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• Jose Rodriguez

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23) A un tanque cilíndrico recto se le superpone una tapa cónica en la forma que se ilustra en la FIGURA. El radio del tanque es de 3 m y su área superficial total corresponde a 81 πm² . Encuentre las alturas x y y de manera que el volumen del cilindro sea un máximo. Sugerencia el área superficial del cono es: 3 π √ 9+ y ² .

queremos maximizar : V ( x , y )=9 πx +3 πy sujeto a : S ( x , y )=9 π +6 πx+ 3 π √ 9+ y ²−81 π ahora calculamoslas derivadas parciales V x =9 π

V y =3 π

s x =6 π

sy=

3 πy √ 9+ y ²

ahora necesitamos resolver : 9 π=6 πλ

ecuación 1

3 π=

3 πλy √ 9+ y ²

ecuación 2

9 π +6 πx+3 π √ 9+ y ²−81 π=0 para x >0 y y > 0 ecuacion3 de la ecuacion1 obtenemos : λ=

9π 3 = 6π 2

ahora sustituyendo λ en la ecuacion 2 obtenemos 3π 3 π=

( 32 ) y

√ 9+ y ²

3 π ( √ 9+ y 2 )=3 π

( 32 ) y

( 32 ) y )²

( √9+ y 2) ²=( 9+ y2 =

9 y² 4

36+ 4 y 2=9 y ² 36=5 y ² 36 5

y=

√

y=

6 √5

ahora sustituimos y en la ecuacion3 para obtener el valor de x

√

9 π +6 πx+3 π 9+(

6 ) ²−81 π=0 √5

36 =81 π −9 π 5

√ ( √ ) √

6 πx+3 π 9+ π 6 x +3 9+ 6 x +3 9+ 6 x+

36 =72 π 5

36 =72 5

27 √ 5 =72 5

6 x=72− 6 x=

27 √ 5 5

360−27 √ 5 5

x=

360−27 √ 5 5(6)

x=

360−27 √ 5 30

x=12−

9 9 √5 o x=12− 10 2 √5

entonces el volumen es maximo cuando : x=12−

9 2 √5

m y=

6 m √5