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• Edwin Sanchez

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NOTAS DE CLASE Zulima tiz

2

Contenido 1

Funciones Vectoriales

2

2

Límites, continuidad y Diferenciabilidad

6

3

Gradientes, Derivadas Direccionales, Derivadas Mixtas y de orden superior

10

4

Derivación Implícita y Regla de la Cadena

15

5

Máximos y Mínimos

17

6

Integrales Dobles

20

1

Funciones Vectoriales

1. Trace el vector de posición~r(t) y el vector tangente para~r(t) = 2 sin(t)~i + 3 cos(t)~j 2. Determine la continuidad de las siguientes funciones vectoriales (a) ( ~ = t~i + t 2~j + sint~k r(t) t 0~i + 0~j + 0~k

si t 6= 0 si t = 0

(b) ( ~ = t 2 −1~i + t 2 −1 ~j + t 3 −1~k r(t) t−1 t+1 t−1 0~i + 0~j + 0~k

si t 6= ±1 si t = ±1

(c) ( ~ = sin 2t~i + cos 2t ~j + sin 4t ~k r(t) sin 3t cos 3t cos 5t 2/3~i + 1~j + 0~k

si t 6= 0 si t = 0

3. Considere las curvas cuyo vector posición es r1~(t) = t~i + t 2~j + 2t 3~k, r2~(t) = sin(t)~i + sin(2t)~j + t~k se cortan en el origen. Halle el ángulo de intersección, aproximado al grado más cercano. ~ = t~i + cos(t)~j + sin(t)~k. Calcule ~ = t~i + t 2~j + 2t 3~k y c(t) ~ = t~i − 2t 2~j + 2t 3~k y c(t) 4. Si r(t) ~ · c(t)] ~ (a) Dt [r(t) ~ × c(t)] ~ (b) Dt [r(t) 5. Una trayectoria en ℜ3 pasa por el punto (3,6,5) en t=0 con vector tangente i − j hallar la ecuación de la recta tangente. 6. Supóngase que una partícula sigue la trayectoria c(t) = (et , e−t , cost) hasta que sale por la tangente en t=1, donde estará en t=3? 7. Supongamos que una partícula que sigue la trayectoria c(t) = (4et , 6t 4 , cost), sale por una tangente en t = 0, calcular

3

(a) La rapidez con la que la partícula abandona la trayectoria(b) La posición de la partícula en el instante t = 1 (c) Si la partícula se mueve sobre la trayectoria del punto t=0 al punto t=1 cual es la distancia recorrida por la partícula. (deje indicada la expresión) 8. Una partícula que viaja en linea recta se localiza en el punto (1,-1,2) y tiene una rapidez igual a 2 en el instante t=0. La partícula se mueve hacia el punto (3,0,3) con una aceleración constante 2i + j + k. Encuentre la posición r(t). 9. En el instante t = 0, una partícula se localiza en el punto (1,2,3). Viaja en línea recta hasta el punto (4,1,4), tiene una rapidez igual a 2 en (1,2,3) y una aceleración constante igual a 3i-j+k. Encuentre una ecuación para el vector posición r(t) de la partícula en el instante t. 10. Una partícula inicia su movimiento en~r(0) = h1, 0, 0i, con velocidad inicial ~v(0) =~i − ~j +~k. Su aceleración ~a(t) = 4t~i + 6t~j +~k. Determine su velocidad y posición en el tiempo t. 11. Determine el punto sobre la curva r(t) = (5sent)i + (5cost)j + 12tk que se encuentra a una distancia de 26π unidades desde el origen a lo largo de la curva, en la dirección en la que crece la longitud de arco 12. Hallar el valor o valores de t para los cuales el vector tangente al camino r(t) : R → R2 , sea paralelo al vector ~v = (2, −1)

~ = (2t 2 + 1, 3t − 2) r(t)

~ es ortogonal a r0~(t) 13. Sea r(t) = (a cost, b sint) [0, 2π], con a y b constantes positivas reales, demuestre que r(t) para todo t en el intervalo [0, 2π] y sólo si a = b: Interprete geométrica-mente 14. Hallar r(t) para las condiciones dadas 2

(a) r0 (t) = te−t i − e−t j + k r(0) = 12 i − j + k √ (b) r00 = −32j r0 (0) = 600 3i + 600j r(0) = 0 15. Hallar la integral definida (a) (b)

R1

√ tk)dt

3 3 −1 (ti + t j +

R3 2

0 ti + t j dt

16. Calcule la longitud de la trayectoria en el intervalo dado (a) ~r(t) = (cos4t, sen4t) [0, 2π] √ √ √ √ (b) ~r(t) = ( 2t, 2t, (1 − t 2 )), desde (0,0,1) hasta ( 2. 2, 0) 17. Reparametrice la curva con respecto a la longitud de arco medida desde el punto t = 0, en la dirección que crece t (a) ~r(t) = (et cos4t, e[t]sen4t) (b) ~r(t) = ((1 + 2t), (3 + t), −5t) (c) ~r(t) = 3 sin(t)~i + 4t~j + 3 cost~k

4

Funciones Vectoriales

18. Responda Falso o Verdadero según sea el caso, debe justificar su respuesta (a) Si una partícula se mueve a lo largo de la esfera centrada en el origen, entonces su vector derivada es siempre tangente a la esfera. (b) si r y u son funciones vectoriales derivables de t, entonces Dt (r(t) · u(t)) = r0 (t) · u0 (t) (c) Para la función vectorial et sinti + et costj, r(t) y r00 (t) son ortogonales. (d) La ecuación cartesiana de ecuaciones paramétricas x = 2sen( 2t ), y = 2cos( 2t ) es x2 + y2 = 4 (e) La derivada de una función vectorial se obtiene derivando cada función componente (f) Si u(t) y v(t) son funciones vectoriales derivables entonces d (u(t) × v(t)) = u0 (t) × v0 (t) dt 19. Grafique las curvas trazadas por las siguientes funciones vectoriales (a) r(t) = ti + 2tj + costk, (b)

t ≥ 0.

r(t) = ti + t 2 j + tk

(c) la función vectorial que describe la curva intersección entre el plano y = 2x con el paraboloide z = 9 − x2 − y2 20. Encuentre una parametrización para las curvas dadas

(a)

(b) 21. Una partícula se mueve a lo largo de la curva 2 costi + 2 sintj + tk Calcular

5

(a) El vector tangente unitario en

π 4

(b) La rapidez (c) Las ecuaciones simétricas de la recta tangente en

π 4

(d) La aceleración 22. Usted envía un mensaje a través de un tubo neumático que sigue la curva 9y = x3 (distancia en metros). En el punto (3, 3), ~v ·~i = 4, ~a ·~i = −2. Determine los valores de ~v · ~j, ~a · ~j en (3, 3) 23. Determine el parámetro de longitud de arco a lo largo de la curva desde el punto en que t = 0, luego calcule la longitud de la parte indicada de la curva (a) r(t) = 4 costi + 4 sintj + 3tk,

0 ≤ t ≤ π/2.

(b) r(t) = (1 + 2t)i + (1 + 3t)j + (6 − 6t)k,

−1 ≤ t ≤ 0.

2

Límites, continuidad y Diferenciabilidad

Definición 2.1 Sea F : D ⊂ Rn → Rm Es una función de variable vectorial. Cuando m = 1 recibe el nombre de función escalar

1. Dada la ecuación general Ax2 + Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F, describa las diferentes curvas en el plano, al caracterizar las constantes de dicha ecuación, realice un dibujo para cada caso. 2. Identifique y dibuje cada una de las siguientes superficies

(b)

z 4 x2 + y2 − (z − 2)2

(c)

4x2 − y2 + 2z2 + 4

(d)

x − y2

(a) x2 + (y − 2)2 =

=1 =0

=0

3. Determine el dominio de la función, identificando claramente dicha región, el rango, describa las curvas de nivel, determine la frontera del dominio. √ (a) f (x, y) = y − x (b) f (x, y) = √ 1 2 2 16−x −y p (c) f (x, y) = 16 − x2 − y2 x ) (d) f (x, y) = arcsin( x+y

(e) f (x, y, z) = ln(1 − x2 − y2 + z) √ (f) f (x, y) = arctan(x + y) 4. Determinar el dominio y calcular el límite si existe, para los siguientes casos (a) lim(x,y)→(0,0) x

2 +y2

xy

7 x −1)(e2y −1)

(b) lim(x,y)→(0,0) (e (c) lim(x,y)→(0,0)

xy

2x2 +3xy+4y2 3x2 +5y2

(d) lim(x,y)→(0,0) sin 2x−2x+y x3 +y 2

(e) lim(x,y)→(0,0) (x−y) x2 +y2 (f) Sea f (x, y) =

x2 y2 , x2 y2 +(x−y)2

siempre que x2 y2 + (x − y)2 6= 0 demostrar que lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0

x→0 y→0

y→0 x→0

pero que f (x, y) no tiene límite cuando (x, y) → (0, 0) 2

2

−z (g) lim(x,y,z)→(0,0,0) 2x x+y 2 −y2

2

(h) calcular el limite cuando (x, y) → (0, 0) para f (x, y) = (i) Sea f (x, y, z) =

xyz x3 +y3 +z3

2x2 y x4 + y2

donde esta definida la función?, demuestre que el límite en (0,0,0) no existe

(j) Sea f (x, y) =

( x sin 1y 0

si

y 6= 0

si

y=0

demostrar que f (x, y) → 0 cuando (x, y) → (0, 0) pero lim lim f (x, y) 6= lim lim f (x, y)

x→0 y→0

(k) Calcular lim(x,y)→(0,0)

y→0 x→0

3x − y (x − 4)sen(π/2 + y)

5. Dada la función z = f (x, y) que no esta definida en (0,0). ¿ Es posible definir f (0, 0) de tal modo que f sea continua en ese punto? (a) f (x, y) =

3x2 y x4 +y4

(b) f (x, y) =

x4 −3y4 x4 +5y4

6. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie z = x3 y + 5y2 con el plano x = 2 en el punto en el que y = 1 7. Obtenga todas las derivadas parciales de las funciones indicadas (a) f (x, y) = (2x + 3y)x + (2x + 3y)y x+y x−y R x+y+z g(t)dt f (x, y, z) = xyz

(b) f (x, y) = (c)

8. Calcule la derivada direccional de la función dada en la dirección del vector indicado

8

Límites, continuidad y Diferenciabilidad

(a) Sea f (x, y) = 3x − 2y,~v = ( √12 , − √12 ) (b) sea f (x, y) = xy2 + x2 y,~v = (1, 0) (c) x2 y x4 +y2

(x, y) 6= (0, 0)

0

(x, y) = (0, 0)

( f (x, y) = ~v = (a, b) un vector unitario dado 9. considere la función

3x2 y x4 +y2

(x, y) 6= (0, 0)

0

(x, y) = (0, 0)

( f (x, y) =

(a) Calcule las derivadas parciales en todo el plano (b) Calcule si existen las derivadas direccionales en ~v = (a, b) un vector unitario dado (c) Muestre que f no es continua en (0,0). 10. considere la función

xy2 x2 +y2

(x, y) 6= (0, 0)

0

(x, y) = (0, 0)

( f (x, y) = (a) Calcule las derivadas parciales en (0,0). (b) Calcule la derivada direccional en (0,0) (c) Demuestre que f no es diferenciable en (0,0). 11. considere la función

( xy(x2 −y2 ) x2 +y2

f (x, y) = 0

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

(a) Demuestre que f es continua en (0,0) (b) Existen las derivadas parciales en (0,0)? en caso afirmativo calcule dichas derivadas (c) Calcule las derivas mixtas en (0,0). r(h1 ,h2 ) (d) Muestre que la función dada es diferenciable en ~p = (0, 0) ∈ U, calculando lim(x,y)→(0,0) k(h ,h )k = 0 1

2

r(h1 ,h2 ) 12. Muestre que la función dada es diferenciable en ~p = (x0 , y0 ) ∈ U, calculando lim(x,y)→(0,0) k(h = 0 pero que 1 ,h2 )k sus derivadas parciales no son continuas  (x2 + y2 ) sin √ 1 (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0)

13. Sea f (x, y) =

cos x+exy x2 +y2

muestre que f no es diferenciable en (0,0)

14. sea f : U ⊂ R2 → R una función definida en el conjunto abierto U y sea p un punto de U. A continuación se dan 8 afirmaciones sobre la función f

9

(a) f es diferenciable en p (b) f es continua respecto de su primera variable en p (c) f es continua respecto de su segunda variable en p (d) f es continua en p en la dirección de algún vector v ∈ R2 (e) f es continua en p en la dirección de todo vector v ∈ R2 (f) f tiene derivadas parciales en p (g) f tiene derivadas direccionales en p en la dirección de cualquier vector v ∈ R2 (h) f tiene derivadas parciales continuas en alguna bola abierta B contenida en U con centro p Llene el siguiente cuadro con una V en la posición (i,j), cuando la afirmación de la linea i implique la afirmación de la columna j, y con una F cuando no la implique

a

b

c

d

e

f

g

h

a b c d e f g h Conteste Verdadero o falso en las preguntas siguientes, justifique con una demostración si es verdadero, con un contra ejemplo si es falso o resolviendo el problema (a) Si f (x, y) → l cuando (x, y) → (a, b) a lo largo de toda recta que pasa por (a, b), entonces lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = l (b) Si lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = L ⇒ limx→a f (x, b) = L (c) Si limx→a f (x, b) = L ⇒ lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = L (d) Si limx→a f (x, b) = limy→b f (a, y) = L, ⇒ lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = L

3

Gradientes, Derivadas Direccionales, Derivadas Mixtas y de orden superior

1. Determine un vector normal a la gráfica en el punto dado (a) f (x, y) = sin (sin x cos y) (b)

f (x, y) = 2x2 + 5y3 ,

p(π, π)

P(2, −1)

2. Suponga las superficies de nivel dadas a continuación, determine el vector normal en cada uno de los puntos indicados (a) xy + xz + yz − 3 = 0 − (b) xy + xz + zx − 3xy = 0

p(1, 1, 1) P(1, 1, 1)

~ p al vector 3. Sea f : D ⊂ R2 → R una función diferenciable definida en el abierto D, y sea (x0 , y0 ) ∈ D. Llamemos N normal a la f gráfica de f en (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). El vector gradiente de f en p es un vector de R2 , que se puede identificar con un vector en R3 , con su ultima coordenada nula. Determine el ángulo θ que forman los vectores ~ p y ∇( f (x0 , y0 )) N 4. Considere la superficie x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 6z + 10 = 0. Demuestre que esta superficie tiene una infinidad de planos tangentes perpendiculares a cualquier plano dado por ax + by + cz = d. Determine la expresión general de estos planos, de una explicación geométrica. 5. En el instante t = 0 una partícula sale despedida de la superficie x2 + 2y2 + 3z2 = 6, en el punto (1,1,1), en una dirección normal a la superficie a la velocidad de 10 unidades por segundo. ¿ En qué instante atraviesa la esfera x2 + y2 + z2 = 103 6. El desplazamiento en el instante t de la posición horizontal sobre una recta x de la cuerda de un violín es u = sin (x − 6t) + sin (x + 6t). Calcular la velocidad de la cuerda en x = 1 cuando t = 1/3 7. Sea f (x, y) = 3 −

x y − 3 2

(a) hallar Duu f (3, 2) donde u es el vector unitario en la dirección del vector que une los puntos (1,2) a (-2,6) (b) Hallar el valor máximo de la derivada direccional en (3,2) (c) Hallar un vector unitario u ortogonal a ∇ f (3, 2) y calcular Duu f (3, 2). Analizar el significado geométrico del resultado

11

8. considere la función

( y(x2 −y2 ) x2 +y2

f (x, y) = 0

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

(a) demuestre que f es continua en (0,0) (b) Existen las derivadas parciales en (0,0)? en caso afirmativo calcule dichas derivadas (c) Calcule las derivas mixtas en (0,0). (d) Es diferenciable f en (0,0) explique 9. Determine la ecuación de la la recta tangente a la curva intersección de las superficies f (x, y, z) = x2 + y2 − 2 = 0 Y g(x, y, z) = x + z − 4 = 0 en el punto p(1, 1, 3) 10. Calcular todas las derivadas parciales de primer orden y comprobar que las derivadas mixtas son iguales (a) f (x, y) = x4 + y4 − 4xy (b) f (x, y, z) = ln(x2 + 2y2 − 3z2 ) 11. Verifique que la función f (x, y) =

x+y x2 +y2

satisface la ecuación ∂2 f ∂2 f + =0 ∂x2 ∂y2

12. Considere la función f : ℜ2 → ℜ dada por f (x, y) = e2x+3y encuentre la formula de Taylor en (0,0) de segundo orden 13. Considere una función f : ℜ2 → ℜ dada por 0 = sin x + sin y − sin z − sin(x + y + z) determine la matriz Hessiana de f en el punto p = ( π4 , π4 , π4 ) 14. Considere la función F(x, y) = x2 + y2 − 1 usando derivación implícita calcule y0 15. Sea F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 3, calcule

∂z ∂x

16. Considere la superficie en ℜ3 definida implícitamente por f (x, y, z) = xyz + ln xyz − z = 0 Hallar la ecuación del plano tangente en p = (1, 1, 1) 17. Sea f : D ⊂ R3 → R la función f (x, y, z) = z − x2 − y2 (a) determine los puntos (x, y, z) en el que el gradiente de esta función forma un ángulo de π/3 con el vector ~u = (2, 1, 1) (b) Determine los puntos (x,y,z) en el que el gradiente de esta función es perpendicular al vector ~u = (2, −1, 1)

12

Gradientes, Derivadas Direccionales, Derivadas Mixtas y de orden superior

18. Sea f : U ⊂ ℜ2 → ℜ una función diferenciable definida en el conjunto abierto U ⊂ ℜ2 y sea ~p ∈ U. Suponga que ∂∂xf (~p) = 3 , ∂∂yf (~p) = 4. ¿En qué dirección se tiene que Dv (p) = 2, en que dirección se tiene que la derivada direccional en p es 0?, ¿ Hay alguna dirección en la que D~v f (~p) = 6? 2 19. Sea f : U ⊂ ℜ2 → ℜ una función diferenciable √ √ definida √ en el conjunto abierto U ⊂ ℜ y sea ~p ∈ U. Suponga que Dv (p) = 3, Du (p) = 2, donde ~u = (1/ 2, −1/ 2),~v = ( 3/2, 1/2), calcule las derivadas parciales de f (p)

20. Determine la ecuación del plano tangente a la superficie z = 3x2 − 8xy + 5y2 en el punto en el que la recta normal tenga por vector paralelo a ~v = (−1, 0.2) 21. Calcule la ecuación del hiperplano tangente al paraboloide de 4 dimensiones, x5 = 10 − (x12 + 3x22 + 2x32 + x42 ) en el punto (2, −1, 1, 3, −8) 22. Hallar los puntos del elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 6 en los que la recta normal que pasa por ellos es perpendicular al plano 4x − 6y + 3z = 7 23. Calcule aproximadamente el incremento de la función f (x, y) = de (2, 1) a (2.05, 1.1) usando diferenciales

x2 −y2 3x+2y

cuando el punto (x, y) de su dominio pasa

80 24. Suponga que la temperatura en un punto (x, y, z) en el espacio está dada por T (x, y, z) = 1+x2 +2y 2 +3z2 , donde T está medida en grados centígrados y x, y, z están en metros. En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al punto (1, 1, −2) ? cuál es la máxima tasa de incremento ?

25. Sea f (x, y) = 4 − x2 − y2 la ecuación de una superficie S. (a) Calcule D~u f (p) si ~u = (−2, 1) y p = (1, 1, 2) es un punto en la superficie. (b) Determine el√punto P = (a, b, c) ∈ S para el cual la derivada direccional de f en P es ~u = (−2, 1) y 5 en la dirección de ~v = (1, 1).

√ 2 en dirección de

(c) Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto R = (1, −1, 2) ∈ S. (d) Determine un vector ~u para el cual la derivada direccional en R = (1, −1, 2) ∈ S es máxima y calcule su valor. √ 26. Considere las funciones f (x, y) = 3x2 + 2y2 , g(x, y) = 7 ln x + 3y. Demuestre que la derivada de la función f en el punto P = (1, 1) en la dirección del gradiente de la función g en p es igual a la derivada de la función g en p en la dirección del gradiente de la función f en p. 27. Constate que la función z = sin (x2 + y2 ) satisface la ecuación y

∂2 z ∂2 z ∂z − x − =0 ∂x2 ∂x∂y ∂y

28. Constate que la función u = (x − at)2 + (x + at)2 satisface la ecuación del calor ∂2 u ∂2 u = a2 2 2 ∂t ∂x 29. Determinar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie z = x2 y + ex

2 +y2

en el punto (1,1)

13

30. Sea v(r,t) = t n e

−r2 4t

. Hallar un valor de la constante n tal que v satisfaga la siguiente ecuación:   ∂v 1 ∂ 2 ∂v r = 2 ∂t r ∂r ∂t

31. Dada z = u(x, y)eax+by y

∂2 u ∂x∂y

= 0. Hallar los valores de las constantes a, b tales que ∂2 z ∂z ∂z − − +z = 0 ∂x∂y ∂x ∂y

32. Calcular todas las derivadas parciales de primer orden y comprobar que las derivadas mixtas son iguales (a) f (x, y) = x4 + y4 − 4xy (b) f (x, y, z) = log(x2 + 2y2 − 3z2 ) 33. ¿Dónde cruza el eje z el plano tangente a z = ex−y en (1,1,1)? 34. Calcular el gradiente, y el plano tangente en (1,1,1) para la función f (x, y, z) = (x + z)ex−y 35. Calcule el gradiente de la función f (x, y, z) =

xyz x2 +y2 +z2

en el punto (1,0,1)

36. Las dimensiones de una caja rectangular son 75, 60, y 40 cm y cada medida no difiere 0.2 cm del valor real. Mediante diferenciales estime el error más grande posible cuando el volumen de la caja se calcula a partir de esas medidas 37. verdadero o falso (a) Existe una dirección u en la que la razón de cambio de f (x, y) = x2 − 3xy + 4y2 en P(1,2) sean igual a 14, Justifique su respuesta. (b) Existe una función f con derivadas parciales continuas de segundo orden tal que fx (x, y) = x + y2 y fy (x, y) = x − y2 (c) Si f (x, y) = ln y, entonces ∇ f = (d) fy (a, b) = limy→b

1 y

f (a,y)− f (a,b) y−b

(e) La derivada de f (x, y, z) en √ el punto P alcanza su máximo en la dirección de v = i + j − k. En esa dirección, el valor de la derivada es 2 3 i. ¿Cómo es ∇ f en P? ii. Cuál es la derivada de f en P en la dirección de i + j (f) Existe una dirección u en la que la razón de cambio de f (x, y) = x2 − 3xy + 4y2 en p(1,2)=14. √ (g) La derivada de f (x, y) en P0 (1, 2) en la dirección i + j es 2 2 y en la dirección de −2j es −3, la derivada de f (x, y) en la dirección de −i − 2j es − √75 (h) Si f tiene un máximo relativo en (x0 , y0 , z0 ), entonces fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0 (i) Si z = f (x, y) y

∂z ∂x

=

∂z ∂y ,

entonces z = c(x + y)

(j) z = exy entonces zxy = (xy + 1)exy

14

Gradientes, Derivadas Direccionales, Derivadas Mixtas y de orden superior 1

(k) f (x, y) = (x3 + y3 ) 3 , entonces fy (0, 0) = 1, fy (x, y) no existe para y = −x (l) z = f (x)g(y) entonces

∂z ∂x

∂z + ∂y = f 0 (x)g(y) + f (x)g0 (y)

(m) Si f es continua para todo x y y y tiene dos mínimos relativos, entonces f debe tener un máximo relativo por lo menos (n) La derivada direccional de f (x, y) = 3x2 − 2y2 en (− 43 , 0) en la dirección de P(− 34 , 0) a Q(0, 1) es (o) si ∇ f (x, y) = 0, entonces Du f (x, y) = 0 para todo u

27 10

4

Derivación Implícita y Regla de la Cadena

1. Sea g : ℜ2 → ℜ3 Una función diferenciable tal que ∇g1 (0, 0) = (1, 2), ∇g2 (0, 0) = (0, 10); ∇g3 (0, 0) = (3, 1), y sea f : ℜ3 → ℜ una función diferenciable tal que ∇ f (g(0, 0)) = (3, −4, 2) y sea h(x, y) = ( f ◦g)(x, y), la función compuesta, determinar ∇h(0, 0) 2. Consideremos la función z = f (x2 + y3 , 2x2 − y2 ). Determine

∂z ∂x

3. Sean f : ℜ2 → ℜ2 y g : ℜ3 → ℜ2 dos funciones vectoriales definidas f (x, y) = (ex+2y , sin (y + 2x)) g(u, v, w) = (u + 2v2 + 3w3 , 2v − u2 ) (a) Calcular la matriz de derivadas parciales D f (x, y), Dg(u, v, w) (b) Calcular la función compuesta h(u, v, w) (c) Calcular la matriz de derivadas parciales Dh(1, −1, 1) 4. Sean f : ℜ2 → ℜ2 y g : ℜ3 → ℜ2 , campos vectoriales f (x, y) = ex+2y i + sen(y + 2x)j y g(u, v, w) = (u + 2v2 + 3w2 )i + (2v − u2 )j y sea h = f (g(u, v, w)), entonces Dh(1, −1, 1) es: 5. Determinar la matriz de derivadas parciales de F(x, y) = (xyexy , x sin y, 5xy2 ) 6. Sea f : ℜ3 → ℜ2 y g : ℜ3 → ℜ3 las funciones g(x, y, z) =(x + y + z, xyz, x2 + y3 ) f (x, y, z) =(x2 + 2, x + y2 + z3 ) Calcular la derivada ( f ◦ g)(1, 1, 1) realizando la compuesta y aplicando la regla de la cadena 7. Sea f : R2 → R tal que gradiente de f (1, 1) = (2, 4), y, g : R3 → R2 , tal que las funciones coordenadas tienen los ∂ siguientes gradientes ∇g1 (1, 1, 1) = (2, −3, 4), ∇g2 (1, 1, 1) = (1, 1, 2), hallar, ∂x ( f ◦ g)(1, 1, 1) 8. Calcular la derivada para la función diferenciable z(x, y) = f (x2 , xy2 ). Usando regla de la cadena 9. Sean f y g funciones diferenciables. Si z(x, y) = g(y) · f (x − 2y, y3 ). Calcule zx y zxy . 10. Sea g : R2 → R diferenciable. Sea z(x, y) = g(u, v) con u = x2 y2 , y v = xy. Calcule

∂2 z ∂y∂x

16

Derivación Implícita y Regla de la Cadena

11. Calcule zx y zy si F(x, y, z) = x2 − 2y2 + 3z2 − yz + y = 0, cuando Fz 6= 0. 12. Calcule la derivada direccional de D~u f (x, y, z), si f (x, y, z) = x sin (yz), en el punto P(1, 3, 0) en la dirección del vector ~v =~i + 2~j −~k. 13. Sea g : R3 → R4 una función diferenciable en el punto p ∈ R3 , y f : R4 → R2 una función diferenciable en el punto q = g(p). Suponga que  0 2 Jg(p) =  7 1

0 1 0 9

 0 0  5 8

J f (q) =

 −1 10

3 2 −2 2

10 −10



Sean g1 , g2 , g3 , g4 : R3 → R, las funciones coordenadas de g, f1 , f2 , : R4 → R, las funciones coordenadas de f y ( f ◦ g)1 , ( f ◦ g)2 : R3 → R las funciones coordenadas de la función compuesta ( f ◦ g) : R3 → R2 (a) Escriba los vectores gradientes ∇gi (~p), i = 1, 2, 3, 4 y ∇ f j (~q), i = 1, 2 (b) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel ( f ◦ g)1 (x, y, z) = c que pasa por ~p, en ese punto (c) Calcule la derivada direccional de la función u = ( f ◦ g)2 (x, y, z) en el punto ~p, en la dirección del vector ~v = (1, 2, 0) 14. En los problemas se da el nivel cero de una función F(x1 , x2 , y) Compruebe que la función dada satisface las condiciones del teorema de la deriva implícita (y = f (x1 , x2 )) Obtenga las derivadas parciales de f en p (a) F(x1 , x2 , y) = x1 ln (1 + x2 ) + ye4y = 0, ~p = (1, 1, 1) (b) F(x1 , x2 , y) = x1 x2 yey ln y − 3x1 + 3x2 = 0 ~p = (1, 1, 1) (c) Determine la derivada direccional de la función u = f (x, y, z) definida implícitamente por x tan y − zez = 0 en punto ~p = (0, π/4, 0) en la dirección del vector ~u = (2, 1) (d) Determine la derivada direccional de la función u = f (x, y, z) definida implícitamente por u + yeu + x + 3z = 0 en el origen de coordenadas en la dirección del vector ~v = (1, −1, −1) (e) Hallar la dirección de mayor crecimiento de la función z = f (x, y) dada implícitamente por arctan (x + y + z)+ 3xyz + z = 0 en el origen de coordenadas 15. Considere la superficie −x2 + x(2z + 10) − y2 + y(2z + 14) + z2 + 8z + 6 = 0 ¿ En qué punto de ella no es posible trazar un plano tangente? explique 16. Encuentre una función w = f (x, y) cuyas derivadas parciales son en el punto (ln 2, 0) es ln 2

∂w ∂x

= 1 + ex cos y y

∂w ∂y

= 2y − ex sin y , y cuyo valor

17. Suponga que un pájaro vuela a lo largo de la curva helicoidal x = 2 cost, y = 2 sint, z = 3t. De pronto el pájaro encuentra un frente de mal clima de manera que la presión barométrica varía mucho de un punto a otro de acuerdo con la relación P(x, y, z) = 6x2 z/y atm. (a) Use la regla de la cadena para determinar la forma en que cambia la presión en el momento t = π/4 (b) Compruebe los resultados obtenidos usando una sustitución directa (c) ¿Cuál es la presión aproximada en el momento t = π/4 + 0.01 min?

5

Máximos y Mínimos

1. Verdadero o falso (a) Sea f (x, y) = x2 + kxy + y2 son verdaderas i. El valor de k para que f(x,y) tenga un punto de silla en (0,0) es k = ±2 ii. Para k = ±2 el criterio no es concluyente iii. Para k ∈ (−2, 2) la función tiene un mínimo local iv. Para k ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞) tiene un mínimo (b) Si (2,1) es un punto crítico de f y fxx (2, 1) fyy (2, 1) = [ fxy (2, 1)]2 Entonces f tiene un punto de silla en (2,1) (c) Si f tiene un máximo relativo en (x0 , y0 , z0 ), entonces fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0 (d) Si f tiene un mínimo relativo en (a, b) y f es diferenciable en (a,b), entonces ∇ f = 0 2. De las siguientes expresiones son verdaderas (a) ∇ f (x, y, z) = 0 entonces Du f = 0, ∀u p (b) Si f (x, y) = 1 − x2 − y2 entonces Du f (0, 0) = 0, ∀u (c) si Du f (x, y), existe entonces Du f (x, y) = −D−u f (x, y) (d) Si la Du f (x0 , y0 ) = c, ∀u unitario, entonces c = 0 3. La distancia mínima al origen desde la superficie z2 = xy + 4 es 4. La función f (x, y) = x2 + y2 + 2xy − x − y + 1 sobre el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1 (a) f tiene un mínimo absoluto a lo largo del segmento 2x + 2y = 1 en este cuadrado (b) Tiene un mínimo absoluto en (0,0) 5. Considere la función f (x, y) = e2x+3y , calcular la formula de Taylor de orden dos en el punto (0,0) 6. Obtenga la formula aproximada de cos(x + y), use este hecho para justificar que lim

(x,y)→(0,0)

1 − cos(x + y) 1 = (x + y)2 2

18

Máximos y Mínimos 2

2

7. sea f (x, y, z) = e−x + e−y + z2 , Determinar los puntos críticos y clasificarlos 8. Se desea construir un tanque para almacenar agua caliente en un cilindro con un tope esférico. El tanque se debe diseñar de tal manera que puede almacenar 300 m3 de líquido. Determinar la altura total y el diámetro del tanque de tal manera que la pérdida de calor en la superficie sea mínima

9. Determinar si la proposición dada es verdadera o falsa (a) Si f tiene un máximo relativo en (x0 , y0 , z0 ), entonces fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0 (b) Si f es continua para todo x, y y tiene dos mínimos relativos, entonces f debe tener un máximo relativo por lo menos (c) Para La función f (x, y) =

4xy (x2 + 1)(y2 + 1)

sobre la región R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} i. f tiene un mínimo absoluto en (0, 0, 0) ii. Tiene un máximo absoluto en (1, 1, 1) (d) Para w = f (x, y), x = u − v, y = v − u entonces

∂w ∂u

+ ∂w ∂v 6= 0

10. Maximizar f (x, y) = 2y − x sujeto a y = senx, 0 ≤ x ≤ 2π 11. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos esféricos, el deposito debe almacenar 1000 litros de fluido. Determine el radio r y la longitud de la altura que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque. 12. Encuentre los extremos de f (x, y, z) = x(y + z)en la curva intersección del cilindro circular recto x2 + y2 = 1, y el cilindro hiperbólico xz = 1 13. Determine el punto más cercano al origen sobre la curva intersección del plano x + y + z = 1, y el cono z2 = 2x2 + 2y2 14. Halle los extremos de la función f (x, y, z) = 2x − 3y + z, si (x, y, z) está en el elipsoide 4x2 + y2 + z2 = 704 15. El material para la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces más por unidad de área que el material para construir los lados. Utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que pueda construirse con un costo fijo C 16. Encontrar el máximo y el mínimo de f (x, y) = x2 + y2 sujeto a x4 + y4 = 1 17. Determine los puntos extremos y clasifiquelos

19

(a) Sea f (x, y) =

1 xy

una superficie S en R3 Hallar los puntos más cercanos sobre S, más cercanos al origen.

(b) f (x, y) = x2 − xy + y2 + 2y + 2x − 4 (c) f (x, y) = x3 + y3 + 3x2 − 3y2

6

Integrales Dobles

1. el rectángulo R = [0, 1]×[0, −2] se transforma en el paralelogramo P acotado por y = 2x, y = 2x −2, y = x y y = x +1 (a) Hallar la transformación lineal T (u, v) = (X(u, v),Y (u, v)) (b) Calcular la integral RR R xydxdy

RR

P xydxdy

transformándola en una integral equivalente en el plano uv, y calcular

2. Definir T (u, v) = (u2 − v2 , 2uv). sea D∗ el conjunto de punto (u, v), u2 + v2 ≤ 1, u ≥ 0, v ≥ 0 Hallar T (d ∗ ) = D. Evaluar RR D dxdy 3. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral resultante √ Z 2√2 Z 8−x2 p Z 2Z xp x2 + y2 dydx + x2 + y2 dydx 0

2

0

0

D∗

4. Si es el paralelogramo cuyos vértices son (0, 0), (−1, 3), (−1, 2), (0, 5), y D es el paralelogramo cuyos vértices son (0, 0), (3, 2), (1, −1), (4, 1), encuentre la transformación T tal que T (D∗ ) = D 5. Si T (u, v, w) = (3u − v, u − v + 2w, 5u + 3v − w), describa como T transforma el cubo unitario 6. Evaluar la integral iterada Z 1 Z arccosy

sin x 0

7. Calcular la

RR

R xsiny − ye

x dxdy

p

1 + sin2 xdxdy

0

sobre la región R = [−1, 1] × [0, π/2]

8. Dada la integral iterada Z 1 Z (y/2)+2 0

(2x − y)dxdy

y/2

(a) Evalué la integral y dibuje la región de integración (b) Use el teorema del cambio de variable para evaluar la integral mediante una sustitución apropiada 9. Evalué la integral ZZ

(2x + y)2 e(x−y) dxdy

D

Donde D es la región encerrada por 2x + y = 1, 2x + y = 4, x − y = −1, x − y = 1

21

10. Al calcular por doble integración el volumen V situado bajo el paraboloide z = x2 + y2 y limitado inferiormente por una cierta región S del plano xy, se ha llegado a la siguiente suma de integrales iteradas.   Z 1 Z y Z 2 Z 2−y 2 2 2 2 V= (x + y dx dy + (x + y dx dy 0

0

1

0

Dibujar la región de integración y expresar V mediante una integral iterada en la que el orden de integración esté invertido. Efectuar, también la integración y calcular V. 11. Utilizar una transformación lineal apropiada para calcular la integral doble ZZ

(x − y)2 sin2 (x + y)dxdy

R

Donde R el el paralelogramo con vértices (0, π), (2π, π), (π, 2π), (π.0) 12. Transformar la integral dada a polares y resolverla "Z √ Z

#

a2 −y2

1

2

2

(x + y )dx dy 0

0

13. Calcule el volumen de la región acotada arriba por la esfera x2 + y2 + z2 = 2 y abajo por el paraboloide z = x2 + y2 14. Calcule el volumen del sólido Q limitado por las superficies z = 15. Plantear la o las integrales necesarias para calcular círculos

x2 + y2

= 4, (x − 2)2 + y2

1 , x2 + y2 1+x2 +y2

1 R (x2 +y2 )3 dA

R

= 1 y z = 0.

. La región R es la región limitada por los

= 4 y las rectas x + y = 4, y = 0 , como se muestra en la figura.

Figura 6.1: 16. Calcule el volumen del sólido Q limitado por las superficies x2 + z2 = 4, x2 + (z − 1)2 = 1 y x = 4 − y, en el primer octante; como se muestra en la figura. Ayuda: Proyectar sobre XZ y usar coordenadas polares.

22

Integrales Dobles

(a) grafica1

Figura 6.2: sólido problema 16 17. Calcular

RRR

Q x cos (y + z)dV

con Q el sólido limitado por y + z = π, y = x, x = z = 0

18. El sólido Q de la figura esta limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y el plano y + z = 4. Calcular el volumen de Q.

19. Calcule el volumen del sólido de la figura. Este sólido Q está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro x2 + (y − 1)2 = 1, z ≥ 0.

23

(a) sólido

20. Calcular

RRR

Qx

2 + y2 dV

(b) Proyecciones

donde Q es la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1.

(c) sólido

(d) Proyecciones

21. Conteste verdadero o falso p (a) El valor de a tal que el volumen en el interior del hemisferio p z = 16 − x2 − y2 y en el exterior del cilindro √ x2 + y2 = a2 sea la mitad del volumen del hemisferio es: a = 2 4 − 2 2 hR i hR i R R (b) ab cd f (x)g(y)dydx = ab f (x)dx cd g(y)dy (c) (d) (e)

R1 R1

R1R1 2 2 2 2 −1 −1 cos(x + y )dxdy = 4 0 0 cos(x + y )dxdy RbRd RdRb a c f (x, y)dydx = c a f (x, y)dxdy

√ Z 5Z

50−x2

Z 5√2 Z √50−y2

2 2

x y dydx = 0

0

x

x2 y2 dxdy

x

(f) El volumen de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 está dado por la integral V =

R1R1p 0

0

1 − x2 − y2 dxdy

(g) La masa de la lámina triangular con vértices (0,0),(0,3) y (2,3), dado que la densidad en (x, y) es ρ = 2x − y es 10 22. Sea Q el sólido limitado por las superficies x2 + z2 = 4 x + y = 5 , z = 2, y = z = 0. Plantear la o las integrales dobles necesarias para calcular el volumen de Q, usando como región R cada una de las proyecciones del sólido sobre los planos Y Z, XZ, XY 23. Evalué las siguientes integrales triples (a)

√ Z 3Z

9−x2 Z

√

9−x2

dzdydx 0

0

0

24

Integrales Dobles

(b) Z 1 Z 2−x Z 2−x−y

dzdydx 0

(c)

0

0

Z 1 Z 1−x2 Z √4−x2 −y

xdzdydx 0

0

3

(d) Z π/4 Z ln sec x Z 2y 0

ez dzdydx

−∞

0

24. Dibuje la región de integración y calcule la integral (a) Z 1 Z 1 Z 1−y −1 x2

dzdydx 0

(b) la región entre el cilindro z = y2 y el plano xy que está acotado por los planos x = 0, x = 1; y = −1, y = 1 (c) La región del primer octante acotada por los planos coordenados y los planos x + z = 1, y + 2z = 2 25. Cambio en el orden de integración (a) Z 1 Z 1 Z ln 3 2x πe sin πy2 √ 3z 0

0

y2

dxdydz

(b) Z 2 Z 4−x2 Z x sin 2z 0

0

0

4−z

dydzdx

26. Definir los limites de integración en coordenadas cilíndricas para una función f (r, θ, z) sobre la región (a) D acotada por el plano z = 0, a los lados por el cilindro x2 + (y − 1)2 = 1 (b) D es el cilindro r = 2 sin θ en el plano xy y cuya parte superior está dado por el plano z = 4 − y (c) D es el cilindro recto cuya base es la región entre r = cos θ y r = 2 cos θ y cuya parte superior está en el plano z = 3−y 27. Cambio de variable (a) Z 3 Z 4 Z x=y/2+1  2x − y 0

Aplique la transformación u =

2x−y 2 ,

0

v=

2

x=y/2 y 2,

w=

z 3

+

 z dzdydx 3

25

(b)

√

1−x2

Z 1Z

√

1−x2 −(x2 +y2 )

−

0

(c)

Z x2 +y2

√

2x−x2 Z

Z 2Z

21xy2 dzdydx

√

4−x2 −y2

√

0

−(−

0

4−x2 −y2 )

dzdydx

(d) Calcule el volumen limitado por arriba por el paraboloide z = 5 − x2 − y2 y abajo por el paraboloide z = 4x2 + 4y2 (e) Calcule el volumen de la región acotada por la esfera x2 + y2 + z2 = 2 y por el paraboloide z = x2 + y2 28. Calcule el volumen de sólido Q, mostrado en la figura, el cual está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 32 y los cilindros x2 + z2 = 22, x2 + z2 = 12.

29. Calcule el volumen del sólido Q limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 30. Sea I=

ZZZ p

x2 + y2 dV

Q

siendo Q el sólido acotado por la esfera de radio 4 y el cilindro x2 + y2 = 4 31. Calcule el volumen del sólido Q limitado por S1 : x2 + z2 = 4, S2 : y + x = 2, S3 : z = 4, S5 : y = 0, S6 : x = 0.

32. Calcular

ZZZ Q

donde Q es la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1

x2 + y2 dxdydz

26

Integrales Dobles

33. El sólido Q está limitado por las superficies y = z y x2 + y2 + z2 = 1 ; en el primer octante. Calcular ZZZ

zdv Q