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Departamento: INGENIERIA PETROLERA Materia: CALCULO VECTORIAL Docente: MIRIAM ROSALDO AGUEROS

INDICE 4.1. Definición de una función de dos variables……………………………. ……………..1 4.2. Gráfica de una función de dos variables………………………………. ……………….1-2 4.3. Curvas y superficies de nivel……………………………..……………..2-3 4.4. Límites y continuidad……………………………………………..……..3-4 4.5. Definición de derivadas parciales de funciones de dos variables, así como su interpretación geométrica…………………………………………………………………………4-5 4.6. Derivadas parciales de orden superior………………………………..……5 4.7. Incrementos, diferenciales y regla de la cadena…………………………...5-6 4.8. Derivación parcial implícita…………….…………………………..…………….6 4.9 Gradiente……………………………………………………………………….. 6-7

4.10 Campos vecotoriales…………………………………………..7-8 4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física………….8 4.12 Valores extremos de funciones de varias variables……………………8-9

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4.1. Definición de una función de dos variables La primera parte de esta asignatura se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable, �: ℝ → ℝ Lo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables. �: ℝ2 → ℝ Estas funciones se representan a menudo mediante el símbolo z = f(x,y). Una función de dos variables tiene como dominio parejas de números (así que se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). En general, el dominio de una función con n variable (n ≥ 1) está formado por puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real determinado. Una función con n variables es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2, . . . , xn) dentro de un determinado conjunto D un número real f(x1, x2, . . . , xn). El dominio D es un subconjunto de Rn, es decir, está formado por puntos con n coordenadas. Representaremos esta función escribiendo: Gráfica de una variables 4.2

función

de

dos

La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z) tales que:

�=� �,� � �∈�. Es decir:

���� � = �,�,� �,� |(�,�)∈� La grafica de una función de dos variables z = f(x, y) puede interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f.

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En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.

4.3 Curvas y superficies de nivel MAPAS DE ALTURAS Y CURVAS DE NIVEL La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos una función f de dos variables, la gráfica tiene que representar conjuntos de puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para representar la gráfica de una función de dos variables necesitamos tres dimensiones. En el caso de la gráfica tridimensional, partimos de tres ejes perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontales representamos las variables x e y, y en el eje vertical representamos los valores z que toma la función.

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Hemos denominado los ejes con las letras X, Y y Z, respectivamente. A cada valor de las variables x e y le corresponde un punto (x, y) del plano que se encuentra en la base. Por último, la función f asocia un valor z = f(x, y) al punto (x, y). Con la gráfica nos podemos imaginar el grafo de una función de dos variables como una sábana por encima (o por debajo, si la función toma valores negativos) del plano donde están los puntos (x, y). También podemos establecer un símil con una montaña, de forma que para describir el comportamiento de la función nos interesará saber si la pendiente es muy fuerte o no en una determinada dirección, junto con donde se encuentran las cumbres y los valles. Una última manera, que nos resultará intuitiva para otros propósitos como veremos más adelante, es considerar la gráfica de la función como si se tratase de la superficie de un pastel que hemos colocado sobre el plano donde están las variables x e y (de ahora en adelante lo llamaremos plano XY). Es probable que los aficionados al excursionismo estén familiarizados con los mapas topográficos, donde se indican las alturas de los puntos mediante una serie de curvas que conectan puntos de una misma altitud. 4.4 Definición de derivadas parciales de funciones de dos variables, así como su interpretación geométrica. Sea f una función de x e y; Por ejemplo: � �, � =3�2�−5������ La derivada parcial de f con respecto a x es la función fx obtenida diferenciando f con respecto a x, considerando a y como una constante, en este caso �� �,� =6��−5����� Las derivadas parciales se definen formalmente como limites: ��� � ��� �����ó� �� ��� ���������. ��� ��������� ��������� �� � � � ��� ��� ��������� �� � �� ,��������� ��� �� �, =lim�→0� �+�, −� �, �=����,

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�� �, =lim�→0� �,+� −(�,�)�=����

4.6 Derivadas parciales de orden superior Si tenemos, sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez de las mismas variables. Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas funciones pueden derivarse nuevamente respecto de y de x e y les llamamos derivadas parciales de segundo orden. Hay que hacer notar que ahora tendremos que la primera derivada parcial respecto de x puede ser derivada parcialmente respecto de x y también respecto de y. De igual manera, la primera derivada parcial respecto de y, puede ser derivada parcialmente respecto a esa misma variable y también respecto de x. De manera que las segundas derivadas, o derivadas de segundo orden, pueden ser estas cuatro derivadas parciales: Puesto que estas cuatro derivadas parciales segundas pueden ser funciones de x y de y, es claro que pueden derivarse nuevamente para obtener las derivadas de tercer orden y así sucesivamente hasta el orden n.

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4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena INCREMENTOS yy x  Para funciones z = f (x, y) de dos variables, son los incrementos de x e y, y el incremento de z en el punto (x,y) viene dado por: ), () , (yxf yy xx f z    DIFERENCIAL Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta diferencia con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto. REGLA DE LA CADENA Teorema. Sea �=(�,�) una función diferenciable de x e y. Si �=� � e �=(�) son funciones derivables de t. La regla de la cadena facilita mucho el trabajo con funciones: para encontrar las derivadas de funciones compuestas es suficiente con conocer las derivadas de las funciones elementales. 4.8 Derivación parcial implícita Recordaremos el concepto de derivada implícita antes de continuar con la derivación parcial implícita.

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En los cursos de cálculo y secundaria la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación:

Para realizar una derivada implícita con derivadas parciales se usa la siguiente fórmula:

4.9 Gradiente Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

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Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

4.10 Interpretación del gradiente De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son: 

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto temperatura es

, la

. Asumiremos que la temperatura no varía con

respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura 

aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuan rápido aumenta la temperatura en



esa dirección. Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define



como H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

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4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física En cálculo vectorial, un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial. Esto es análogo al potencial escalar, que es un campo escalar cuyo gradiente negativo es también un campo vectorial. Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que: Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad: (la divergencia del rotacional es cero) se tiene lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones. Teorema Sea un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es, una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional. 4.12 Valores extremos de funciones de varias variables Extremos de las funciones de varias variables. En esta sección estudiaremos algunos problemas de optimización para campos escalares, es decir, analizaremos la existencia, clasificación y obtención de extremos La función f de la que se desean conocer sus extremos se llama función objetivo. Los resultados que estudiaremos en esta sección guardan una gran analogía con el estudio de los máximos y mínimos de una función de una única variable.

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Extremos de funciones de dos variables. Comenzamos enunciando la versión para dos variables del teorema de Weierstrass, que nos garantiza la existencia de extremos absolutos para funciones continuas definidas en conjuntos cerrados y acotados. Previamente fijaremos algunos conceptos.

EJERCICIOS

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4.1 Función de varias variables Ejercicio 1 Sea el conjunto A = (0; 1) [ f2g. Hallar A, A, A0 y fr(A). Solución: A = (0; 1); A = [0; 1] [ f2g; A0 = [0; 1]; fr(A) = f0; 1; 2g :

Ejercicio 2 Sean los subconjuntos de R : A = [0; 1] \ Q, B = (0; 1) \ (R Q). Estudiar si son abiertos o cerrados.

Hallar el interior, la adherencia, el conjunto derivado y frontera de ambos.

Solución: No son abiertos ni cerrados A = 0 = B; A = [0; 1] = B; fr(A) = [0; 1] = fr(B); A0 = [0; 1] = B0

4.2 Grafica de una función de varias variables Hallar el dominio de la función f(x, y) = x/y.

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RESOLUCIÓN. Su dominio, claramente, será D = {(x, y) ∈ R 2 : y 6= 0}, es decir, todo el plano menos la recta y = 0. Determinar el dominio de la función z = xy x 2 +y 2. RESOLUCIÓN. Es el conjunto R 2\{(0,0)}, es decir, todo el plano menos el origen de coordenadas 4.3 Curvas y superficies de nivel f ( x, y )   x 2  y 2  4 Trazar algunas curvas de nivel de la función para c = 4, c = 3, c = 0 y c = –5. Solución  x2  y2  4  4 ;

 x 2  y 2  0;

x 2  y 2  0;

a) Para c = 4;

(1)

la expresión (1) representa un punto cuando f(x,y) = c = 4  x2  y2  4  3 ;

 x 2  y 2  1;

x 2  y 2  1;

b) Para c = 3;

(2)

1

la expresión (2) representa una circunferencia de radio r = .  x2  y2  4  0 ;

 x 2  y 2  4;

x 2  y 2  4;

c) Para c = 0;

(3)

la expresión (3) representa una circunferencia de radio r = 2  x 2  y 2  4  5 ;  x 2  y 2  9;

x 2  y 2  9;

d) Para c = –5;

(4)

la expresión (4) representa una circunferencia de radio r = 3 La superficie es un paraboloide abierto hacia abajo, su extremo máximo está en z = 4 y las curvas de nivel de la función son círculos. Tal como se ilustra a continuación en las figuras 1, 2 y 3.

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c0 c0 c0 c0

Ejercicio 2 f ( x, y )  x 2  2 y 2  5 Trazar algunas curvas de nivel de la función –1, c = 1 y c = 4

, para

c  4

,c=

Solución La función dada representa la superficie de un paraboloide elíptico abierto hacia arriba. Si (x, y) = (0, 0) entonces z = –5. Las curvas de nivel son elipses.

para

c  4

x 2  2 y 2  5  4

x2  2 y2  1

x2 y2  1 1 1 2

(5)

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para

c  1

para

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x  2 y  5  1

c 1

2

2

x2  2 y 2  5  1

x2 y2  1 4 2

x  2y  4 2

2

x2  2 y 2  6

x2 y2  1 6 3

(6)

(7)

Solución: La tercera de las expresiones del conjunto de ecuaciones (5) representa a2  c  5

b2 

la ecuación de un elipse con y valores de c = –4, c = –1, c = 1 y c = 4,

c 1

c 5 2

. Obtendremos las trazas para

c4

c  4 c  4 c  1 c  4

c  4

c  1

4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables. Ejercicio 5.3. Hallar las derivadas parciales de la función f(x, y) = x 2 tgxy. SOLUCIÓN. Se tiene: ∂ f ∂ x (x, y) = 2x tgxy+ x 2 y cos2 xy , ∂ f ∂ y (x, y) = x 3 cos2 xy . Ejercicio 5.4. Dada la función z = Ax4 +2Bx2 y 2 +Cy4 , probar que xzx +yzy = 4z. SOLUCIÓN. Se tiene: zx = 4Ax3 +4Bxy2 , zy = 4Bx2 y+4Cy3 , con lo cual: xzx +yzy = 4Ax4 +4Bx2 y 2 +4Bx2 y 2 +4Cy4 = 4Ax4 +8Bx2 y 2 +4Cy4 = 4z.

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4.5 Derivada direccional Calcula, función origen.

aplicando

la

definición,

la

derivada

direccional

de

la

en el punto P(1,2) en la dirección que apunta hacia el

Solución: Hallamos el vector unitario de dirección y el punto genérico X.

Hallamos los valores correspondientes de la función:

Operando y simplificando obtenemos:

Ejercicio 2 Calcula, usando las derivadas parciales, la derivada direccional de la función origen.

en el punto P(1,2) en la dirección que apunta hacia el

Solución: Hallamos el vector unitario de dirección.

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Hallamos las derivadas parciales en el punto P(1, 2).

Hallamos el producto escalar:

4.6 Derivadas parciales de orden superior Calcula las derivadas parciales segunda de la función: Solución: Hallamos las derivadas parciales:

; Derivando repetidamente obtenemos:

;

; Ejercicio 2

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Halla las derivadas parciales de tercer orden de la función: Solución: Hallamos las derivadas parciales de primer orden: ; Hallamos las derivadas parciales de segundo orden: ;

;

Hallamos las derivadas parciales de tercer orden: ;

;

;

4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena

Ejemplo

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente. Ejemplo

Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

4.8 Derivación parcial implícita Ejemplo

Hallar

, de la función implícita:

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Solución: Primero Segundo,

Ahora el cociente,

acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:

4.9 Gradiente Determinar la derivada direccional de la función en el punto dado en dirección que indica el ángulo en el punto

Entonces, partiendo de:

y siendo

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Obtenemos:

4.12 Valores extremos de funciones de varias variables

Grafica de un punto máximo y uno mínimo. Ejercicio: Encontrar el máximo y el mínimo X=f(x)

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BIBLIOGRAFIA http://www.monografias.com/trabajos59/limite-continuidad-funciones/limitecontinuidad-funciones.shtml#ixzz49jK7gEgV https://www.google.com.mx/webhp?sourceid=chromeinstant&rlz=1C1CAFA_enMX662MX662&ion=1&espv=2&ie=UTF8#q=ejercicios+resueltos+campos+vectoriales https://www.google.com.mx/webhp?sourceid=chromeinstant&rlz=1C1CAFA_enMX662MX662&ion=1&espv=2&ie=UTF8#q=ejercicios+resueltos+derivadas+direccionales http://cursos.aiu.edu/matematicas%20superiores/pdf/tema%204.pdf

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UNIDAD: N° 4

TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

MATERIA: CALCULO VECTORIAL

DOCENTE: I.I. MIRIAM ROSALDO AGUEROS

ALUMNO: JOHNNY ALEJANDRO OLIVEROS CRUZ

N° CONTROL: 15080195

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GRADO: 3°

GRUPO: “A”