5

Ejemplo Ley de Gauss Supongamos ahora que tenemos: ෡ un campo electrostático. Usar la ley de Gauss para Ƹ 𝑧3𝒌 Sea 𝐸 = 𝑥 3 𝒊Ƹ + 𝑦 3 𝒋+ hallar la carga total en el interior de la superficie cerrada por el hemisferio 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y su base circular en el plano 𝑥𝑦. En este caso, tenemos el hemisferio superior de una esfera con radio 1, debemos cambiar los límites de las coordenadas esféricas. 𝜋/2 2𝜋 1

Φ = 3 න න න 𝜌4 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 0

0

0